Најважније из лекције
Неједначине: Решавају се аналогно једначинама, уз пажњу на смер неједнакости код умањиоца: \( a - x < b \implies x > a - b \).
Редослед операција: 1. Заграде \(\rightarrow\) 2. Множење и дељење \(\rightarrow\) 3. Сабирање и одузимање.
Разломци: Део броја рачунамо по формули \( (X : b) \cdot a \). Цело износи \( \frac{n}{n} \). Код истих именилаца већи је онај са већим бројиоцем, а код истих бројилаца већи је онај са мањим имениоцем.
Површина тела: Квадар: \( P = 2(ab + ac + bc) \); Коцка: \( P = 6a^2 \).
Проблемски задаци: Метод дужи разлаже проблем на једнаке јединичне делове (збир и разлика, вишеструки односи, пропорционалне поделе).
Редослед операција: 1. Заграде \(\rightarrow\) 2. Множење и дељење \(\rightarrow\) 3. Сабирање и одузимање.
Разломци: Део броја рачунамо по формули \( (X : b) \cdot a \). Цело износи \( \frac{n}{n} \). Код истих именилаца већи је онај са већим бројиоцем, а код истих бројилаца већи је онај са мањим имениоцем.
Површина тела: Квадар: \( P = 2(ab + ac + bc) \); Коцка: \( P = 6a^2 \).
Проблемски задаци: Метод дужи разлаже проблем на једнаке јединичне делове (збир и разлика, вишеструки односи, пропорционалне поделе).
Неједначина је математички исказ са непознатом величином повезаном знацима неједнакости: \( < \) (мање), \( > \) (веће), \( \leq \) (мање или једнако) или \( \geq \) (веће или једнако).
Решења се најчешће одређују у скупу природних бројева са нулом (\(\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \dots\}\)).
Правила за одређивање непознате:
- Непознати сабирак: Од збира одузимамо познати сабирак.
\( x + a < b \implies x < b - a \)
\( x + a > b \implies x > b - a \) - Непознати умањеник: Разлици додајемо умањилац.
\( x - a < b \implies x < b + a \)
\( x - a > b \implies x > b + a \) - Непознати умањилац: Од умањеника одузимамо разлику, при чему се смер знака неједнакости окреће.
\( a - x < b \implies x > a - b \)
\( a - x > b \implies x < a - b \)
Реши неједначину \( x + 317 < 322 \) у скупу \( \mathbb{N}_0 \):
\[ x < 322 - 317 \implies x < 5 \]
Скуп решења је: \( x \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \).
Најмање решење је \( 0 \), а највеће решење је \( 4 \).
Најмање решење је \( 0 \), а највеће решење је \( 4 \).
Одреди скуп решења неједначине \( 350 - y < 345 \) ако \( y \in \mathbb{N} \).
Непознати умањилац: \( y > 350 - 345 \implies y > 5 \).
Пошто је умањилац ограничен вредношћу умањеника (у скупу \( \mathbb{N}_0 \)), важи \( y \leq 350 \).
Решења су бројеви: \( y \in \{6, 7, 8, \dots, 350\} \).
Пошто је умањилац ограничен вредношћу умањеника (у скупу \( \mathbb{N}_0 \)), важи \( y \leq 350 \).
Решења су бројеви: \( y \in \{6, 7, 8, \dots, 350\} \).
Прости изрази садрже само једну рачунску операцију (нпр. \( 240 : 4 \), \( 100 \cdot 101 \)).
Сложени изрази садрже две или више рачунских операција, као и евентуалне заграде и променљиве.
Редослед рачунских операција:
- Прво се израчунавају изрази унутар заграда.
- Затим се изводе операције множења и дељења (по редоследу слева надесно).
- На крају се изводе операције сабирања и одузимања (по редоследу слева надесно).
Утицај заграда на вредност израза:
\[ 21 + 9 : 3 = 21 + 3 = 24 \]
\[ (21 + 9) : 3 = 30 : 3 = 10 \]
Изрази са променљивом: Вредност израза се рачуна заменом променљиве (нпр. \( x \)) задатом бројном вредношћу (нпр. за \( x = 5 \), израз \( 480 \cdot x + 90 \) постаје \( 480 \cdot 5 + 90 = 2400 + 90 = 2490 \)).
Постави заграде тако да једнакост буде тачна: \( 7 \cdot 6 + 12 : 3 - 1 = 17 \).
Заграде постављамо око сабирања и дељења:
\[ 7 \cdot 6 + 12 : (3 - 1) = 42 + 6 = 48 \quad (\text{нетачно}) \]
\[ (7 \cdot 6 + 12) : 3 - 1 = (42 + 12) : 3 - 1 = 54 : 3 - 1 = 18 - 1 = 17 \quad (\text{тачно}) \]
Разломак \( \frac{a}{b} \) означава део целине:
- Именилац (\( b \)) испод црте показује на колико једнаких делова је целина подељена.
- Бројилац (\( a \)) изнад црте показује колико је таквих делова узето.
\[ 1 \text{ цело} = \frac{n}{n} \quad \left(\text{нпр. } 1 = \frac{4}{4} = \frac{7}{7} = \frac{10}{10}\right) \]
Допуна до целог: ако имамо \( \frac{3}{7} \), до једног целог недостаје \( \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \).
Рачунање са разломцима:
- Део броја: Број поделимо имениоцем, па помножимо бројиоцем: \[ \frac{a}{b} \text{ од } X = (X : b) \cdot a \]
- Цео број на основу дела: Ако вредност \( V \) представља део са бројиоцем 1 (\(\frac{1}{b}\)), цео број је: \[ X = V \cdot b \]
Поређење разломака:
- Ако имају једнаке имениоце, већи је онај са већим бројиоцем (\( \frac{5}{8} > \frac{3}{8} \)).
- Ако имају једнаке бројиоце, већи је онај са мањим имениоцем (\( \frac{1}{4} > \frac{1}{9} \)).
У граду има \( 28\,000 \) становника. Од тога су \( \frac{2}{5} \) жене, а \( \frac{3}{7} \) мушкарци. Колико има деце?
1. Број жена: \( (28\,000 : 5) \cdot 2 = 5\,600 \cdot 2 = 11\,200 \)
2. Број мушкараца: \( (28\,000 : 7) \cdot 3 = 4\,000 \cdot 3 = 12\,000 \)
3. Број деце: \( 28\,000 - (11\,200 + 12\,000) = 28\,000 - 23\,200 = 4\,800 \)
2. Број мушкараца: \( (28\,000 : 7) \cdot 3 = 4\,000 \cdot 3 = 12\,000 \)
3. Број деце: \( 28\,000 - (11\,200 + 12\,000) = 28\,000 - 23\,200 = 4\,800 \)
Површина геометријског тела (\( P \)) јесте збир површина свих његових граничних површи (страна).
Површина квадра:
\[ P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \]
Квадар има 6 страна (правоугаоника), при чему су наспрамне стране подударне. \( a, b, c \) су дужине његових ивица.
Површина коцке:
\[ P = 6 \cdot a \cdot a = 6 \cdot a^2 \]
Коцка је квадар са свим једнаким ивицама (\( a = b = c \)). Њена мрежа се састоји од 6 подударних квадрата.
Ако се све стране једне коцке положе у раван једна до друге у низу, добија се правоугаоник дужине \( 60\text{ cm} \). Колика је површина те коцке?
Шест квадрата у низу чини дужину од \( 60\text{ cm} \), што значи да је ивица коцке:
\[ a = 60\text{ cm} : 6 = 10\text{ cm} \]
Површина коцке износи:
\[ P = 6 \cdot a \cdot a = 6 \cdot (10 \cdot 10) = 6 \cdot 100 = 600\text{ cm}^2 \]
Ако су познати збир (\( S \)) и разлика (\( R \)) два броја:
- Мањи број: \( (S - R) : 2 \)
- Већи број: \( \text{Мањи број} + R \) или \( (S + R) : 2 \)
Када је једна величина неколико пута већа од друге, укупан збир се дели укупним бројем делова (једнаких дужи).
Пример: Ако један део има \( 1 \) део, а други \( 5 \) пута више (\( 5 \) делова), целина има \( 1 + 5 = 6 \) једнаких делова.
Пример: Ако један део има \( 1 \) део, а други \( 5 \) пута више (\( 5 \) делова), целина има \( 1 + 5 = 6 \) једнаких делова.
Четири узастопна броја можемо представити као: \( n, n+1, n+2, n+3 \).
Њихов збир је \( 4n + 6 \). Одузимањем вишка (\( 6 \)) и дељењем са 4 добија се први број.
Њихов збир је \( 4n + 6 \). Одузимањем вишка (\( 6 \)) и дељењем са 4 добија се први број.
Бројеви се групишу у парове који имају једнак збир (први са последњим, други са претпоследњим):
\[ 1 + 2 + 3 + \dots + 50 = (1 + 50) + (2 + 49) + \dots + (25 + 26) = 51 \cdot 25 = 1275 \]
Проток времена једнако утиче на све особе. Ако су три особе пре 5 година имале заједно 37 година, свакој од њих је до данас прошло 5 година (\( +15 \)), а кроз наредних 5 година проћи ће још по 5 година (\( +15 \)).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај вредност израза поштујући редослед рачунских операција:
\[ 72 - 30 : 3 + 4 \cdot 7 \]
1. Прво вршимо дељење и множење:
\( 30 : 3 = 10 \)
\( 4 \cdot 7 = 28 \)
2. Уврстимо вредности у израз:
\( 72 - 10 + 28 \)
3. Рачунамо одузимање и сабирање слева надесно:
\( 62 + 28 = 90 \)
\( 30 : 3 = 10 \)
\( 4 \cdot 7 = 28 \)
2. Уврстимо вредности у израз:
\( 72 - 10 + 28 \)
3. Рачунамо одузимање и сабирање слева надесно:
\( 62 + 28 = 90 \)
Задатак 2 (средњи): Теретни лифт сме да понесе највише \( 4500\text{ kg} \). У лифт је већ утоварено \( 3\text{ t } 659\text{ kg} \) терета. Постави неједначину и одреди највећу масу коју додатни терет сме да има.
Претворимо све у килограме: \( 3\text{ t } 659\text{ kg} = 3659\text{ kg} \).
Нека је \( m \) маса додатног терета. Постављамо неједначину: \[ 3659 + m \leq 4500 \] \[ m \leq 4500 - 3659 \] \[ m \leq 841\text{ kg} \] Одговор: Највећа могућа маса новог терета је \( 841\text{ kg} \).
Нека је \( m \) маса додатног терета. Постављамо неједначину: \[ 3659 + m \leq 4500 \] \[ m \leq 4500 - 3659 \] \[ m \leq 841\text{ kg} \] Одговор: Највећа могућа маса новог терета је \( 841\text{ kg} \).
Задатак 3 (средњи): Колико је сада сати ако је преостали део дана 5 пута дужи од дела дана који је већ прошао?
Дан траје 24 сата.
Део дана који је прошао представљамо као 1 део, а преостали део као 5 делова.
Укупно делова: \( 1 + 5 = 6 \) делова.
Један део: \( 24\text{ h} : 6 = 4\text{ h} \).
Одговор: Сада је тачно 4 сата ујутру (прошла су 4 сата).
Део дана који је прошао представљамо као 1 део, а преостали део као 5 делова.
Укупно делова: \( 1 + 5 = 6 \) делова.
Један део: \( 24\text{ h} : 6 = 4\text{ h} \).
Одговор: Сада је тачно 4 сата ујутру (прошла су 4 сата).
Задатак 4 (тежак): Рибњак без поклопца има облик квадра димензија: дужина \( 60\text{ dm} \), ширина \( 40\text{ dm} \) и дубина \( 5\text{ dm} \). Дно и сва четири унутрашња зида треба обложити керамичким плочицама димензија \( 20\text{ cm} \times 10\text{ cm} \). Колико је таквих плочица укупно потребно?
1. Претворимо све димензије у центиметре (\( 1\text{ dm} = 10\text{ cm} \)):
\( a = 60\text{ dm} = 600\text{ cm} \)
\( b = 40\text{ dm} = 400\text{ cm} \)
\( c = 5\text{ dm} = 50\text{ cm} \)
2. Израчунавамо површину коју треба поплочати (дно + 4 бочна зида, без горње основе):
\( P_{\text{дна}} = a \cdot b = 600 \cdot 400 = 240\,000\text{ cm}^2 \)
\( P_{\text{дужих зидова}} = 2 \cdot (a \cdot c) = 2 \cdot (600 \cdot 50) = 2 \cdot 30\,000 = 60\,000\text{ cm}^2 \)
\( P_{\text{краћих зидова}} = 2 \cdot (b \cdot c) = 2 \cdot (400 \cdot 50) = 2 \cdot 20\,000 = 40\,000\text{ cm}^2 \)
Укупна површина: \[ P_{\text{укупно}} = 240\,000 + 60\,000 + 40\,000 = 340\,000\text{ cm}^2 \] 3. Површина једне плочице: \[ P_{\text{плочице}} = 20\text{ cm} \cdot 10\text{ cm} = 200\text{ cm}^2 \] 4. Број плочица: \[ 340\,000 : 200 = 1\,700\text{ плочица} \] Одговор: Потребно је 1 700 плочица.
\( a = 60\text{ dm} = 600\text{ cm} \)
\( b = 40\text{ dm} = 400\text{ cm} \)
\( c = 5\text{ dm} = 50\text{ cm} \)
2. Израчунавамо површину коју треба поплочати (дно + 4 бочна зида, без горње основе):
\( P_{\text{дна}} = a \cdot b = 600 \cdot 400 = 240\,000\text{ cm}^2 \)
\( P_{\text{дужих зидова}} = 2 \cdot (a \cdot c) = 2 \cdot (600 \cdot 50) = 2 \cdot 30\,000 = 60\,000\text{ cm}^2 \)
\( P_{\text{краћих зидова}} = 2 \cdot (b \cdot c) = 2 \cdot (400 \cdot 50) = 2 \cdot 20\,000 = 40\,000\text{ cm}^2 \)
Укупна површина: \[ P_{\text{укупно}} = 240\,000 + 60\,000 + 40\,000 = 340\,000\text{ cm}^2 \] 3. Површина једне плочице: \[ P_{\text{плочице}} = 20\text{ cm} \cdot 10\text{ cm} = 200\text{ cm}^2 \] 4. Број плочица: \[ 340\,000 : 200 = 1\,700\text{ плочица} \] Одговор: Потребно је 1 700 плочица.
