Најважније из лекције
Одређивање густине: Густина се одређује посредно по формули \(\rho = \frac{m}{V}\), где се маса \(m\) увек мери вагом.
Тела правилног облика: Запремина се рачуна мерењем димензија - за коцку \(V = a^3\), а за квадар \(V = a \cdot b \cdot h\).
Тела неправилног облика: Запремина се мери мензуром као разлика нивоа течности: \(V = V_2 - V_1\).
Јединице: \(1\text{ l} = 1\text{ dm}^3\), \(1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3\), а \(1\text{ g/cm}^3 = 1\,000\text{ kg/m}^3\).
Тела правилног облика: Запремина се рачуна мерењем димензија - за коцку \(V = a^3\), а за квадар \(V = a \cdot b \cdot h\).
Тела неправилног облика: Запремина се мери мензуром као разлика нивоа течности: \(V = V_2 - V_1\).
Јединице: \(1\text{ l} = 1\text{ dm}^3\), \(1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3\), а \(1\text{ g/cm}^3 = 1\,000\text{ kg/m}^3\).
Густина тела представља физичку величину једнаку количнику масе тела и његове запремине.
Посредно мерење: Густина чврстих тела се одређује посредно - маса се мери директно помоћу ваге, запремина се израчунава или мери мензуром, а затим се рачуна њихов количник.
\[\rho = \frac{m}{V}\]
\(\rho\) – густина супстанције, \(m\) – маса тела, \(V\) – запремина тела
Основна јединица за густину у СИ систему је килограм по метру кубном (\(\text{kg/m}^3\)), а често се користи и грам по центиметру кубном (\(\text{g/cm}^3\)).
Запремина чврстих тела правилног геометријског облика одређује се рачунски, након мерења њихових димензија (дужине, ширине, висине).
Запремина коцке: Пошто су све ивице коцке једнаке (\(a\)), њена запремина се рачуна као:
\[V = a \cdot a \cdot a = a^3\]
Запремина квадра: Множењем дужине (\(a\)), ширине (\(b\)) и висине (\(h\) или \(c\)):
\[V = a \cdot b \cdot h\]
Како производ \(a \cdot b\) представља површину основе (базе) \(S\), запремина се може записати и као:
\[V = S \cdot h\]
Дрвена даска у облику квадра има димензије \(a = 1,2\text{ m}\), \(b = 20\text{ cm} = 0,2\text{ m}\) и \(c = 4\text{ cm} = 0,04\text{ m}\), а масу \(m = 7,68\text{ kg}\).
1. Запремина: \(V = 1,2\text{ m} \cdot 0,2\text{ m} \cdot 0,04\text{ m} = 0,0096\text{ m}^3\)
2. Густина: \(\rho = \frac{m}{V} = \frac{7,68\text{ kg}}{0,0096\text{ m}^3} = 800\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\) (храстово дрво).
1. Запремина: \(V = 1,2\text{ m} \cdot 0,2\text{ m} \cdot 0,04\text{ m} = 0,0096\text{ m}^3\)
2. Густина: \(\rho = \frac{m}{V} = \frac{7,68\text{ kg}}{0,0096\text{ m}^3} = 800\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\) (храстово дрво).
Односи кубних јединица:
\[1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 = 1\,000\,000\text{ cm}^3 = 1\,000\,000\,000\text{ mm}^3\]
\[1\text{ mm}^3 = 0,001\text{ cm}^3 = 0,000\,001\text{ dm}^3 = 0,000\,000\,001\text{ m}^3\]
Односи литарских и кубних јединица:
\[1\text{ l} = 1\text{ dm}^3\]
\[1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3\]
\[1\text{ l} = 10\text{ dl} = 100\text{ cl} = 1\,000\text{ ml}\]
При израчунавању густине неопходно је све величине претворити у усклађене јединице: или масу у \(\text{kg}\) и запремину у \(\text{m}^3\), или масу у \(\text{g}\) и запремину у \(\text{cm}^3\).
Запремина чврстог тела неправилног геометријског облика (које не упија воду и тоне у њој) мери се мензуром помоћу методе истискивања течности.
Измерити масу тела \(m\) помоћу ваге.
У мензуру сипати одређену количину течности и очитати почетну запремину \(V_1\).
Пажљиво спустити тело у мензуру и очитати нови ниво течности \(V_2\).
Израчунати запремину тела као разлику нивоа: \(V = V_2 - V_1\).
Израчунати густину дељењем масе и добијене запремине: \(\rho = \frac{m}{V}\).
Ако је маса гвозденог завртња \(m = 23,7\text{ g}\), а у мензури ниво воде порасте са \(15\text{ cm}^3\) на \(18\text{ cm}^3\):
Запремина: \(V = 18\text{ cm}^3 - 15\text{ cm}^3 = 3\text{ cm}^3\)
Густина: \(\rho = \frac{m}{V} = \frac{23,7\text{ g}}{3\text{ cm}^3} = 7,9\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\)
Запремина: \(V = 18\text{ cm}^3 - 15\text{ cm}^3 = 3\text{ cm}^3\)
Густина: \(\rho = \frac{m}{V} = \frac{23,7\text{ g}}{3\text{ cm}^3} = 7,9\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\)
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Коцка направљена од алуминијума има дужину ивице \(a = 2\text{ cm}\), а њена маса износи \(21,6\text{ g}\). Израчунај запремину коцке и густину алуминијума.
Познато: \(a = 2\text{ cm}\), \(m = 21,6\text{ g}\)
1. Запремина коцке: \[V = a^3 = (2\text{ cm})^3 = 8\text{ cm}^3\] 2. Густина алуминијума: \[\rho = \frac{m}{V} = \frac{21,6\text{ g}}{8\text{ cm}^3} = 2,7\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\] Одговор: Запремина коцке је \(8\text{ cm}^3\), а густина алуминијума је \(2,7\text{ g/cm}^3\).
1. Запремина коцке: \[V = a^3 = (2\text{ cm})^3 = 8\text{ cm}^3\] 2. Густина алуминијума: \[\rho = \frac{m}{V} = \frac{21,6\text{ g}}{8\text{ cm}^3} = 2,7\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\] Одговор: Запремина коцке је \(8\text{ cm}^3\), а густина алуминијума је \(2,7\text{ g/cm}^3\).
Задатак 2 (средњи): У мензуру је сипана вода до подеока \(40\text{ ml}\). Након потапања металног предмета масе \(117\text{ g}\), ниво воде у мензури попео се на \(55\text{ ml}\). Колика је запремина и густина тог тела?
Познато: \(V_1 = 40\text{ ml}\), \(V_2 = 55\text{ ml}\), \(m = 117\text{ g}\)
1. Запремина тела: \[V = V_2 - V_1 = 55\text{ ml} - 40\text{ ml} = 15\text{ ml} = 15\text{ cm}^3\] 2. Густина тела: \[\rho = \frac{m}{V} = \frac{117\text{ g}}{15\text{ cm}^3} = 7,8\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\] Одговор: Запремина предмета је \(15\text{ cm}^3\), а густина \(7,8\text{ g/cm}^3\).
1. Запремина тела: \[V = V_2 - V_1 = 55\text{ ml} - 40\text{ ml} = 15\text{ ml} = 15\text{ cm}^3\] 2. Густина тела: \[\rho = \frac{m}{V} = \frac{117\text{ g}}{15\text{ cm}^3} = 7,8\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\] Одговор: Запремина предмета је \(15\text{ cm}^3\), а густина \(7,8\text{ g/cm}^3\).
Задатак 3 (средњи): Дрвени квадар има дужину \(2\text{ m}\), ширину \(10\text{ cm}\) и висину \(5\text{ cm}\). Маса квадра је \(7\text{ kg}\). Израчунај густину дрвета у \(\text{kg/m}^3\).
Познато: \(a = 2\text{ m}\), \(b = 10\text{ cm} = 0,1\text{ m}\), \(h = 5\text{ cm} = 0,05\text{ m}\), \(m = 7\text{ kg}\)
1. Запремина квадра: \[V = a \cdot b \cdot h = 2\text{ m} \cdot 0,1\text{ m} \cdot 0,05\text{ m} = 0,01\text{ m}^3\] 2. Густина дрвета: \[\rho = \frac{m}{V} = \frac{7\text{ kg}}{0,01\text{ m}^3} = 700\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\] Одговор: Густина дрвета је \(700\text{ kg/m}^3\).
1. Запремина квадра: \[V = a \cdot b \cdot h = 2\text{ m} \cdot 0,1\text{ m} \cdot 0,05\text{ m} = 0,01\text{ m}^3\] 2. Густина дрвета: \[\rho = \frac{m}{V} = \frac{7\text{ kg}}{0,01\text{ m}^3} = 700\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\] Одговор: Густина дрвета је \(700\text{ kg/m}^3\).
Задатак 4 (тежак): Камен масе \(54\text{ g}\) спуштен је у мензуру у којој је било \(25\text{ cm}^3\) воде, након чега је ниво воде порастао на \(45\text{ cm}^3\). Израчунај густину камена и изрази је и у \(\text{g/cm}^3\) и у \(\text{kg/m}^3\).
Познато: \(m = 54\text{ g}\), \(V_1 = 25\text{ cm}^3\), \(V_2 = 45\text{ cm}^3\)
1. Запремина камена: \[V = V_2 - V_1 = 45\text{ cm}^3 - 25\text{ cm}^3 = 20\text{ cm}^3\] 2. Густина у \(\text{g/cm}^3\): \[\rho = \frac{54\text{ g}}{20\text{ cm}^3} = 2,7\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\] 3. Претварање у \(\text{kg/m}^3\): \[2,7\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 2,7 \cdot 1\,000\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 2\,700\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\] Одговор: Густина камена је \(2,7\text{ g/cm}^3\), односно \(2\,700\text{ kg/m}^3\).
1. Запремина камена: \[V = V_2 - V_1 = 45\text{ cm}^3 - 25\text{ cm}^3 = 20\text{ cm}^3\] 2. Густина у \(\text{g/cm}^3\): \[\rho = \frac{54\text{ g}}{20\text{ cm}^3} = 2,7\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\] 3. Претварање у \(\text{kg/m}^3\): \[2,7\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 2,7 \cdot 1\,000\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 2\,700\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\] Одговор: Густина камена је \(2,7\text{ g/cm}^3\), односно \(2\,700\text{ kg/m}^3\).
