Задатак 1. 1) Образложи зашто је збир углова било ког троугла једнак $ 180^{\circ} $ (види слику десно). 2) Шта су спољашњи углови троугла? 3) Да ли је збир спољашњих углова троугла константан?

1) Зашто је збир углова било ког троугла једнак $ 180^\circ $ Анализа слике Посматрамо троугао $ ABC $ са унутрашњим угловима $ \alpha, \beta $ и $ \gamma $. Кроз теме $ C $ повучена је права $ p $ која је паралелна са наспрамном страницом $ AB $ ($ p \parallel AB $). Коришћење наизменичних углова Права $ AC $ пресеца паралелне праве $ p $ и $ AB $. Угао који права $ p $ гради са страницом $ AC $ (угао лево од угла $ \gamma $) је наизменичан унутрашњем углу \( \alpha...

Задатак 2. Одреди угао код темена $ D $ четвороугла $ ABCD $ ако су углови код темена $ A $, $ B $ и $ C $ редом једнаки $ 68^{\circ}20' $, $ 85^{\circ}45' $ и $ 98^{\circ} $.

Обележавање познатих података Нека су унутрашњи углови четвороугла $ ABCD $ обележени са $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ и $ \delta $. На основу текста задатка, позната су нам три угла: \[ \alpha = 68^\circ 20' \] \[ \beta = 85^\circ 45' \] \[ \gamma = 98^\circ \] Наш задатак је да одредимо четврти угао, односно угао код темена $ D $, који ћемо обележити са $ \delta $. Постављање једначине Као што смо научили, збир свих унутрашњих углова у сваком четвороуглу је константан и изно...

Задатак 3. Докажи следећа тврђења. 1) Ако су сви углови четвороугла међусобно једнаки, онда су сви углови прави. 2) Ако је збир два угла четвороугла једнак $ 180^{\circ} $, онда је збир друга два угла тог четвороугла такође једнак $ 180^{\circ} $.

У овом задатку ћемо користити основно правило које смо научили из лекције, а то је да је збир свих унутрашњих углова у сваком четвороуглу увек једнак $ 360^{\circ} $. Нека су ти углови означени са $ \alpha, \beta, \gamma $ и $ \delta $. 1) Ако су сви углови четвороугла међусобно једнаки, онда су сви углови прави. Корак 1: Поставимо једначину за збир углова Из лекције знамо да је збир свих унутрашњих углова било ког четвороугла увек $ 360^{\circ} $. Дакле, важи следећа једнакост: \[ \al...

Задатак 4. Одреди све углове четвороугла $ ABCD $ користећи податке са слике. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Свака слика приказује четвороугао $ABCD$; збир унутрашњих углова је $360^\circ$. \textbf{1)} Дати су $\angle D=120^\circ$, $\angle B=67^\circ$, а $77^\circ$ је СПОЉАШЊИ угао код $C$ (плава полуправа продужава $BC$). Унутрашњи $\angle C=180^\circ-77^\circ=103^\circ$. Тада $\angle A=360^\circ-(120^\circ+103^\circ+67^\circ)=70^\circ$. \textbf{2)} $\angle A=78^\circ$. $47^\circ$ је спољашњи код $C\Rightarrow \angle C=180^\circ-47^\circ=133^\circ$. $130^\circ$ је спољашњи...

Задатак 6. Ако су наспрамни углови четвороугла $ ABCD $ једнаки, $ \alpha = \gamma $ и $ \beta = \delta $, докажи да су суседни углови тог четвороугла суплементни.

У овом задатку ћемо користити својство збира унутрашњих углова четвороугла како бисмо доказали да су суседни углови суплементни (њихов збир је $ 180^{\circ} $) када су наспрамни углови једнаки. Корак 1: Поставимо основну једначину за збир углова Из лекције знамо да је збир свих унутрашњих углова било ког четвороугла увек $ 360^{\circ} $. Ако углове четвороугла $ ABCD $ означимо са $ \alpha, \beta, \gamma $ и $ \delta $, важи: \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^{\circ} \] Корак...

Задатак 7. Одреди углове и спољашње углове четвороугла $ ABCD $ ако је: 1) $ \alpha = 78^{\circ} $, $ \beta_{1} = 130^{\circ} $, $ \gamma_{1} = 40^{\circ} $; 2) $ \alpha = \beta = 72^{\circ} $, $ \delta_{1} = 62^{\circ} $; 3) $ \alpha = \beta_{1} = \gamma = 40^{\circ} $; 4) \( \alpha =...

Да бисмо одредили све унутрашње углове ($ \alpha, \beta, \gamma, \delta $) и све спољашње углове ($ \alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1 $) четвороугла, користићемо следећа правила: 1. Збир унутрашњих углова четвороугла је $ 360^{\circ} $: $ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^{\circ} $. 2. Збир спољашњих углова четвороугла је $ 360^{\circ} $: $ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^{\circ} $. 3. Унутрашњи и њему суседни спољашњи угао су суплементни: \( \text{угао} + \te...

Збир Углова Четвороугла

Изабери решење задатка:

1)
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]
\[ \beta = \alpha, \gamma = \alpha, \delta = \alpha + \alpha = 2\alpha \]
\[ \alpha + \alpha + \alpha + 2\alpha = 360^\circ \]
\[ 5\alpha = 360^\circ \]
\[ \alpha = 360^\circ : 5 = 72^\circ \]
\[ \alpha = 72^\circ, \beta = 72^\circ, \gamma = 72^\circ, \delta = 144^\circ \]

2)
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]
\[ \beta = \frac{\alpha}{2}, \gamma = \frac{\alpha}{3}, \delta = \frac{\alpha}{4} \]
\[ \alpha + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{3} + \frac{\alpha}{4} = 360^\circ \]
\[ \frac{12\alpha + 6\alpha + 4\alpha + 3\alpha}{12} = 360^\circ \]
\[ \frac{25\alpha}{12} = 360^\circ \]
\[ 25\alpha = 4320^\circ \]
\[ \alpha = 172,8^\circ = 172^\circ 48' \]
\[ \beta = 172^\circ 48' : 2 = 86^\circ 24' \]
\[ \gamma = 172^\circ 48' : 3 = 57^\circ 36' \]
\[ \delta = 172^\circ 48' : 4 = 43^\circ 12' \]

3)
\[ \beta = 2\alpha \]
\[ \gamma = \frac{1}{2} \cdot 2\alpha = \alpha \]
\[ \delta = \frac{1}{2} \alpha \]
\[ \alpha + 2\alpha + \alpha + \frac{1}{2}\alpha = 360^\circ \]
\[ 4,5\alpha = 360^\circ \]
\[ \alpha = 360^\circ : 4,5 = 80^\circ \]
\[ \alpha = 80^\circ, \beta = 160^\circ, \gamma = 80^\circ, \delta = 40^\circ \]

1) \( \alpha = \beta = \gamma \), \( \delta = \alpha + \beta \)
Коришћење збира унутрашњих углова
Збир унутрашњих углова сваког четвороугла је \( 360^\circ \). Користимо основну формулу:
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]

Изражавање свих углова преко \( \alpha \)
На основу датих једнакости, све углове можемо изразити преко угла \( \alpha \):
- \( \beta = \alpha \)
- \( \gamma = \alpha \)
- \( \delta = \alpha + \beta = \alpha + \alpha = 2\alpha \)

Постављање и решавање једначине
Заменимо ове вредности у формулу за збир углова:
\[ \alpha + \alpha + \alpha + 2\alpha = 360^\circ \]
\[ 5\alpha = 360^\circ \]
Да бисмо израчунали \( \alpha \), поделићемо \( 360^\circ \) са \( 5 \):
\[ \alpha = 360^\circ : 5 = 72^\circ \]

Одређивање осталих углова
Сада израчунавамо вредности за \( \beta, \gamma \) и \( \delta \):
\[ \beta = 72^\circ, \quad \gamma = 72^\circ \]
\[ \delta = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ \]

2) \( \alpha = 2\beta = 3\gamma = 4\delta \)
Изражавање углова преко \( \alpha \) помоћу разломака
Из дате продужене једнакости можемо изразити сваки угао преко \( \alpha \):
- \( \beta = \frac{\alpha}{2} \)
- \( \gamma = \frac{\alpha}{3} \)
- \( \delta = \frac{\alpha}{4} \)

Постављање једначине са разломцима
\[ \alpha + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{3} + \frac{\alpha}{4} = 360^\circ \]
За сабирање разломака потребан нам је најмањи заједнички садржалац за бројеве \( 2, 3 \) и \( 4 \), а то је \( 12 \). Проширићемо чланове:
\[ \frac{12\alpha}{12} + \frac{6\alpha}{12} + \frac{4\alpha}{12} + \frac{3\alpha}{12} = 360^\circ \]
\[ \frac{25\alpha}{12} = 360^\circ \]
\[ 25\alpha = 360^\circ \cdot 12 = 4320^\circ \]
\[ \alpha = 4320^\circ : 25 = 172,8^\circ \]
Претворимо децимални део у минуте (\( 0,8 \cdot 60' = 48' \)):
\[ \alpha = 172^\circ 48' \]

Израчунавање осталих углова
\[ \beta = 172^\circ 48' : 2 = 86^\circ 24' \]
\[ \gamma = 172^\circ 48' : 3 = 57^\circ 36' \]
\[ \delta = 172^\circ 48' : 4 = 43^\circ 12' \]

3) \( \beta = 2\alpha \), \( \gamma = \frac{1}{2}\beta \), \( \delta = \frac{1}{2}\gamma \)
Изражавање свих углова преко \( \alpha \)
Постепено замењујемо вредности:
- \( \beta = 2\alpha \)
- \( \gamma = \frac{1}{2} \cdot (2\alpha) = \alpha \)
- \( \delta = \frac{1}{2} \cdot \alpha \)

Постављање једначине
\[ \alpha + 2\alpha + \alpha + \frac{1}{2}\alpha = 360^\circ \]
\[ 4\alpha + 0,5\alpha = 360^\circ \]
\[ 4,5\alpha = 360^\circ \]
\[ \alpha = 360^\circ : 4,5 = 3600^\circ : 45 = 80^\circ \]

Коначне вредности углова
\[ \alpha = 80^\circ \]
\[ \beta = 2 \cdot 80^\circ = 160^\circ \]
\[ \gamma = \alpha = 80^\circ \]
\[ \delta = 80^\circ : 2 = 40^\circ \]

Кратак запис решења:

1) \( 5\alpha = 360^\circ \Rightarrow \alpha=\beta=\gamma=72^\circ, \delta=144^\circ \)
2) \( \alpha + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{3} + \frac{\alpha}{4} = 360^\circ \Rightarrow \frac{25\alpha}{12}=360^\circ \Rightarrow \alpha=172^\circ 48', \beta=86^\circ 24', \gamma=57^\circ 36', \delta=43^\circ 12' \)
3) \( 4,5\alpha = 360^\circ \Rightarrow \alpha=80^\circ, \beta=160^\circ, \gamma=80^\circ, \delta=40^\circ \)

Најважније из лекције

У сваком четвороуглу важе следећа важна правила:

Збир унутрашњих углова је увек $ 360^\circ $ ($ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ $).
Збир спољашњих углова је такође увек $ 360^\circ $ ($ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ $).
Унутрашњи и одговарајући спољашњи угао су упоредни, односно њихов збир је $ 180^\circ $ ($ \alpha + \alpha_1 = 180^\circ $).

Сваки четвороугао се једном својом дијагоналом може поделити на два троугла. Како је збир углова сваког троугла $ 180^\circ $, укупан збир углова у четвороуглу је двоструко већи.

Илустрација произвољног четвороугла подељеног једном дијагоналом на два троугла, чиме се показује да се његови унутрашњи углови састоје од углова та два троугла.

Збир унутрашњих углова сваког четвороугла једнак је $ 360^\circ $. \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]

Нека су познате величине три угла неког четвороугла: $ 62^\circ $, $ 78^\circ $ и $ 84^\circ $. Четврти угао једноставно одређујемо одузимањем њиховог збира од укупног збира: \[ 360^\circ - (62^\circ + 78^\circ + 84^\circ) = 360^\circ - 224^\circ = 136^\circ \]

Спољашњи угао четвороугла јесте угао који је упоредан неком унутрашњем углу тог четвороугла.

Сваком унутрашњем углу одговарају два унакрсна спољашња угла (који су једнаки), па за спољашњи угао код једног темена бирамо било који од њих. Збир унутрашњег и њему одговарајућег спољашњег угла је увек $ 180^\circ $ (на пример, $ \alpha + \alpha_1 = 180^\circ $).

$Четвороугао са продуженим страницама код свих темена, где су означени унутрашњи углови ($ \alpha, \beta, \gamma, \delta $) и њима одговарајући спољашњи углови ($ \alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1 $).$

Збир спољашњих углова четвороугла једнак је $ 360^\circ $. \[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ \]

Ако је унутрашњи угао четвороугла $ \beta = 110^\circ $, колики је његов одговарајући спољашњи угао $ \beta_1 $?

Спољашњи и унутрашњи угао су упоредни, па њихов збир износи $ 180^\circ $.
$ \beta_1 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ $.

Задаци за вежбање

Лак: Три угла четвороугла износе $ 55^\circ $, $ 105^\circ $ и $ 80^\circ $. Израчунај меру четвртог угла.

Збир свих унутрашњих углова је $ 360^\circ $.
Четврти угао израчунавамо на следећи начин:
$ 360^\circ - (55^\circ + 105^\circ + 80^\circ) = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ $.

Средњи: Збир три спољашња угла четвороугла је $ 285^\circ $. Одреди четврти спољашњи угао и њему одговарајући унутрашњи угао.

Збир свих спољашњих углова је $ 360^\circ $.
Четврти спољашњи угао износи: $ 360^\circ - 285^\circ = 75^\circ $.
Њему одговарајући унутрашњи угао је упоредан са њим, па износи: $ 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ $.

Тежак: Одреди све унутрашње углове $ \alpha, \beta, \gamma $ и $ \delta $ четвороугла ако важи да су прва три угла међусобно једнака ($ \alpha = \beta = \gamma $), а четврти угао је једнак збиру прва два ($ \delta = \alpha + \beta $).

Знамо да је $ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ $.
Пошто је $ \alpha = \beta = \gamma $, а $ \delta = \alpha + \alpha = 2\alpha $, можемо целу једначину изразити преко угла $ \alpha $:
$ \alpha + \alpha + \alpha + 2\alpha = 360^\circ $
$ 5\alpha = 360^\circ $
$ \alpha = 360^\circ : 5 = 72^\circ $

Углови су дакле: $ \alpha = 72^\circ $, $ \beta = 72^\circ $, $ \gamma = 72^\circ $ и $ \delta = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ $.

34. Збир Углова Четвороугла

Изабери решење задатка:

1)

2)

3)

1) \( \alpha = \beta = \gamma \), \( \delta = \alpha + \beta \)

Коришћење збира унутрашњих углова

Изражавање свих углова преко \( \alpha \)

Постављање и решавање једначине

Одређивање осталих углова

2) \( \alpha = 2\beta = 3\gamma = 4\delta \)

Изражавање углова преко \( \alpha \) помоћу разломака

Постављање једначине са разломцима

Израчунавање осталих углова

3) \( \beta = 2\alpha \), \( \gamma = \frac{1}{2}\beta \), \( \delta = \frac{1}{2}\gamma \)

Изражавање свих углова преко \( \alpha \)

Постављање једначине

Коначне вредности углова

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

1)

2)

3)

Детаљно решење

1) \( \alpha = \beta = \gamma \), \( \delta = \alpha + \beta \)

Коришћење збира унутрашњих углова

Изражавање свих углова преко \( \alpha \)

Постављање и решавање једначине

Одређивање осталих углова

2) \( \alpha = 2\beta = 3\gamma = 4\delta \)

Изражавање углова преко \( \alpha \) помоћу разломака

Постављање једначине са разломцима

Израчунавање осталих углова

3) \( \beta = 2\alpha \), \( \gamma = \frac{1}{2}\beta \), \( \delta = \frac{1}{2}\gamma \)

Изражавање свих углова преко \( \alpha \)

Постављање једначине

Коначне вредности углова

Кратак запис решења:

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: