Најважније из лекције
Зависност производа: Промена једног чиниоца директно мења производ за исти број пута (нпр. \(50 \cdot 4 = 200 \implies (50 \cdot 3) \cdot 4 = 600\)).
Сталност производа: Један чинилац се повећа, а други смањи исти број пута \(\implies\) производ остаје исти (нпр. \(16 \cdot 25 = (16 : 4) \cdot (25 \cdot 4) = 4 \cdot 100 = 400\)).
Зависност количника:
Сталност производа: Један чинилац се повећа, а други смањи исти број пута \(\implies\) производ остаје исти (нпр. \(16 \cdot 25 = (16 : 4) \cdot (25 \cdot 4) = 4 \cdot 100 = 400\)).
Зависност количника:
- Дељеник мења количник у истом смеру (увећање дељеника увећава количник; смањење дељеника смањује количник).
- Делилац мења количник у супротном смеру (увећање делиоца смањује количник; смањење делиоца увећава количник).
Ако се један чинилац повећа неколико пута, производ се повећа исто толико пута.
Ако се један чинилац смањи неколико пута, производ се смањи исто толико пута.
Ако се један чинилац смањи неколико пута, производ се смањи исто толико пута.
\[ (a \cdot x) \cdot b = (a \cdot b) \cdot x \qquad a \cdot (b \cdot x) = (a \cdot b) \cdot x \]
\[ (a : x) \cdot b = (a \cdot b) : x \qquad a \cdot (b : x) = (a \cdot b) : x \]
| \(a\) | 20 | 40 | 80 | 160 |
|---|---|---|---|---|
| \(b\) | 5 | 5 | 5 | 5 |
| \(a \cdot b\) | 100 | 200 | 400 | 800 |
Ако је \(80 \cdot 5 = 400\), онда је:
- \((80 \cdot 2) \cdot 5 = 160 \cdot 5 = 800\) (чинилац је увећан 2 пута, па је и производ увећан 2 пута: \(400 \cdot 2 = 800\))
- \((80 : 4) \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100\) (чинилац је смањен 4 пута, па је и производ смањен 4 пута: \(400 : 4 = 100\))
Ако је производ два броја \(a \cdot b = 150\), колика је вредност израза \((a \cdot 4) \cdot b\)?
Пошто је један чинилац увећан \(4\) пута, производ се такође увећава \(4\) пута:
\[ (a \cdot 4) \cdot b = (a \cdot b) \cdot 4 = 150 \cdot 4 = 600 \]
Производ се не мења ако се један чинилац повећа неколико пута, а други чинилац смањи исти број пута (различит од нуле).
\[ (a \cdot x) \cdot (b : x) = a \cdot b \]
\[ (a : x) \cdot (b \cdot x) = a \cdot b \]
Ово својство се често користи за лакше усмено рачунање, нарочито при множењу бројевима као што су \(5\), \(25\) или \(50\).
\[ 356 \cdot 5 = (356 : 2) \cdot (5 \cdot 2) = 178 \cdot 10 = 1780 \]
\[ 1600 \cdot 25 = (1600 : 4) \cdot (25 \cdot 4) = 400 \cdot 100 = 40\,000 \]
Израчунај вредност израза користећи правило сталности производа: \(735 \cdot 20\).
Први чинилац можемо помножити са \(5\), а други поделити са \(5\), или обрнуто (други чинилац помножити са \(5\) да добијемо \(100\), а први поделити, ако је дељив).
Још лакше: први помножимо са \(2\), а други поделимо са \(2\):
\[ 735 \cdot 20 = (735 \cdot 2) \cdot (20 : 2) = 1470 \cdot 10 = 14\,700 \]
Зависност количника од промене дељеника:
Ако се дељеник повећа неколико пута, а делилац остане исти, количник се повећа исто толико пута.
Ако се дељеник смањи неколико пута, а делилац остане исти, количник се смањи исто толико пута.
Ако се дељеник смањи неколико пута, а делилац остане исти, количник се смањи исто толико пута.
\[ (a \cdot n) : b = (a : b) \cdot n \]
\[ (a : n) : b = (a : b) : n \]
Зависност количника од промене делиоца:
Ако се делилац повећа неколико пута, а дељеник остане исти, количник се смањи исто толико пута.
Ако се делилац смањи неколико пута, а дељеник остане исти, количник се повећа исто толико пута.
Ако се делилац смањи неколико пута, а дељеник остане исти, количник се повећа исто толико пута.
\[ a : (b \cdot n) = (a : b) : n \]
\[ a : (b : n) = (a : b) \cdot n \]
Дељеник и количник се мењају у истом смеру (директно), док се делилац и количник мењају у супротном смеру (обрнуто).
Нека је \(720 : 12 = 60\):
- Ако дељеник повећамо 2 пута: \((720 \cdot 2) : 12 = 1440 : 12 = 120\) (количник се увећао 2 пута: \(60 \cdot 2 = 120\))
- Ако делилац повећамо 6 пута: \(720 : (12 \cdot 6) = 720 : 72 = 10\) (количник се смањио 6 пута: \(60 : 6 = 10\))
Ако је \(a : b = 180\), колика је вредност израза \(a : (b : 2)\)?
Пошто је делилац смањен \(2\) пута, количник се повећава \(2\) пута:
\[ a : (b : 2) = (a : b) \cdot 2 = 180 \cdot 2 = 360 \]
Количник се не мења ако се и дељеник и делилац истовремено повећају или смање исти број пута (бројем различитим од нуле).
\[ (a \cdot n) : (b \cdot n) = a : b \]
\[ (a : n) : (b : n) = a : b \]
Поједностављивање дељења са десетицама или стотинама (смањивањем оба члана):
\[ 24\,000 : 800 = (24\,000 : 100) : (800 : 100) = 240 : 8 = 30 \]
Проширивање чланова ради лакшег рачунања:
\[ 45 : 15 = (45 \cdot 2) : (15 \cdot 2) = 90 : 30 = 3 \]
Користећи правило сталности количника, израчунај \(4800 : 600\).
И дељеник и делилац поделимо са \(100\):
\[ (4800 : 100) : (600 : 100) = 48 : 6 = 8 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Један чинилац је увећан \(8\) пута. Шта треба урадити са другим чиниоцем да би производ остао непромењен?
Према правилу сталности производа, ако је један чинилац увећан \(8\) пута, други чинилац се мора смањити \(8\) пута (поделити са \(8\)) да би производ остао исти:
\[ (a \cdot 8) \cdot (b : 8) = a \cdot b \]
Задатак 2 (средњи): Ако је \(a : b = 300\), израчунај вредност израза:
а) \((a : 5) : b\)
б) \(a : (b \cdot 4)\)
в) \((a \cdot 6) : b\)
г) \(a : (b : 3)\)
а) \((a : 5) : b\)
б) \(a : (b \cdot 4)\)
в) \((a \cdot 6) : b\)
г) \(a : (b : 3)\)
а) Дељеник је смањен 5 пута, количник се смањује 5 пута:
\[ (a : 5) : b = 300 : 5 = 60 \]
б) Делилац је повећан 4 пута, количник се смањује 4 пута:
\[ a : (b \cdot 4) = 300 : 4 = 75 \]
в) Дељеник је повећан 6 пута, количник се повећава 6 пута:
\[ (a \cdot 6) : b = 300 \cdot 6 = 1800 \]
г) Делилац је смањен 3 пута, количник се повећава 3 пута:
\[ a : (b : 3) = 300 \cdot 3 = 900 \]
Задатак 3 (средњи): Шта ће се десити са количником два броја ако се:
а) дељеник повећа \(6\) пута, а делилац смањи \(3\) пута?
б) дељеник смањи \(10\) пута, а делилац повећа \(5\) пута?
а) дељеник повећа \(6\) пута, а делилац смањи \(3\) пута?
б) дељеник смањи \(10\) пута, а делилац повећа \(5\) пута?
а) Због повећања дељеника за \(6\) пута, количник се повећава \(6\) пута. Због смањења делиоца за \(3\) пута, количник се додатно повећава \(3\) пута. Укупно:
\[ (a \cdot 6) : (b : 3) = (a : b) \cdot 6 \cdot 3 = (a : b) \cdot 18 \]
Одговор: Количник ће се повећати \(18\) пута.
б) Због смањења дељеника за \(10\) пута, количник се смањује \(10\) пута. Због повећања делиоца за \(5\) пута, количник се додатно смањује \(5\) пута. Укупно: \[ (a : 10) : (b \cdot 5) = ((a : b) : 10) : 5 = (a : b) : 50 \] Одговор: Количник ће се смањити \(50\) пута.
б) Због смањења дељеника за \(10\) пута, количник се смањује \(10\) пута. Због повећања делиоца за \(5\) пута, количник се додатно смањује \(5\) пута. Укупно: \[ (a : 10) : (b \cdot 5) = ((a : b) : 10) : 5 = (a : b) : 50 \] Одговор: Количник ће се смањити \(50\) пута.
Задатак 4 (тежи): Производ два броја је \(800\). Одреди те бројеве ако се зна да је један број \(8\) пута већи од другог.
Означимо мањи број са \(b\). Тада је већи број \(a = 8 \cdot b\).
Производ гласи: \[ a \cdot b = (8 \cdot b) \cdot b = 800 \] Применом зависности производа: \[ 8 \cdot (b \cdot b) = 800 \implies b \cdot b = 800 : 8 = 100 \] Пошто је \(10 \cdot 10 = 100\), закључујемо да је мањи број: \[ b = 10 \] Већи број је: \[ a = 8 \cdot 10 = 80 \] Одговор: Тражени бројеви су \(80\) и \(10\).
Производ гласи: \[ a \cdot b = (8 \cdot b) \cdot b = 800 \] Применом зависности производа: \[ 8 \cdot (b \cdot b) = 800 \implies b \cdot b = 800 : 8 = 100 \] Пошто је \(10 \cdot 10 = 100\), закључујемо да је мањи број: \[ b = 10 \] Већи број је: \[ a = 8 \cdot 10 = 80 \] Одговор: Тражени бројеви су \(80\) и \(10\).
