Корице уџбеника

34. Збир Углова Четвороугла

Решења + Понављање

Изабери решење задатка:

Задатак 4

Кратко решење

1) C споља \(77^\circ\Rightarrow C=103^\circ\), \(A=360-120-103-67=70^\circ\). 2) C,B споља: \(C=133^\circ, B=50^\circ, D=99^\circ\). 3) дијаг. \(AC\), D=B=\(90^\circ\): \(A=39+40=79^\circ, C=51+50=101^\circ\). 4) \(A=D\): \((360-210)/2=75^\circ\). 5) \(AD=DC\): \(D=104^\circ,A=79^\circ,C=114^\circ,B=63^\circ\). 6) \(A=106^\circ,C=70^\circ,B=D=92^\circ\). 7) \(A=68^\circ,C=56^\circ,B=D=118^\circ\). 8) \(\triangle DCB\) једнакостр.\(=60^\circ\), \(A=90^\circ,C=60^\circ,B=D=105^\circ\). 9) \(A=150^\circ,B=60^\circ,C=105^\circ,D=45^\circ\).

Детаљно решење

Свака слика приказује четвороугао \(ABCD\); збир унутрашњих углова је \(360^\circ\). \textbf{1)} Дати су \(\angle D=120^\circ\), \(\angle B=67^\circ\), а \(77^\circ\) је СПОЉАШЊИ угао код \(C\) (плава полуправа продужава \(BC\)). Унутрашњи \(\angle C=180^\circ-77^\circ=103^\circ\). Тада \(\angle A=360^\circ-(120^\circ+103^\circ+67^\circ)=70^\circ\). \textbf{2)} \(\angle A=78^\circ\). \(47^\circ\) је спољашњи код \(C\Rightarrow \angle C=180^\circ-47^\circ=133^\circ\). \(130^\circ\) је спољашњи код \(B\Rightarrow \angle B=180^\circ-130^\circ=50^\circ\). \(\angle D=360^\circ-(78^\circ+50^\circ+133^\circ)=99^\circ\). \textbf{3)} Дијагонала \(AC\): \(\angle DAC=39^\circ\), \(\angle ACB=50^\circ\), прави углови код \(D\) и \(B\). \(\triangle ACD\): \(\angle DCA=90^\circ-39^\circ=51^\circ\); \(\triangle ACB\): \(\angle BAC=90^\circ-50^\circ=40^\circ\). Дакле \(\angle A=39^\circ+40^\circ=79^\circ\), \(\angle C=51^\circ+50^\circ=101^\circ\), \(\angle B=\angle D=90^\circ\). \textbf{4)} \(\angle A=\angle D\) (означени једнаким луковима), \(\angle B=110^\circ\), \(\angle C=100^\circ\). \(\angle A+\angle D=360^\circ-210^\circ=150^\circ\Rightarrow \angle A=\angle D=75^\circ\). \textbf{5)} Дијагонала \(AC\), \(AD=DC\). \(\angle DCA=38^\circ\), \(\angle CAB=41^\circ\), \(\angle B=63^\circ\). \(\triangle ADC\) једнакокраки: \(\angle DAC=\angle DCA=38^\circ\Rightarrow \angle D=180^\circ-76^\circ=104^\circ\). \(\angle A=41^\circ+38^\circ=79^\circ\). У \(\triangle ABC\): \(\angle ACB=180^\circ-41^\circ-63^\circ=76^\circ\Rightarrow \angle C=38^\circ+76^\circ=114^\circ\). \textbf{6)} Дијагонала \(DB\), \(DC=CB\), \(DA=AB\). \(\triangle DCB\): \(\angle CDB=55^\circ\Rightarrow \angle CBD=55^\circ,\ \angle C=70^\circ\). \(\triangle DAB\): \(\angle ABD=37^\circ\Rightarrow \angle ADB=37^\circ,\ \angle A=106^\circ\). \(\angle D=55^\circ+37^\circ=92^\circ\), \(\angle B=55^\circ+37^\circ=92^\circ\). \textbf{7)} Дијагонала \(DB\), \(DC=CB\), \(DA=AB\). \(\triangle DCB\): \(\angle C=56^\circ\Rightarrow \angle CDB=\angle CBD=62^\circ\). \(\triangle DAB\): \(\angle ABD=56^\circ\Rightarrow \angle ADB=56^\circ,\ \angle A=68^\circ\). \(\angle D=62^\circ+56^\circ=118^\circ\), \(\angle B=62^\circ+56^\circ=118^\circ\), \(\angle C=56^\circ\). \textbf{8)} Дијагонала \(DB\): \(DC=CB=DB\) (један цртеж) \(\Rightarrow \triangle DCB\) једнакостранични, \(\angle C=60^\circ\), \(\angle CDB=\angle CBD=60^\circ\). \(DA=AB\), \(\angle A=90^\circ\Rightarrow \angle ADB=\angle ABD=45^\circ\). \(\angle D=60^\circ+45^\circ=105^\circ\), \(\angle B=105^\circ\). \textbf{9)} Дијагонала \(AC\): \(DA=AC=AB=CB\), прав угао \(\angle DAC=90^\circ\). \(\triangle DAC\) једнакокрако-правоугли: \(\angle ADC=\angle ACD=45^\circ\). \(\triangle ABC\): \(AC=AB=CB\) једнакостранични \(\Rightarrow\) сви углови \(60^\circ\). \(\angle A=90^\circ+60^\circ=150^\circ\), \(\angle B=60^\circ\), \(\angle C=45^\circ+60^\circ=105^\circ\), \(\angle D=45^\circ\).

Кратак запис решења:

1) 70,67,103,120; 2) 78,50,133,99; 3) 79,90,101,90; 4) 75,110,100,75; 5) 79,63,114,104; 6) 106,92,70,92; 7) 68,118,56,118; 8) 90,105,60,105; 9) 150,60,105,45 (углови \(A,B,C,D\)).

Најважније из лекције

У сваком четвороуглу важе следећа важна правила:
  • Збир унутрашњих углова је увек \( 360^\circ \) (\( \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)).
  • Збир спољашњих углова је такође увек \( 360^\circ \) (\( \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ \)).
  • Унутрашњи и одговарајући спољашњи угао су упоредни, односно њихов збир је \( 180^\circ \) (\( \alpha + \alpha_1 = 180^\circ \)).
Сваки четвороугао се једном својом дијагоналом може поделити на два троугла. Како је збир углова сваког троугла \( 180^\circ \), укупан збир углова у четвороуглу је двоструко већи.
Илустрација произвољног четвороугла подељеног једном дијагоналом на два троугла, чиме се показује да се његови унутрашњи углови састоје од углова та два троугла.
Збир унутрашњих углова сваког четвороугла једнак је \( 360^\circ \). \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]
Нека су познате величине три угла неког четвороугла: \( 62^\circ \), \( 78^\circ \) и \( 84^\circ \). Четврти угао једноставно одређујемо одузимањем њиховог збира од укупног збира: \[ 360^\circ - (62^\circ + 78^\circ + 84^\circ) = 360^\circ - 224^\circ = 136^\circ \]
Спољашњи угао четвороугла јесте угао који је упоредан неком унутрашњем углу тог четвороугла.
Сваком унутрашњем углу одговарају два унакрсна спољашња угла (који су једнаки), па за спољашњи угао код једног темена бирамо било који од њих. Збир унутрашњег и њему одговарајућег спољашњег угла је увек \( 180^\circ \) (на пример, \( \alpha + \alpha_1 = 180^\circ \)).
Четвороугао са продуженим страницама код свих темена, где су означени унутрашњи углови (\( \alpha, \beta, \gamma, \delta \)) и њима одговарајући спољашњи углови (\( \alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1 \)).
Збир спољашњих углова четвороугла једнак је \( 360^\circ \). \[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ \]
Ако је унутрашњи угао четвороугла \( \beta = 110^\circ \), колики је његов одговарајући спољашњи угао \( \beta_1 \)?
Спољашњи и унутрашњи угао су упоредни, па њихов збир износи \( 180^\circ \).
\( \beta_1 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).

Задаци за вежбање

Лак: Три угла четвороугла износе \( 55^\circ \), \( 105^\circ \) и \( 80^\circ \). Израчунај меру четвртог угла.
Збир свих унутрашњих углова је \( 360^\circ \).
Четврти угао израчунавамо на следећи начин:
\( 360^\circ - (55^\circ + 105^\circ + 80^\circ) = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ \).
Средњи: Збир три спољашња угла четвороугла је \( 285^\circ \). Одреди четврти спољашњи угао и њему одговарајући унутрашњи угао.
Збир свих спољашњих углова је \( 360^\circ \).
Четврти спољашњи угао износи: \( 360^\circ - 285^\circ = 75^\circ \).
Њему одговарајући унутрашњи угао је упоредан са њим, па износи: \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \).
Тежак: Одреди све унутрашње углове \( \alpha, \beta, \gamma \) и \( \delta \) четвороугла ако важи да су прва три угла међусобно једнака (\( \alpha = \beta = \gamma \)), а четврти угао је једнак збиру прва два (\( \delta = \alpha + \beta \)).
Знамо да је \( \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \).
Пошто је \( \alpha = \beta = \gamma \), а \( \delta = \alpha + \alpha = 2\alpha \), можемо целу једначину изразити преко угла \( \alpha \):
\( \alpha + \alpha + \alpha + 2\alpha = 360^\circ \)
\( 5\alpha = 360^\circ \)
\( \alpha = 360^\circ : 5 = 72^\circ \)

Углови су дакле: \( \alpha = 72^\circ \), \( \beta = 72^\circ \), \( \gamma = 72^\circ \) и \( \delta = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ \).

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

20670 решења

888 лекција и тестова

Иконка Математика

Физика

4729 решења

1046 лекција и тестова

Иконка Физика

Хемија

4553 решења

644 лекција и тестова

Иконка Химия

Историја

1925 одговора на питања

299 резимеа и тестова

Иконка История

Биологија

1332 одговора | 176 лекција

Иконка Биология
5. разред
6. разред
8. разред

PhotoSolveAI

Решавање задатака са слике

Иконка Литература

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста
Сазнај више