Најважније из лекције
Непознати чинилац: знак остаје исти (\( a \cdot x < b \implies x < b : a \)). Пример: \( 3 \cdot x < 15 \implies x < 5 \).
Непознати дељеник: знак остаје исти (\( x : a < b \implies x < b \cdot a \)). Пример: \( x : 2 < 10 \implies x < 20 \).
Непознати делилац: знак се окреће (\( a : x < b \implies x > a : b \)). Пример: \( 20 : x < 4 \implies x > 5 \).
Скуп бројева: Пазити на скуп решења – у \( \mathbb{N} \) нема нуле (\( \{1, 2, 3, \dots\} \)), док у \( \mathbb{N}_0 \) нула постоји (\( \{0, 1, 2, \dots\} \)).
Непознати дељеник: знак остаје исти (\( x : a < b \implies x < b \cdot a \)). Пример: \( x : 2 < 10 \implies x < 20 \).
Непознати делилац: знак се окреће (\( a : x < b \implies x > a : b \)). Пример: \( 20 : x < 4 \implies x > 5 \).
Скуп бројева: Пазити на скуп решења – у \( \mathbb{N} \) нема нуле (\( \{1, 2, 3, \dots\} \)), док у \( \mathbb{N}_0 \) нула постоји (\( \{0, 1, 2, \dots\} \)).
Неједначина са непознатим чиниоцем садржи непознату \( x \) која се множи датим познатим бројем \( a \).
За \( a > 0 \):
- Ако је \( a \cdot x < b \), онда је \( x < b : a \).
- Ако је \( a \cdot x > b \), онда је \( x > b : a \).
Увек обратите пажњу на задати скуп бројева:
- У скупу природних бројева \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \), број \( 0 \) није решење.
- У скупу \( \mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \), број \( 0 \) може бити решење ако задовољава неједнакост.
Решити неједначину \( 6 \cdot x < 28 \) у скупу \( \mathbb{N}_0 \):
\[ x < 28 : 6 \]
Како је \( 28 : 6 = 4 \) (ост. \( 4 \)), тражимо целе ненегативне бројеве мање од \( 4 \frac{4}{6} \).
Решење: \( x \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \).
Решење: \( x \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \).
Одреди скуп решења неједначине \( 4 \cdot x > 20 \) у скупу једноцифрених природних бројева.
\( x > 20 : 4 \)
\( x > 5 \)
Једноцифрени природни бројеви већи од 5 су:
Одговор: \( x \in \{6, 7, 8, 9\} \).
\( x > 5 \)
Једноцифрени природни бројеви већи од 5 су:
Одговор: \( x \in \{6, 7, 8, 9\} \).
Непознати дељеник се израчунава множењем делиоца и количника. При томе се смер знака неједнакости не мења.
- Ако је \( x : a < b \), онда је \( x < b \cdot a \).
- Ако је \( x : a > b \), онда је \( x > b \cdot a \).
Ако је \( x < b \cdot a \), а решења тражимо у скупу \( \mathbb{N} \), најмање могуће решење је \( 1 \), док у скупу \( \mathbb{N}_0 \) најмање могуће решење може бити \( 0 \).
Текстуални захтев: „Који број подељен бројем 10 даје количник мањи од \( 5\,520 \)?“
Запис неједначине: \( x : 10 < 5\,520 \)
Решавање: \( x < 5\,520 \cdot 10 \implies x < 55\,200 \).
Запис неједначине: \( x : 10 < 5\,520 \)
Решавање: \( x < 5\,520 \cdot 10 \implies x < 55\,200 \).
Реши неједначину \( b : 40 < 60\,000 \) у скупу \( \mathbb{N} \).
\( b < 60\,000 \cdot 40 \)
\( b < 2\,400\,000 \)
Како решења припадају скупу \( \mathbb{N} \), најмањи број је 1.
Одговор: \( b \in \{1, 2, 3, \dots, 2\,399\,999\} \).
\( b < 2\,400\,000 \)
Како решења припадају скупу \( \mathbb{N} \), најмањи број је 1.
Одговор: \( b \in \{1, 2, 3, \dots, 2\,399\,999\} \).
Када делимо већим бројем, добијамо мањи резултат. Зато се код непознатог делиоца знак неједнакости окреће!
- Ако је \( a : x < b \), онда је \( x > a : b \).
- Ако је \( a : x > b \), онда је \( x < a : b \).
Текстуални захтев: „Којим бројем можеш поделити број \( 2\,400 \) тако да количник буде мањи од 8?“
Запис: \( 2\,400 : x < 8 \)
Решавање: Знак се окреће, па је \( x > 2\,400 : 8 \), односно \( x > 300 \).
Запис: \( 2\,400 : x < 8 \)
Решавање: Знак се окреће, па је \( x > 2\,400 : 8 \), односно \( x > 300 \).
Одреди скуп природних бројева који задовољавају неједначину \( 48 : x > 12 \).
Знак неједнакости се окреће:
\( x < 48 : 12 \)
\( x < 4 \)
Како тражимо природне бројеве (\( x \in \mathbb{N} \)):
Одговор: \( x \in \{1, 2, 3\} \).
\( x < 48 : 12 \)
\( x < 4 \)
Како тражимо природне бројеве (\( x \in \mathbb{N} \)):
Одговор: \( x \in \{1, 2, 3\} \).
Сложеније неједначине садрже више рачунских операција или изразе са обе стране знака неједнакости.
Прво израчунај бројевну вредност израза на страни где нема непознате.
Примени одговарајуће правило за непознати чинилац, дељеник или делилац.
Запиши скуп решења у складу са задатим скупом бројева (\( \mathbb{N} \) или \( \mathbb{N}_0 \)).
Решити \( 500 \cdot g < 24\,000 : 6 \) у скупу \( \mathbb{N}_0 \):
\[ 500 \cdot g < 4\,000 \]
\[ g < 4\,000 : 500 \]
\[ g < 8 \]
Решење: \( g \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): У скупу једноцифрених природних бројева одреди скуп решења неједначине:
\[ 5 \cdot x \le 20 \]
\( x \le 20 : 5 \)
\( x \le 4 \)
Будући да се траже једноцифрени бројеви из скупа \( \mathbb{N} \) (природни бројеви већи од 0):
Одговор: \( x \in \{1, 2, 3, 4\} \).
\( x \le 4 \)
Будући да се траже једноцифрени бројеви из скупа \( \mathbb{N} \) (природни бројеви већи од 0):
Одговор: \( x \in \{1, 2, 3, 4\} \).
Задатак 2 (средњи): Одреди скуп решења неједначине у скупу \( \mathbb{N}_0 \):
\[ 24 \cdot n > 5\,000 - 3\,800 \]
Прво израчунавамо вредност са десне стране:
\( 5\,000 - 3\,800 = 1\,200 \)
Неједначина постаје:
\( 24 \cdot n > 1\,200 \)
\( n > 1\,200 : 24 \)
\( n > 50 \)
Одговор: \( n \in \{51, 52, 53, \dots\} \).
\( 5\,000 - 3\,800 = 1\,200 \)
Неједначина постаје:
\( 24 \cdot n > 1\,200 \)
\( n > 1\,200 : 24 \)
\( n > 50 \)
Одговор: \( n \in \{51, 52, 53, \dots\} \).
Задатак 3 (средњи): Реши неједначину у скупу \( \mathbb{N}_0 \):
\[ c : 30 \le 967 + 533 \]
Израчунавамо десну страну:
\( 967 + 533 = 1\,500 \)
Неједначина постаје:
\( c : 30 \le 1\,500 \)
\( c \le 1\,500 \cdot 30 \)
\( c \le 45\,000 \)
Како решења припадају скупу \( \mathbb{N}_0 \), најмање решење је 0.
Одговор: \( c \in \{0, 1, 2, \dots, 45\,000\} \).
\( 967 + 533 = 1\,500 \)
Неједначина постаје:
\( c : 30 \le 1\,500 \)
\( c \le 1\,500 \cdot 30 \)
\( c \le 45\,000 \)
Како решења припадају скупу \( \mathbb{N}_0 \), најмање решење је 0.
Одговор: \( c \in \{0, 1, 2, \dots, 45\,000\} \).
Задатак 4 (тежак): Маша је имала 700 динара. Када је купила 3 исте свеске, остало јој је мање од 340 динара. Постави неједначину и одреди колико је могла да кошта једна свеска ако је цена изражена природним бројем динара.
Нека је цена једне свеске \( x \). За 3 свеске платила је \( 3 \cdot x \) динара.
Преостали новац је: \( 700 - 3 \cdot x \).
Поставка неједначине:
\( 700 - 3 \cdot x < 340 \)
Непознати умањилац је \( 3 \cdot x \):
\( 3 \cdot x > 700 - 340 \)
\( 3 \cdot x > 360 \)
\( x > 360 : 3 \)
\( x > 120 \)
С друге стране, Маша није могла да потроши више новца него што има, па је:
\( 3 \cdot x \le 700 \implies x \le 700 : 3 \implies x \le 233 \) динара.
Одговор: Једна свеска је могла да кошта било који цео износ већи од 120 динара (од 121 до највише 233 динара).
Преостали новац је: \( 700 - 3 \cdot x \).
Поставка неједначине:
\( 700 - 3 \cdot x < 340 \)
Непознати умањилац је \( 3 \cdot x \):
\( 3 \cdot x > 700 - 340 \)
\( 3 \cdot x > 360 \)
\( x > 360 : 3 \)
\( x > 120 \)
С друге стране, Маша није могла да потроши више новца него што има, па је:
\( 3 \cdot x \le 700 \implies x \le 700 : 3 \implies x \le 233 \) динара.
Одговор: Једна свеска је могла да кошта било који цео износ већи од 120 динара (од 121 до највише 233 динара).
