Најважније из лекције
Непознати сабирак:
\(x + a < b \implies x < b - a\) (најмање решење у \(\mathbb{N}_0\) је \(0\), највеће је \(b - a - 1\)).
\(x + a > b \implies x > b - a\) (најмање решење је \(b - a + 1\), највеће не постоји).
Непознати умањеник:
\(x - a < b \implies a \le x < b + a\) (умањеник мора бити најмање једнак умањиоцу).
Непознати умањилац:
\(a - x < b \implies x > a - b\) (уз ограничење \(x \le a\)).
\(a - x > b \implies 0 \le x < a - b\).
Важно: Увек пазити на задати скуп у којем се тражи решење (\(\mathbb{N}_0\), једноцифрени бројеви, двоцифрени бројеви итд.).
\(x + a < b \implies x < b - a\) (најмање решење у \(\mathbb{N}_0\) је \(0\), највеће је \(b - a - 1\)).
\(x + a > b \implies x > b - a\) (најмање решење је \(b - a + 1\), највеће не постоји).
Непознати умањеник:
\(x - a < b \implies a \le x < b + a\) (умањеник мора бити најмање једнак умањиоцу).
Непознати умањилац:
\(a - x < b \implies x > a - b\) (уз ограничење \(x \le a\)).
\(a - x > b \implies 0 \le x < a - b\).
Важно: Увек пазити на задати скуп у којем се тражи решење (\(\mathbb{N}_0\), једноцифрени бројеви, двоцифрени бројеви итд.).
Неједначина је математички исказ који садржи непознату величину и један од знакова неједнакости: \(<\) (мање), \(>\) (веће), \(\le\) (мање или једнако) или \(\ge\) (веће или једнако).
Скуп решења неједначине чине сви бројеви из посматраног скупа (најчешће скупа \(\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \dots\}\) или скупа једноцифрених бројева) за које неједнакост постаје тачна.
За неједначину \(\square + 100 < 105\) у скупу \(\mathbb{N}_0\):
Уместо квадратића можемо ставити бројеве \(0, 1, 2, 3, 4\), јер је:
\(0 + 100 = 100 < 105\)
\(4 + 100 = 104 < 105\)
Ако ставимо \(5\), добијамо \(5 + 100 = 105\), што није строго мање од \(105\).
Скуп решења је \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\).
Уместо квадратића можемо ставити бројеве \(0, 1, 2, 3, 4\), јер је:
\(0 + 100 = 100 < 105\)
\(4 + 100 = 104 < 105\)
Ако ставимо \(5\), добијамо \(5 + 100 = 105\), што није строго мање од \(105\).
Скуп решења је \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\).
Одреди скуп решења неједначине \(x + 460 < 464\) у скупу \(\mathbb{N}_0\).
Тражимо бројеве који додати броју 460 дају збир мањи од 464:
\(x < 464 - 460\)
\(x < 4\)
Пошто радимо у скупу \(\mathbb{N}_0\), решења су сви бројеви мањи од 4:
\(x \in \{0, 1, 2, 3\}\).
\(x < 464 - 460\)
\(x < 4\)
Пошто радимо у скупу \(\mathbb{N}_0\), решења су сви бројеви мањи од 4:
\(x \in \{0, 1, 2, 3\}\).
Када одређујемо непознати сабирак, од граничне вредности збира одузимамо познати сабирак, водећи рачуна о знаку неједнакости и доњој граници скупа \(\mathbb{N}_0\) (\(x \ge 0\)):
- \(x + a < b \implies x < b - a\), односно \(x \in \{0, 1, 2, \dots, b - a - 1\}\)
- \(x + a > b \implies x > b - a\), односно \(x \in \{b - a + 1, b - a + 2, \dots\}\)
- \(x + a \le b \implies x \le b - a\)
- \(x + a \ge b \implies x \ge b - a\)
Реши неједначину \(x + 317 < 400\) у скупу \(\mathbb{N}_0\):
\[ x < 400 - 317 \]
\[ x < 83 \]
Скуп решења је \(x \in \{0, 1, 2, \dots, 82\}\).
У скупу једноцифрених бројева \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) одреди решења неједначине:
\[ 24\,997 + x \ge 25\,001 \]
\[ x \ge 25\,001 - 24\,997 \]
\[ x \ge 4 \]
Како се решења траже само у скупу једноцифрених бројева, узимамо све једноцифрене бројеве који су већи или једнаки 4:
\(x \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\).
\(x \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\).
Непознати умањеник (\(x - a\)):
- \(x - a < b \implies x < b + a\) (уз услов да је разлика изводљива у \(\mathbb{N}_0\), тј. \(x \ge a\))
- \(x - a > b \implies x > b + a\)
Непознати умањилац (\(a - x\)):
- Када се умањилац повећава, разлика се смањује. Због тога се смер знака неједнакости мења у односу на разлику:
- \(a - x > b \implies x < a - b\) (уз услов \(x \ge 0\))
- \(a - x < b \implies x > a - b\) (уз услов \(x \le a\))
Код непознатог умањиоца увек пази на границе: умањилац не може бити већи од умањеника (\(x \le a\)) у скупу природних бројева!
Реши неједначину \(350 - x < 345\) у скупу \(\mathbb{N}_0\):
\[ x > 350 - 345 \implies x > 5 \]
Како умањилац не може бити већи од 350, скуп решења је:
\[ x \in \{6, 7, 8, \dots, 350\} \]
Одреди скуп решења неједначине \(x - 2\,500 < 3\,000\) у скупу \(\mathbb{N}_0\).
\[ x < 3\,000 + 2\,500 \]
\[ x < 5\,500 \]
Пошто одузимање мора бити изводљиво (\(x \ge 2\,500\)), решења су сви бројеви од 2 500 до 5 499:
\(x \in \{2\,500, 2\,501, \dots, 5\,499\}\).
\(x \in \{2\,500, 2\,501, \dots, 5\,499\}\).
Ако је скуп решења коначан, он има и најмање и највеће решење. Ако је скуп решења неограничен са горње стране, он има само најмање решење.
| Неједначина (у \(\mathbb{N}_0\)) | Услов за непознату | Најмање решење | Највеће решење |
|---|---|---|---|
| \(15\,857 + a < 15\,900\) | \(a < 43\) | \(0\) | \(42\) |
| \(7\,545 - b > 7\,000\) | \(b < 545\) | \(0\) | \(544\) |
| \(c - 1\,800 > 2\,000\) | \(c > 3\,800\) | \(3\,801\) | Не постоји (бесконачан скуп) |
Одреди најмање и највеће решење неједначине \(400 + x > 410\) у скупу двоцифрених бројева.
Из \(x > 410 - 400\) следи \(x > 10\).
Како посматрамо двоцифрене бројеве (\(10 \le x \le 99\)):
• Најмање решење је 11.
• Највеће решење је 99.
Како посматрамо двоцифрене бројеве (\(10 \le x \le 99\)):
• Најмање решење је 11.
• Највеће решење је 99.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Који се број може додати броју \(32\,456\) да би се добио збир мањи од \(33\,000\)? Постави неједначину и одреди скуп решења у скупу \(\mathbb{N}_0\).
Неједначина: \(32\,456 + x < 33\,000\)
Решавање: \[ x < 33\,000 - 32\,456 \] \[ x < 544 \] Скуп решења: Пошто \(x \in \mathbb{N}_0\), решења су сви бројеви од 0 до 543: \[ x \in \{0, 1, 2, \dots, 543\} \]
Решавање: \[ x < 33\,000 - 32\,456 \] \[ x < 544 \] Скуп решења: Пошто \(x \in \mathbb{N}_0\), решења су сви бројеви од 0 до 543: \[ x \in \{0, 1, 2, \dots, 543\} \]
Задатак 2 (средњи): У једном хотелу максималан број места је 962. Ако је тренутно попуњено 867 места, колико још гостију може да се смести? Напиши одговарајућу неједначину и одреди скуп решења.
Нека је \(x\) број нових гостију (слободна места).
Неједначина: \(867 + x \le 962\)
Решавање: \[ x \le 962 - 867 \] \[ x \le 95 \] Скуп решења: \[ x \in \{0, 1, 2, \dots, 95\} \] Одговор: Може се сместити највише 95 гостију.
Неједначина: \(867 + x \le 962\)
Решавање: \[ x \le 962 - 867 \] \[ x \le 95 \] Скуп решења: \[ x \in \{0, 1, 2, \dots, 95\} \] Одговор: Може се сместити највише 95 гостију.
Задатак 3 (тежак): Теретни лифт има максималну носивост од \(4\,500\text{ kg}\). У њему се већ налази роба масе \(3\text{ t } 659\text{ kg}\).
а) Постави неједначину и израчунај колику масу може имати додатна роба која се ставља у лифт.
б) Провери највеће могуће решење.
а) Постави неједначину и израчунај колику масу може имати додатна роба која се ставља у лифт.
б) Провери највеће могуће решење.
Претварамо тоне у килограме: \(3\text{ t } 659\text{ kg} = 3\,659\text{ kg}\).
а) Неједначина: \[ 3\,659 + m \le 4\,500 \] \[ m \le 4\,500 - 3\,659 \] \[ m \le 841\text{ kg} \] Скуп решења: \(m \in \{0, 1, 2, \dots, 841\}\) (у килограмима). Додатна роба може имати масу највише \(841\text{ kg}\).
б) Провера за највеће решење (\(m = 841\)): \[ 3\,659 + 841 = 4\,500 \le 4\,500 \] Једнакост важи, па лифт неће бити преоптерећен.
а) Неједначина: \[ 3\,659 + m \le 4\,500 \] \[ m \le 4\,500 - 3\,659 \] \[ m \le 841\text{ kg} \] Скуп решења: \(m \in \{0, 1, 2, \dots, 841\}\) (у килограмима). Додатна роба може имати масу највише \(841\text{ kg}\).
б) Провера за највеће решење (\(m = 841\)): \[ 3\,659 + 841 = 4\,500 \le 4\,500 \] Једнакост важи, па лифт неће бити преоптерећен.
Задатак 4 (тежак): Ако се разлици бројева \(12\,450\) и \(3\,450\) дода неки број увећан за \(400\), добиће се збир мањи од \(11\,000\). Постави неједначину и одреди све вредности тог непознатог броја у скупу \(\mathbb{N}_0\).
Разлика бројева је: \(12\,450 - 3\,450 = 9\,000\).
Број увећан за 400 записујемо као: \(x + 400\).
Неједначина: \[ (12\,450 - 3\,450) + (x + 400) < 11\,000 \] \[ 9\,000 + x + 400 < 11\,000 \] \[ x + 9\,400 < 11\,000 \] \[ x < 11\,000 - 9\,400 \] \[ x < 1\,600 \] Скуп решења: \[ x \in \{0, 1, 2, \dots, 1\,599\} \]
Број увећан за 400 записујемо као: \(x + 400\).
Неједначина: \[ (12\,450 - 3\,450) + (x + 400) < 11\,000 \] \[ 9\,000 + x + 400 < 11\,000 \] \[ x + 9\,400 < 11\,000 \] \[ x < 11\,000 - 9\,400 \] \[ x < 1\,600 \] Скуп решења: \[ x \in \{0, 1, 2, \dots, 1\,599\} \]
