Најважније из лекције
Збир:
• Сабирак расте/опада \(\implies\) збир прати ту промену: \((a \pm n) + b = (a + b) \pm n\).
• Сталност: Један сабирак се повећа, а други смањи за исти број \(\implies\) збир остаје исти: \((a + n) + (b - n) = a + b\).
Разлика:
• Умањеник расте/опада \(\implies\) разлика расте/опада: \((a \pm n) - b = (a - b) \pm n\).
• Умањилац расте/опада \(\implies\) разлика се мења супротно: \(a - (b \pm n) = (a - b) \mp n\).
• Сталност: Оба члана се истовремено повећају или оба смање за исти број \(\implies\) разлика остаје иста: \((a \pm n) - (b \pm n) = a - b\).
• Сабирак расте/опада \(\implies\) збир прати ту промену: \((a \pm n) + b = (a + b) \pm n\).
• Сталност: Један сабирак се повећа, а други смањи за исти број \(\implies\) збир остаје исти: \((a + n) + (b - n) = a + b\).
Разлика:
• Умањеник расте/опада \(\implies\) разлика расте/опада: \((a \pm n) - b = (a - b) \pm n\).
• Умањилац расте/опада \(\implies\) разлика се мења супротно: \(a - (b \pm n) = (a - b) \mp n\).
• Сталност: Оба члана се истовремено повећају или оба смање за исти број \(\implies\) разлика остаје иста: \((a \pm n) - (b \pm n) = a - b\).
Ако се један сабирак повећа за неки број, и збир се повећа за тај исти број. Ако се један сабирак смањи за неки број, и збир се смањи за тај исти број.
\[ (a + n) + b = (a + b) + n \]
\[ (a - n) + b = (a + b) - n \]
Ако знамо да је \(a + b = 5\,000\):
• \((a + 350) + b = 5\,000 + 350 = 5\,350\)
• \((a - 450) + b = 5\,000 - 450 = 4\,550\)
• \((a + 350) + b = 5\,000 + 350 = 5\,350\)
• \((a - 450) + b = 5\,000 - 450 = 4\,550\)
Ако је збир два броја \(a + b = 3\,400\), колика је вредност израза \(a + (b - 400)\)?
Пошто је други сабирак смањен за \(400\), и збир се смањује за исти број:
\(a + (b - 400) = (a + b) - 400 = 3\,400 - 400 = 3\,000\).
\(a + (b - 400) = (a + b) - 400 = 3\,400 - 400 = 3\,000\).
Збир два броја се не мења ако се један сабирак повећа за неки број, а други сабирак смањи за тај исти број.
\[ (a + n) + (b - n) = a + b \]
Примена код усменог рачунања:
\(497 + 235 = (497 + 3) + (235 - 3) = 500 + 232 = 732\)
\(497 + 235 = (497 + 3) + (235 - 3) = 500 + 232 = 732\)
Како треба променити други сабирак да би збир остао исти ако се први сабирак повећа за \(650\)?
Да би збир остао непромењен, други сабирак се мора смањити за исти број, односно за \(650\).
Промена умањеника: Разлика се мења у истом смеру као и умањеник.
• Ако се умањеник повећа за неки број, и разлика се повећа за тај исти број:
\[ (a + n) - b = (a - b) + n \]
• Ако се умањеник смањи за неки број, и разлика се смањи за тај исти број:
\[ (a - n) - b = (a - b) - n \]
Промена умањиоца: Разлика се мења у супротном смеру од умањиоца!
• Ако се умањилац повећа за неки број, разлика се смањи за тај исти број:
\[ a - (b + n) = (a - b) - n \]
• Ако се умањилац смањи за неки број, разлика се повећа за тај исти број:
\[ a - (b - n) = (a - b) + n \]
Ако знамо да је \(a - b = 1\,000\):
• \((a + 200) - b = 1\,000 + 200 = 1\,200\) (умањеник расте \(\implies\) разлика расте)
• \(a - (b + 450) = 1\,000 - 450 = 550\) (умањилац расте \(\implies\) разлика опада)
• \((a + 200) - b = 1\,000 + 200 = 1\,200\) (умањеник расте \(\implies\) разлика расте)
• \(a - (b + 450) = 1\,000 - 450 = 550\) (умањилац расте \(\implies\) разлика опада)
Ако је \(a - b = 800\), колико је \(a - (b - 150)\)?
Пошто је умањилац смањен за \(150\), разлика ће се повећати за тај износ:
\(a - (b - 150) = (a - b) + 150 = 800 + 150 = 950\).
\(a - (b - 150) = (a - b) + 150 = 800 + 150 = 950\).
Разлика два броја се не мења ако се и умањеник и умањилац повећају за исти број, или ако се и умањеник и умањилац смање за исти број.
\[ (a + n) - (b + n) = a - b \]
\[ (a - n) - (b - n) = a - b \]
Олакшавање одузимања додавањем истог броја:
\(754 - 298 = (754 + 2) - (298 + 2) = 756 - 300 = 456\)
\(754 - 298 = (754 + 2) - (298 + 2) = 756 - 300 = 456\)
Да ли ће се вредност разлике \(25\,000 - 4\,800\) променити ако се оба броја умање за \(800\)?
Неће се променити. Према својству сталности разлике:
\((25\,000 - 800) - (4\,800 - 800) = 24\,200 - 4\,000 = 20\,200\), што је једнако почетној разлици \(25\,000 - 4\,800 = 20\,200\).
\((25\,000 - 800) - (4\,800 - 800) = 24\,200 - 4\,000 = 20\,200\), што је једнако почетној разлици \(25\,000 - 4\,800 = 20\,200\).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Ако је \(x + y = 6\,500\), без рачунања одреди вредност израза:
а) \((x + 800) + y\)
б) \(x + (y - 500)\)
а) \((x + 800) + y\)
б) \(x + (y - 500)\)
а) Збир се повећава за \(800\): \(6\,500 + 800 = 7\,300\).
б) Збир се смањује за \(500\): \(6\,500 - 500 = 6\,000\).
б) Збир се смањује за \(500\): \(6\,500 - 500 = 6\,000\).
Задатак 2 (средњи): Без израчунавања тачне вредности, одреди који је израз већи:
а) \(45\,673 - 6\,700\) или \(45\,673 - 7\,700\)
б) \(7\,088 - 345\) или \(6\,088 - 345\)
а) \(45\,673 - 6\,700\) или \(45\,673 - 7\,700\)
б) \(7\,088 - 345\) или \(6\,088 - 345\)
а) Већи је израз \(45\,673 - 6\,700\), јер када је умањеник исти, мањи умањилац даје већу разлику.
б) Већи је израз \(7\,088 - 345\), јер када је умањилац исти, већи умањеник даје већу разлику.
б) Већи је израз \(7\,088 - 345\), јер када је умањилац исти, већи умањеник даје већу разлику.
Задатак 3 (средњи): Јована је кренула у продавницу да купи јакну која кошта \(4\,800\) динара и понела новчаницу од \(5\,000\) динара. Када је стигла, видела је да је цена јакне снижена за \(450\) динара. Да ли ће кусур бити већи или мањи од планираног и за колико?
Кусур представља разлику: \(\text{новац} - \text{цена јакне}\).
Умањилац (цена јакне) се смањио за \(450\) динара, што значи да се разлика (кусур) повећава за тај исти износ.
Одговор: Кусур ће бити већи за \(450\) динара.
Умањилац (цена јакне) се смањио за \(450\) динара, што значи да се разлика (кусур) повећава за тај исти износ.
Одговор: Кусур ће бити већи за \(450\) динара.
Задатак 4 (тежак): Вредност израза \(a - b + c\) износи \(2\,021\). Колика ће бити вредност овог израза ако се сваки од бројева \(a\), \(b\) и \(c\) умањи за \(21\)?
Запишимо нови израз:
\[ (a - 21) - (b - 21) + (c - 21) \]
Применимо сталност разлике на прва два члана \((a - 21) - (b - 21)\): пошто су и умањеник и умањилац умањени за исти број (\(21\)), разлика остаје непромењена:
\[ (a - 21) - (b - 21) = a - b \]
Сада израз гласи:
\[ (a - b) + (c - 21) = (a - b + c) - 21 \]
Како је почетна вредност \(a - b + c = 2\,021\):
\[ 2\,021 - 21 = 2\,000 \]
Одговор: Вредност израза биће \(2\,000\).
Одговор: Вредност израза биће \(2\,000\).
