Најважније из лекције
Основни појмови: Природни бројеви се приказују на бројевној полуправој. Имају своје претходнике и следбенике. Основне операције чине сабирци и збир (сабирање), умањеник, умањилац и разлика (одузимање), чиниоци и производ (множење), дељеник, делилац и количник (дељење).
Правила и особине: Нулом се никада не сме делити. Множење и дељење се увек раде пре сабирања и одузимања, осим ако постоје заграде. Важе особине комутативности (замена места), асоцијативности (здруживања) и дистрибутивности.
Везе међу операцијама: Одузимање је супротно сабирању, а дељење је супротно множењу, што се користи за решавање једначина (нпр. \( a = c : b \Rightarrow a \cdot b = c \)).
Правила и особине: Нулом се никада не сме делити. Множење и дељење се увек раде пре сабирања и одузимања, осим ако постоје заграде. Важе особине комутативности (замена места), асоцијативности (здруживања) и дистрибутивности.
Везе међу операцијама: Одузимање је супротно сабирању, а дељење је супротно множењу, што се користи за решавање једначина (нпр. \( a = c : b \Rightarrow a \cdot b = c \)).
Природне бројеве заједно са нулом представљамо тачкама на полуправој. Почетна тачка је 0, а затим следе 1, 2, 3... на једнаким растојањима.
Сваки природан број (осим 0) има свој претходник (број мањи за 1) и следбеник (број већи за 1).
Бројеви су поређани по величини: мањи број је увек лево од већег броја на бројевној полуправој.
Који број је претходник, а који следбеник броја 15?
Одговор: Претходник броја 15 је 14 (\(15 - 1 = 14\)), а следбеник је 16 (\(15 + 1 = 16\)).
У математици постоје четири основне рачунске операције. Сваки број у њима има свој назив:
- Сабирање: сабирак + сабирак = збир
- Одузимање: умањеник - умањилац = разлика
- Множење: чинилац \(\cdot\) чинилац = производ
- Дељење: дељеник : делилац = количник
Нулом се не дели! Делилац никада не сме бити 0.
У изразу \( 45 : 9 = 5 \), како се назива број 45, а како број 5?
Одговор: Број 45 је дељеник, а број 5 је количник.
Сабирање и одузимање, као и множење и дељење, су међусобно повезане операције (супротне операције).
| Сабирање и одузимање | Множење и дељење |
|---|---|
| Ако је \( a + b = c \), онда је \( a = c - b \) | Ако је \( a \cdot b = c \), онда је \( a = c : b \) |
| Ако је \( a = c - b \), онда је \( a + b = c \) | Ако је \( a = c : b \), онда је \( a \cdot b = c \) |
Редослед извршавања операција:
1. Прво се рачуна оно што је у заградама.
2. Множење и дељење имају предност (раде се пре сабирања и одузимања).
3. На крају се ради сабирање и одузимање.
1. Прво се рачуна оно што је у заградама.
2. Множење и дељење имају предност (раде се пре сабирања и одузимања).
3. На крају се ради сабирање и одузимање.
Израчунај вредност израза: \( 20 - 4 \cdot (2 + 1) \)
1. Прво заграда: \( 2 + 1 = 3 \)
2. Затим множење: \( 4 \cdot 3 = 12 \)
3. На крају одузимање: \( 20 - 12 = 8 \)
Одговор: 8
2. Затим множење: \( 4 \cdot 3 = 12 \)
3. На крају одузимање: \( 20 - 12 = 8 \)
Одговор: 8
Комутативност (замена места)
\( a + b = b + a \)
\( a \cdot b = b \cdot a \)
\( a + b = b + a \)
\( a \cdot b = b \cdot a \)
Асоцијативност (здруживање)
\( a + (b + c) = (a + b) + c \)
\( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \)
\( a + (b + c) = (a + b) + c \)
\( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \)
Дистрибутивност (множење/дељење збира и разлике)
\( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)
\( (a + b) : c = a : c + b : c \)
\( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)
\( (a + b) : c = a : c + b : c \)
Користећи особину дистрибутивности, израчунај на лакши начин: \( 5 \cdot 12 + 5 \cdot 8 \)
Уместо да множимо одвојено, можемо извући заједнички чинилац 5 испред заграде:
\( 5 \cdot (12 + 8) = 5 \cdot 20 = 100 \)
Одговор: 100
\( 5 \cdot (12 + 8) = 5 \cdot 20 = 100 \)
Одговор: 100
У свакодневном животу математика се користи за израчунавање профита (добити) у трговини.
\[ d = p - (n + t) \]
d - добит, p - продајна вредност, n - набавна вредност, t - трошкови
Трговац је купио робу за 500 дин (набавна вредност), имао је трошкове превоза 100 дин, а робу је продао за 900 дин. Колика је његова добит?
\( n = 500 \), \( t = 100 \), \( p = 900 \)
\( d = p - (n + t) = 900 - (500 + 100) = 900 - 600 = 300 \)
Одговор: Добит је 300 дин.
\( d = p - (n + t) = 900 - (500 + 100) = 900 - 600 = 300 \)
Одговор: Добит је 300 дин.
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај вредност израза поштујући редослед операција: \( 10 + 2 \cdot 5 \)
Множење има предност у односу на сабирање.
\( 10 + (2 \cdot 5) = 10 + 10 = 20 \)
Одговор: 20
\( 10 + (2 \cdot 5) = 10 + 10 = 20 \)
Одговор: 20
Средњи: Одреди непознати број \( x \) у једначини: \( x - 15 = 45 \)
Користимо везу између сабирања и одузимања (ако је \( a = c - b \), онда је \( c = a + b \)).
Непознати умањеник добијамо када разлику саберемо са умањиоцем.
\( x = 45 + 15 \)
\( x = 60 \)
Одговор: Непознати број је 60.
Непознати умањеник добијамо када разлику саберемо са умањиоцем.
\( x = 45 + 15 \)
\( x = 60 \)
Одговор: Непознати број је 60.
Средњи: Израчунај користећи особину дистрибутивности: \( (36 + 24) : 6 \)
Дељење збира бројем:
\( 36 : 6 + 24 : 6 = 6 + 4 = 10 \)
Одговор: 10
\( 36 : 6 + 24 : 6 = 6 + 4 = 10 \)
Одговор: 10
Тежак: Марко је замислио један природан број. Када је тај број помножио са 4, а затим од добијеног производа одузео 12, добио је резултат 28. Који број је Марко замислио?
Поставимо израз: \( x \cdot 4 - 12 = 28 \)
Прво тражимо непознати умањеник (\( x \cdot 4 \)):
\( x \cdot 4 = 28 + 12 \)
\( x \cdot 4 = 40 \)
Сада тражимо непознати чинилац (\( x \)):
\( x = 40 : 4 \)
\( x = 10 \)
Одговор: Марко је замислио број 10.
Прво тражимо непознати умањеник (\( x \cdot 4 \)):
\( x \cdot 4 = 28 + 12 \)
\( x \cdot 4 = 40 \)
Сада тражимо непознати чинилац (\( x \)):
\( x = 40 : 4 \)
\( x = 10 \)
Одговор: Марко је замислио број 10.
