Најважније из лекције
Прост број: Има тачно два делиоца – 1 и самог себе (нпр. 2, 3, 5, 17...). Број 2 је једини паран прост број.
Сложен број: Има три или више делилаца (нпр. 4, 6, 9, 15...).
Број 1: Није ни прост ни сложен јер има само једног делиоца.
Провера простог броја: Да бисмо проверили да ли је број прост, делимо га простим бројевима по реду, и то само до оног простог броја чији је квадрат већи од броја који испитујемо.
Квадрат простог броја: Број који се добија множењем простог броја самим собом (\( p^2 \)). Увек има тачно три делиоца.
Сложен број: Има три или више делилаца (нпр. 4, 6, 9, 15...).
Број 1: Није ни прост ни сложен јер има само једног делиоца.
Провера простог броја: Да бисмо проверили да ли је број прост, делимо га простим бројевима по реду, и то само до оног простог броја чији је квадрат већи од броја који испитујемо.
Квадрат простог броја: Број који се добија множењем простог броја самим собом (\( p^2 \)). Увек има тачно три делиоца.
Прост број је природан број већи од 1 који има тачно два делиоца – број 1 и самог себе.
Сложен број је природан број који има више од два делиоца.
Број 1 има само једног делиоца (самог себе). Због тога он није ни прост ни сложен број. Скуп природних бројева се дели на: просте бројеве, сложене бројеве и број 1.
Број 2 је најмањи прост број и једини паран прост број. Сви остали парни бројеви имају најмање три делиоца (1, 2 и самог себе), па су сложени.
Примери:
\( D_7 = \{1, 7\} \) → Број 7 је прост.
\( D_9 = \{1, 3, 9\} \) → Број 9 је сложен.
\( D_7 = \{1, 7\} \) → Број 7 је прост.
\( D_9 = \{1, 3, 9\} \) → Број 9 је сложен.
Да ли је број 15 прост или сложен?
Скуп делилаца броја 15 је \( D_{15} = \{1, 3, 5, 15\} \). Пошто има више од два делиоца, број 15 је сложен број.
Ератостеново сито је поступак за проналажење простих бројева тако што се са списка свих природних бројева постепено прецртавају сложени бројеви.
Прецртава се број 1 (није прост).
Број 2 се оставља као прост, а прецртавају се сви његови садржаоци (4, 6, 8, 10...).
Први следећи непрецртани број (3) је прост. Оставља се, а прецртавају се сви његови садржаоци (6, 9, 12...).
Поступак се понавља за следеће непрецртане бројеве (5, 7, 11...). Бројеви који на крају остану непрецртани су прости бројеви.
Користећи правило Ератостеновог сита, пронађите све просте бројеве мање од 10.
Бројеви: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
- Прецртавамо 1.
- Заокружујемо 2, прецртавамо парне: 4, 6, 8.
- Заокружујемо 3, прецртавамо његове садржаоце: 9 (6 је већ прецртано).
- Заокружујемо 5 (бројеви већи од њега су већ прецртани).
- Заокружујемо 7.
Одговор: Прости бројеви мањи од 10 су: 2, 3, 5 и 7.
- Прецртавамо 1.
- Заокружујемо 2, прецртавамо парне: 4, 6, 8.
- Заокружујемо 3, прецртавамо његове садржаоце: 9 (6 је већ прецртано).
- Заокружујемо 5 (бројеви већи од њега су већ прецртани).
- Заокружујемо 7.
Одговор: Прости бројеви мањи од 10 су: 2, 3, 5 и 7.
Да бисмо проверили да ли је неки непаран број \( n \) прост, проверавамо да ли је дељив редом простим бројевима (2, 3, 5, 7, 11...).
Проверавање делилаца се зауставља код оног простог броја чији је квадрат већи од броја \( n \).
Пример: Да ли је број 283 прост?
Проверавамо дељивост простим бројевима: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Како је \( 17 \cdot 17 = 289 > 283 \), даље од 17 не морамо да проверавамо!
Пошто 283 није дељиво ниједним од бројева 2, 3, 5, 7, 11 и 13, закључујемо да је број 283 прост.
Проверавамо дељивост простим бројевима: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Како је \( 17 \cdot 17 = 289 > 283 \), даље од 17 не морамо да проверавамо!
Пошто 283 није дељиво ниједним од бројева 2, 3, 5, 7, 11 и 13, закључујемо да је број 283 прост.
Да ли је број 37 прост или сложен?
Проверавамо просте бројеве: 2, 3, 5, 7...
Пошто је \( 7^2 = 49 > 37 \), довољно је проверити дељивост са 2, 3 и 5.
Број 37 није дељив са 2, 3 ни 5.
Одговор: Број 37 је прост.
Пошто је \( 7^2 = 49 > 37 \), довољно је проверити дељивост са 2, 3 и 5.
Број 37 није дељив са 2, 3 ни 5.
Одговор: Број 37 је прост.
Квадрат природног броја \( p \) се рачуна као \( p^2 = p \cdot p \).
Квадрат било ког простог броја \( p \) има тачно три делиоца: \( 1, p \text{ и } p^2 \).
| Прост број (\( p \)) | Квадрат (\( p^2 \)) | Делиоци (\( D_{p^2} \)) |
|---|---|---|
| 3 | 9 | \( \{1, 3, 9\} \) |
| 5 | 25 | \( \{1, 5, 25\} \) |
| 11 | 121 | \( \{1, 11, 121\} \) |
Колико делилаца има квадрат простог броја 7?
Квадрат броја 7 је \( 7^2 = 49 \). Како је 7 прост број, његов квадрат има тачно 3 делиоца.
То су: 1, 7 и 49.
То су: 1, 7 и 49.
Задаци за вежбање
Лак: Изабери просте бројеве из следећег скупа: \( \{6, 11, 13, 21, 29, 33\} \).
- 6 је дељив са 2 и 3 (сложен).
- 11 је дељив само са 1 и 11 (прост).
- 13 је дељив само са 1 и 13 (прост).
- 21 је дељив са 3 и 7 (сложен).
- 29 је дељив само са 1 и 29 (прост).
- 33 је дељив са 3 и 11 (сложен).
Одговор: Прости бројеви су 11, 13 и 29.
- 11 је дељив само са 1 и 11 (прост).
- 13 је дељив само са 1 и 13 (прост).
- 21 је дељив са 3 и 7 (сложен).
- 29 је дељив само са 1 и 29 (прост).
- 33 је дељив са 3 и 11 (сложен).
Одговор: Прости бројеви су 11, 13 и 29.
Средњи: Да ли постоји прост број чији је производ са бројем 2 непаран број? Објасни.
Сваки број помножен са 2 даје паран број као резултат (јер је тада производ дељив са 2). Према томе, не постоји ниједан број, па ни прост, чији је производ са 2 непаран број.
Средњи: Који природан број има тачно једног делиоца, а који тачно три делиоца?
- Тачно једног делиоца има број 1 (то је искључиво он сам).
- Тачно три делиоца имају искључиво квадрати простих бројева (нпр. 4, 9, 25, 49...).
- Тачно три делиоца имају искључиво квадрати простих бројева (нпр. 4, 9, 25, 49...).
Тежак: Без прецртавања свих бројева, испитај да ли је број 107 прост или сложен.
По правилу, проверавамо дељивост са простим бројевима редом док не дођемо до оног чији је квадрат већи од 107.
Прости бројеви за проверу: 2, 3, 5, 7, 11.
Како је \( 11^2 = 121 > 107 \), заустављамо се након провере са 2, 3, 5 и 7.
- Није дељив са 2 (непаран је).
- Није дељив са 3 (збир цифара 1+0+7 = 8, није дељиво са 3).
- Није дељив са 5 (не завршава се на 0 или 5).
- Није дељив са 7 (\( 107 : 7 = 15 \) остатак 2).
Одговор: Број 107 је прост.
Прости бројеви за проверу: 2, 3, 5, 7, 11.
Како је \( 11^2 = 121 > 107 \), заустављамо се након провере са 2, 3, 5 и 7.
- Није дељив са 2 (непаран је).
- Није дељив са 3 (збир цифара 1+0+7 = 8, није дељиво са 3).
- Није дељив са 5 (не завршава се на 0 или 5).
- Није дељив са 7 (\( 107 : 7 = 15 \) остатак 2).
Одговор: Број 107 је прост.
