Задатак 1. 1) Образложи зашто је збир углова било ког троугла једнак $ 180^{\circ} $ (види слику десно). 2) Шта су спољашњи углови троугла? 3) Да ли је збир спољашњих углова троугла константан?

1) Зашто је збир углова било ког троугла једнак $ 180^\circ $ Анализа слике Посматрамо троугао $ ABC $ са унутрашњим угловима $ \alpha, \beta $ и $ \gamma $. Кроз теме $ C $ повучена је права $ p $ која је паралелна са наспрамном страницом $ AB $ ($ p \parallel AB $). Коришћење наизменичних углова Права $ AC $ пресеца паралелне праве $ p $ и $ AB $. Угао који права $ p $ гради са страницом $ AC $ (угао лево од угла $ \gamma $) је наизменичан унутрашњем углу \( \alpha...

Задатак 2. Одреди угао код темена $ D $ четвороугла $ ABCD $ ако су углови код темена $ A $, $ B $ и $ C $ редом једнаки $ 68^{\circ}20' $, $ 85^{\circ}45' $ и $ 98^{\circ} $.

Обележавање познатих података Нека су унутрашњи углови четвороугла $ ABCD $ обележени са $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ и $ \delta $. На основу текста задатка, позната су нам три угла: \[ \alpha = 68^\circ 20' \] \[ \beta = 85^\circ 45' \] \[ \gamma = 98^\circ \] Наш задатак је да одредимо четврти угао, односно угао код темена $ D $, који ћемо обележити са $ \delta $. Постављање једначине Као што смо научили, збир свих унутрашњих углова у сваком четвороуглу је константан и изно...

Задатак 4. Одреди све углове четвороугла $ ABCD $ користећи податке са слике. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Свака слика приказује четвороугао $ABCD$; збир унутрашњих углова је $360^\circ$. \textbf{1)} Дати су $\angle D=120^\circ$, $\angle B=67^\circ$, а $77^\circ$ је СПОЉАШЊИ угао код $C$ (плава полуправа продужава $BC$). Унутрашњи $\angle C=180^\circ-77^\circ=103^\circ$. Тада $\angle A=360^\circ-(120^\circ+103^\circ+67^\circ)=70^\circ$. \textbf{2)} $\angle A=78^\circ$. $47^\circ$ је спољашњи код $C\Rightarrow \angle C=180^\circ-47^\circ=133^\circ$. $130^\circ$ је спољашњи...

Задатак 5. Одреди све углове $ \alpha, \beta, \gamma, \delta $ четвороугла $ ABCD $ ако важе једнакости: 1) $ \alpha = \beta = \gamma $, $ \delta = \alpha + \beta $; 2) $ \alpha = 2\beta = 3\gamma = 4\delta $; 3) $ \beta = 2\alpha $, $ \gamma = \frac{1}{2}\beta $, \( \delta = \frac{1}{...

1) $ \alpha = \beta = \gamma $, $ \delta = \alpha + \beta $ Коришћење збира унутрашњих углова Збир унутрашњих углова сваког четвороугла је $ 360^\circ $. Користимо основну формулу: \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \] Изражавање свих углова преко $ \alpha $ На основу датих једнакости, све углове можемо изразити преко угла $ \alpha $: - $ \beta = \alpha $ - $ \gamma = \alpha $ - $ \delta = \alpha + \beta = \alpha + \alpha = 2\alpha $ Постављање и решавање једначине...

Задатак 6. Ако су наспрамни углови четвороугла $ ABCD $ једнаки, $ \alpha = \gamma $ и $ \beta = \delta $, докажи да су суседни углови тог четвороугла суплементни.

У овом задатку ћемо користити својство збира унутрашњих углова четвороугла како бисмо доказали да су суседни углови суплементни (њихов збир је $ 180^{\circ} $) када су наспрамни углови једнаки. Корак 1: Поставимо основну једначину за збир углова Из лекције знамо да је збир свих унутрашњих углова било ког четвороугла увек $ 360^{\circ} $. Ако углове четвороугла $ ABCD $ означимо са $ \alpha, \beta, \gamma $ и $ \delta $, важи: \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^{\circ} \] Корак...

Збир Углова Четвороугла

Изабери решење задатка:

1)
Нека су унутрашњи углови четвороугла \( \alpha, \beta, \gamma \) и \( \delta \).
Збир унутрашњих углова четвороугла је \( 360^\circ \):
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]
Како су сви углови једнаки (\( \alpha = \beta = \gamma = \delta \)), следи:
\[ \alpha + \alpha + \alpha + \alpha = 360^\circ \]
\[ 4 \cdot \alpha = 360^\circ \]
\[ \alpha = 360^\circ : 4 \]
\[ \alpha = 90^\circ \]
Пошто је угао од \( 90^\circ \) прав угао, а \( \alpha = \beta = \gamma = \delta = 90^\circ \), закључујемо да су сви углови прави.

2)
Збир унутрашњих углова четвороугла је \( 360^\circ \):
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]
Нека је збир прва два угла \( 180^\circ \), односно \( \alpha + \beta = 180^\circ \). Заменом у једначину добијамо:
\[ (\alpha + \beta) + (\gamma + \delta) = 360^\circ \]
\[ 180^\circ + (\gamma + \delta) = 360^\circ \]
\[ \gamma + \delta = 360^\circ - 180^\circ \]
\[ \gamma + \delta = 180^\circ \]
Тиме је тврђење доказано.

У овом задатку ћемо користити основно правило које смо научили из лекције, а то је да је збир свих унутрашњих углова у сваком четвороуглу увек једнак \( 360^{\circ} \). Нека су ти углови означени са \( \alpha, \beta, \gamma \) и \( \delta \).

1) Ако су сви углови четвороугла међусобно једнаки, онда су сви углови прави.

Корак 1: Поставимо једначину за збир углова
Из лекције знамо да је збир свих унутрашњих углова било ког четвороугла увек \( 360^{\circ} \). Дакле, важи следећа једнакост:
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^{\circ} \]

Корак 2: Искористимо услов да су сви углови једнаки
У првом делу задатка је дато да су сви углови међусобно једнаки. То значи да их можемо записати као једнаке:
\[ \alpha = \beta = \gamma = \delta \]
Пошто су сви углови једнаки, можемо у нашој једначини за збир углова сваки угао заменити са ознаком за само један од њих, на пример са \( \alpha \):
\[ \alpha + \alpha + \alpha + \alpha = 360^{\circ} \]

Корак 3: Израчунамо величину једног угла
Сада саберемо све углове \( \alpha \) на левој страни једначине:
\[ 4 \cdot \alpha = 360^{\circ} \]
Да бисмо добили вредност само за угао \( \alpha \), поделићемо укупан збир са 4:
\[ \alpha = 360^{\circ} : 4 \]
\[ \alpha = 90^{\circ} \]
Како је сваки угао од \( 90^{\circ} \) по дефиницији прав угао, а сви углови су једнаки \( \alpha \), успешно смо доказали да су сви углови овог четвороугла прави.

2) Ако је збир два угла четвороугла једнак \( 180^{\circ} \), онда је збир друга два угла тог четвороугла такође једнак \( 180^{\circ} \).

Корак 1: Поставимо једначину за збир углова
Као и у претходном делу, крећемо од основног својства четвороугла – збир његових унутрашњих углова је \( 360^{\circ} \):
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^{\circ} \]

Корак 2: Искористимо дати услов
У задатку је речено да је збир нека два угла једнак \( 180^{\circ} \). Нека то буду, на пример, углови \( \alpha \) и \( \beta \). Дакле, записујемо:
\[ \alpha + \beta = 180^{\circ} \]

Корак 3: Заменимо познати збир у почетну једначину
Можемо груписати углове у нашој почетној једначини стављањем у заграде:
\[ (\alpha + \beta) + (\gamma + \delta) = 360^{\circ} \]
Сада, уместо збира \( \alpha + \beta \), можемо уписати његову вредност која износи \( 180^{\circ} \):
\[ 180^{\circ} + (\gamma + \delta) = 360^{\circ} \]

Корак 4: Израчунамо збир друга два угла
Да бисмо нашли колики је збир друга два угла, односно израз у загради \( (\gamma + \delta) \), потребно је да од укупног збира свих углова (\( 360^{\circ} \)) одузмемо збир прва два угла (\( 180^{\circ} \)):
\[ \gamma + \delta = 360^{\circ} - 180^{\circ} \]
\[ \gamma + \delta = 180^{\circ} \]
Овим смо доказали да ако два угла четвороугла у збиру дају \( 180^{\circ} \), друга два угла такође у збиру морају давати \( 180^{\circ} \).

Кратак запис решења:

1)
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]
\[ \alpha = \beta = \gamma = \delta \Rightarrow 4 \cdot \alpha = 360^\circ \Rightarrow \alpha = 360^\circ : 4 \Rightarrow \alpha = 90^\circ \]
Сви углови су прави.
2)
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]
Ако је \( \alpha + \beta = 180^\circ \), онда важи:
\[ 180^\circ + \gamma + \delta = 360^\circ \Rightarrow \gamma + \delta = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ \]

Најважније из лекције

У сваком четвороуглу важе следећа важна правила:

Збир унутрашњих углова је увек $ 360^\circ $ ($ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ $).
Збир спољашњих углова је такође увек $ 360^\circ $ ($ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ $).
Унутрашњи и одговарајући спољашњи угао су упоредни, односно њихов збир је $ 180^\circ $ ($ \alpha + \alpha_1 = 180^\circ $).

Сваки четвороугао се једном својом дијагоналом може поделити на два троугла. Како је збир углова сваког троугла $ 180^\circ $, укупан збир углова у четвороуглу је двоструко већи.

Илустрација произвољног четвороугла подељеног једном дијагоналом на два троугла, чиме се показује да се његови унутрашњи углови састоје од углова та два троугла.

Збир унутрашњих углова сваког четвороугла једнак је $ 360^\circ $. \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]

Нека су познате величине три угла неког четвороугла: $ 62^\circ $, $ 78^\circ $ и $ 84^\circ $. Четврти угао једноставно одређујемо одузимањем њиховог збира од укупног збира: \[ 360^\circ - (62^\circ + 78^\circ + 84^\circ) = 360^\circ - 224^\circ = 136^\circ \]

Спољашњи угао четвороугла јесте угао који је упоредан неком унутрашњем углу тог четвороугла.

Сваком унутрашњем углу одговарају два унакрсна спољашња угла (који су једнаки), па за спољашњи угао код једног темена бирамо било који од њих. Збир унутрашњег и њему одговарајућег спољашњег угла је увек $ 180^\circ $ (на пример, $ \alpha + \alpha_1 = 180^\circ $).

$Четвороугао са продуженим страницама код свих темена, где су означени унутрашњи углови ($ \alpha, \beta, \gamma, \delta $) и њима одговарајући спољашњи углови ($ \alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1 $).$

Збир спољашњих углова четвороугла једнак је $ 360^\circ $. \[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ \]

Ако је унутрашњи угао четвороугла $ \beta = 110^\circ $, колики је његов одговарајући спољашњи угао $ \beta_1 $?

Спољашњи и унутрашњи угао су упоредни, па њихов збир износи $ 180^\circ $.
$ \beta_1 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ $.

Задаци за вежбање

Лак: Три угла четвороугла износе $ 55^\circ $, $ 105^\circ $ и $ 80^\circ $. Израчунај меру четвртог угла.

Збир свих унутрашњих углова је $ 360^\circ $.
Четврти угао израчунавамо на следећи начин:
$ 360^\circ - (55^\circ + 105^\circ + 80^\circ) = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ $.

Средњи: Збир три спољашња угла четвороугла је $ 285^\circ $. Одреди четврти спољашњи угао и њему одговарајући унутрашњи угао.

Збир свих спољашњих углова је $ 360^\circ $.
Четврти спољашњи угао износи: $ 360^\circ - 285^\circ = 75^\circ $.
Њему одговарајући унутрашњи угао је упоредан са њим, па износи: $ 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ $.

Тежак: Одреди све унутрашње углове $ \alpha, \beta, \gamma $ и $ \delta $ четвороугла ако важи да су прва три угла међусобно једнака ($ \alpha = \beta = \gamma $), а четврти угао је једнак збиру прва два ($ \delta = \alpha + \beta $).

Знамо да је $ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ $.
Пошто је $ \alpha = \beta = \gamma $, а $ \delta = \alpha + \alpha = 2\alpha $, можемо целу једначину изразити преко угла $ \alpha $:
$ \alpha + \alpha + \alpha + 2\alpha = 360^\circ $
$ 5\alpha = 360^\circ $
$ \alpha = 360^\circ : 5 = 72^\circ $

Углови су дакле: $ \alpha = 72^\circ $, $ \beta = 72^\circ $, $ \gamma = 72^\circ $ и $ \delta = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ $.

34. Збир Углова Четвороугла

Изабери решење задатка:

1)

2)

1) Ако су сви углови четвороугла међусобно једнаки, онда су сви углови прави.

Корак 1: Поставимо једначину за збир углова

Корак 2: Искористимо услов да су сви углови једнаки

Корак 3: Израчунамо величину једног угла

2) Ако је збир два угла четвороугла једнак \( 180^{\circ} \), онда је збир друга два угла тог четвороугла такође једнак \( 180^{\circ} \).

Корак 1: Поставимо једначину за збир углова

Корак 2: Искористимо дати услов

Корак 3: Заменимо познати збир у почетну једначину

Корак 4: Израчунамо збир друга два угла

Кратак запис решења:

1)

2)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

1)

2)

Детаљно решење

1) Ако су сви углови четвороугла међусобно једнаки, онда су сви углови прави.

Корак 1: Поставимо једначину за збир углова

Корак 2: Искористимо услов да су сви углови једнаки

Корак 3: Израчунамо величину једног угла

2) Ако је збир два угла четвороугла једнак \( 180^{\circ} \), онда је збир друга два угла тог четвороугла такође једнак \( 180^{\circ} \).

Корак 1: Поставимо једначину за збир углова

Корак 2: Искористимо дати услов

Корак 3: Заменимо познати збир у почетну једначину

Корак 4: Израчунамо збир друга два угла

Кратак запис решења:

1)

2)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: