Најважније из лекције
Замена места чинилаца (комутативност): Производ остаје исти без обзира на редослед чинилаца (\( a \cdot b = b \cdot a \)). Пример: \( 100 \cdot 4 = 4 \cdot 100 = 400 \).
Здруживање чинилаца (асоцијативност): Чиниоце можемо груписати у заграде по жељи (\( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)). Пример: \( (2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4) = 24 \).
Олакшано рачунање: Комбиновањем ова два својства прво множимо чиниоце који дају десетице, стотине или хиљаде (\( 2 \cdot 5 = 10 \), \( 4 \cdot 25 = 100 \), \( 5 \cdot 20 = 100 \), \( 8 \cdot 125 = 1\,000 \)), а затим тај резултат лако множимо преосталим бројем.
Здруживање чинилаца (асоцијативност): Чиниоце можемо груписати у заграде по жељи (\( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)). Пример: \( (2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4) = 24 \).
Олакшано рачунање: Комбиновањем ова два својства прво множимо чиниоце који дају десетице, стотине или хиљаде (\( 2 \cdot 5 = 10 \), \( 4 \cdot 25 = 100 \), \( 5 \cdot 20 = 100 \), \( 8 \cdot 125 = 1\,000 \)), а затим тај резултат лако множимо преосталим бројем.
Производ се не мења ако чиниоци замене места. Ово својство назива се комутативност множења.
\[ a \cdot b = b \cdot a \]
Замена места чинилаца се често примењује за проверу тачности множења, као и за лакше множење када је један од чинилаца декадна јединица (\(10, 100, 1\,000 \dots\)).
\[ 10 \cdot 3\,185 = 3\,185 \cdot 10 = 31\,850 \]
\[ 900 \cdot 3 = 3 \cdot 900 = 2\,700 \]
Замени места чиниоцима и израчунај производ: \( 1\,000 \cdot 856 \).
\( 1\,000 \cdot 856 = 856 \cdot 1\,000 = 856\,000 \)
Производ три или више бројева не мења се ако се чиниоци другачије здруже (групишу у заграде). Ово својство назива се асоцијативност множења.
\[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]
Рачунање производа бројева 13, 10 и 10 на два начина:
- Прво здружимо прва два чиниоца: \[ (13 \cdot 10) \cdot 10 = 130 \cdot 10 = 1\,300 \]
- Прво здружимо друга два чиниоца: \[ 13 \cdot (10 \cdot 10) = 13 \cdot 100 = 1\,300 \]
Здружи чиниоце на два начина и израчунај производ бројева 6, 10 и 40.
1. начин: \( (6 \cdot 10) \cdot 40 = 60 \cdot 40 = 2\,400 \)
2. начин: \( 6 \cdot (10 \cdot 40) = 6 \cdot 400 = 2\,400 \)
2. начин: \( 6 \cdot (10 \cdot 40) = 6 \cdot 400 = 2\,400 \)
Заменом места и здруживањем чинилаца biramo редослед рачунања тако да чиниоце групишемо у производе који дају десетице, стотине или хиљаде, чиме рачунање постаје много брже и једноставније.
Посебно су корисни карактеристични парови који дају декадне јединице:
\[ 2 \cdot 5 = 10 \]
\[ 4 \cdot 25 = 100 \quad \text{или} \quad 5 \cdot 20 = 100 \]
\[ 8 \cdot 125 = 1\,000 \]
Израчунавање производа \( 7 \cdot 100 \cdot 5 \):
\[ 7 \cdot 100 \cdot 5 = (7 \cdot 5) \cdot 100 = 35 \cdot 100 = 3\,500 \]
Израчунавање производа \( 2\,456 \cdot 2 \cdot 5 \):
\[ 2\,456 \cdot (2 \cdot 5) = 2\,456 \cdot 10 = 24\,560 \]
Израчунај на најлакши начин производ \( 9 \cdot 10 \cdot 20 \).
Здружимо бројеве 10 и 20 или 9 и 20:
\[ 9 \cdot (10 \cdot 20) = 9 \cdot 200 = 1\,800 \]
(или: \( (9 \cdot 20) \cdot 10 = 180 \cdot 10 = 1\,800 \))
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Примени замену места чинилаца и израчунај:
а) \( 10 \cdot 24\,039 \)
б) \( 100 \cdot 450 \)
а) \( 10 \cdot 24\,039 \)
б) \( 100 \cdot 450 \)
а) \( 10 \cdot 24\,039 = 24\,039 \cdot 10 = 240\,390 \)
б) \( 100 \cdot 450 = 450 \cdot 100 = 45\,000 \)
б) \( 100 \cdot 450 = 450 \cdot 100 = 45\,000 \)
Задатак 2 (средњи): Здружи чиниоце на најлакши начин и израчунај вредност израза:
а) \( 14 \cdot 8 \cdot 10 \)
б) \( 37 \cdot 5 \cdot 20 \)
а) \( 14 \cdot 8 \cdot 10 \)
б) \( 37 \cdot 5 \cdot 20 \)
а) Прво множимо \( 14 \cdot 8 \), па резултат са 10:
\[ (14 \cdot 8) \cdot 10 = 112 \cdot 10 = 1\,120 \]
б) Здружимо бројеве 5 и 20 јер дају 100:
\[ 37 \cdot (5 \cdot 20) = 37 \cdot 100 = 3\,700 \]
Задатак 3 (средњи): Међу понуђеним бројевима одабери и заокружи три чиниоца чији је производ једнак броју \( 32\,000 \):
Понуђени бројеви: \( 10,\; 80,\; 40,\; 100,\; 125,\; 50 \)
Понуђени бројеви: \( 10,\; 80,\; 40,\; 100,\; 125,\; 50 \)
Тражимо три броја чији је производ \( 32\,000 \).
Приметимо да је \( 80 \cdot 40 = 3\,200 \).
Ако то помножимо са 10, добијамо: \[ 80 \cdot 40 \cdot 10 = 3\,200 \cdot 10 = 32\,000 \] Одговор: То су бројеви 80, 40 и 10.
Приметимо да је \( 80 \cdot 40 = 3\,200 \).
Ако то помножимо са 10, добијамо: \[ 80 \cdot 40 \cdot 10 = 3\,200 \cdot 10 = 32\,000 \] Одговор: То су бројеви 80, 40 и 10.
Задатак 4 (тежак): У једно складиште је стигло 8 палета. На свакој палети се налази по 25 пакета, а у сваком пакету има по 34 књиге. Израчунај укупан број књига користећи својства замене места и здруживања чинилаца на најлакши начин.
Укупан број књига рачунамо као производ:
\[ 8 \cdot 25 \cdot 34 \]
Најлакши начин је да прво здружимо чиниоце 8 и 25, јер њихов производ даје округли број:
\[ (8 \cdot 25) \cdot 34 = 200 \cdot 34 \]
Сада заменимо места или одмах израчунамо:
\[ 34 \cdot 200 = 6\,800 \]
Одговор: У складиште је укупно стигло \(6\,800\) књига.
