Најважније из лекције
У сваком четвороуглу важе следећа важна правила:
- Збир унутрашњих углова је увек \( 360^\circ \) (\( \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)).
- Збир спољашњих углова је такође увек \( 360^\circ \) (\( \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ \)).
- Унутрашњи и одговарајући спољашњи угао су упоредни, односно њихов збир је \( 180^\circ \) (\( \alpha + \alpha_1 = 180^\circ \)).
Сваки четвороугао се једном својом дијагоналом може поделити на два троугла. Како је збир углова сваког троугла \( 180^\circ \), укупан збир углова у четвороуглу је двоструко већи.
Збир унутрашњих углова сваког четвороугла једнак је \( 360^\circ \).
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]
Нека су познате величине три угла неког четвороугла: \( 62^\circ \), \( 78^\circ \) и \( 84^\circ \). Четврти угао једноставно одређујемо одузимањем њиховог збира од укупног збира:
\[ 360^\circ - (62^\circ + 78^\circ + 84^\circ) = 360^\circ - 224^\circ = 136^\circ \]
Спољашњи угао четвороугла јесте угао који је упоредан неком унутрашњем углу тог четвороугла.
Сваком унутрашњем углу одговарају два унакрсна спољашња угла (који су једнаки), па за спољашњи угао код једног темена бирамо било који од њих. Збир унутрашњег и њему одговарајућег спољашњег угла је увек \( 180^\circ \) (на пример, \( \alpha + \alpha_1 = 180^\circ \)).
Збир спољашњих углова четвороугла једнак је \( 360^\circ \).
\[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ \]
Ако је унутрашњи угао четвороугла \( \beta = 110^\circ \), колики је његов одговарајући спољашњи угао \( \beta_1 \)?
Спољашњи и унутрашњи угао су упоредни, па њихов збир износи \( 180^\circ \).
\( \beta_1 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
\( \beta_1 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
Задаци за вежбање
Лак: Три угла четвороугла износе \( 55^\circ \), \( 105^\circ \) и \( 80^\circ \). Израчунај меру четвртог угла.
Збир свих унутрашњих углова је \( 360^\circ \).
Четврти угао израчунавамо на следећи начин:
\( 360^\circ - (55^\circ + 105^\circ + 80^\circ) = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ \).
Четврти угао израчунавамо на следећи начин:
\( 360^\circ - (55^\circ + 105^\circ + 80^\circ) = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ \).
Средњи: Збир три спољашња угла четвороугла је \( 285^\circ \). Одреди четврти спољашњи угао и њему одговарајући унутрашњи угао.
Збир свих спољашњих углова је \( 360^\circ \).
Четврти спољашњи угао износи: \( 360^\circ - 285^\circ = 75^\circ \).
Њему одговарајући унутрашњи угао је упоредан са њим, па износи: \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \).
Четврти спољашњи угао износи: \( 360^\circ - 285^\circ = 75^\circ \).
Њему одговарајући унутрашњи угао је упоредан са њим, па износи: \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \).
Тежак: Одреди све унутрашње углове \( \alpha, \beta, \gamma \) и \( \delta \) четвороугла ако важи да су прва три угла међусобно једнака (\( \alpha = \beta = \gamma \)), а четврти угао је једнак збиру прва два (\( \delta = \alpha + \beta \)).
Знамо да је \( \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \).
Пошто је \( \alpha = \beta = \gamma \), а \( \delta = \alpha + \alpha = 2\alpha \), можемо целу једначину изразити преко угла \( \alpha \):
\( \alpha + \alpha + \alpha + 2\alpha = 360^\circ \)
\( 5\alpha = 360^\circ \)
\( \alpha = 360^\circ : 5 = 72^\circ \)
Углови су дакле: \( \alpha = 72^\circ \), \( \beta = 72^\circ \), \( \gamma = 72^\circ \) и \( \delta = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ \).
Пошто је \( \alpha = \beta = \gamma \), а \( \delta = \alpha + \alpha = 2\alpha \), можемо целу једначину изразити преко угла \( \alpha \):
\( \alpha + \alpha + \alpha + 2\alpha = 360^\circ \)
\( 5\alpha = 360^\circ \)
\( \alpha = 360^\circ : 5 = 72^\circ \)
Углови су дакле: \( \alpha = 72^\circ \), \( \beta = 72^\circ \), \( \gamma = 72^\circ \) и \( \delta = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ \).
