Најважније из лекције
- Елементи и скупови: Скупови се означавају великим словима (\( A, B, ... \)), а елементи се пишу у витичастим заградама \( \{ \} \). Припадност се означава са \( \in \), а неприпадност са \( \notin \).
- Једнакост скупова: Два скупа су једнака ако имају исте елементе (редослед и понављање нису битни).
- Природни бројеви: \( N = \{1, 2, 3, ...\} \) је скуп природних бројева. \( N_0 = \{0, 1, 2, ...\} \) укључује и нулу.
- Подскуп (\( \subset \)): \( A \subset B \) значи да је сваки елемент скупа \( A \) такође елемент скупа \( B \).
- Празан скуп (\( \varnothing \)): Скуп који не садржи ниједан елемент.
Скуп је целина коју чине одређени објекти. Те објекте називамо елементима или члановима скупа.
Скупове означавамо великим словима латинице (\( A, B, C \)...), а елементе наводимо унутар витичастих заграда \( \{ \} \), одвојене запетама.
Припадност елемента скупу означавамо знаком \( \in \) (припада), а неприпадност знаком \( \notin \) (не припада).
Ако формирамо скуп \( S \) од природних бројева мањих од 4, пишемо:
\[ S = \{1, 2, 3\} \]
Тада важи: \( 1 \in S \), \( 2 \in S \), \( 3 \in S \).
Број 5 не припада овом скупу, па пишемо: \( 5 \notin S \).
Дат је скуп \( M = \{5, 10, 15\} \). Да ли су тачна тврђења \( 10 \in M \) и \( 20 \in M \)?
Одговор: Тврђење \( 10 \in M \) је тачно јер се број 10 налази у витичастима заградама. Тврђење \( 20 \in M \) није тачно, правилан запис је \( 20 \notin M \).
Скупове можемо представити графички помоћу Веновог дијаграма. То је затворена линија у чијој унутрашњости цртамо тачке које представљају елементе скупа.
Сваки скуп је потпуно одређен својим елементима. Два скупа су једнака ако имају потпуно исте елементе. Редослед навођења елемената није битан, а елемент који се наведе више пута рачуна се као један исти елемент.
Важи да је \( \{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\} \). Такође важи и \( \{0, 1, 2\} = \{2, 2, 0, 1\} \).
Да ли су скупови \( P = \{a, b, c\} \) и \( Q = \{c, b, a, c\} \) једнаки?
Одговор: Да, скупови су једнаки (\( P = Q \)). Оба скупа садрже потпуно исте елементе (\( a, b, c \)), без обзира на то што су у скупу \( Q \) написани другачијим редоследом и што се слово \( c \) понавља.
Када скуп има много елемената или је бесконачан, уместо да наводимо све елементе, користимо три тачкице (\( ... \)) које замењују изостављене чланове.
Скуп свих природних бројева је бесконачан и означава се словом \( N \):
\[ N = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\} \]
Ако скупу природних бројева додамо нулу, добијамо проширен скуп природних бројева који означавамо са \( N_0 \):
\[ N_0 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, ...\} \]
Запиши скуп \( K \) који садржи све природне бројеве од 1 до 500, користећи три тачке.
Одговор: \( K = \{1, 2, 3, ..., 499, 500\} \)
Ако је сваки елемент скупа \( A \) уједно и елемент скупа \( B \), кажемо да је \( A \) подскуп скупа \( B \).
То записујемо ознаком \( \subset \), односно \( A \subset B \). За сваки скуп важи да је подскуп самог себе (\( A \subset A \)).
Ако је \( J = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) и \( A = \{2, 4, 6\} \), онда су сви елементи скупа \( A \) садржани у скупу \( J \), па пишемо \( A \subset J \).
Скуп који нема ниједан елемент назива се празан скуп.
Празан скуп се обележава знаком \( \varnothing \).
Дат је скуп \( C = \{1, 3, 5, 7, 9\} \) и скуп \( D = \{3, 7\} \). Да ли важи \( D \subset C \)?
Одговор: Да, важи \( D \subset C \), јер се сви елементи скупа \( D \) (бројеви 3 и 7) налазе међу елементима скупа \( C \).
Задаци за вежбање
Лак: Дат је скуп \( A = \{2, 4, 6, 8, 10\} \). Користећи знакове \( \in \) или \( \notin \), одреди какав је однос бројева 6 и 7 према скупу \( A \).
Број 6 се налази у скупу \( A \), па пишемо \( 6 \in A \).
Број 7 се не налази у скупу \( A \), па пишемо \( 7 \notin A \).
Број 7 се не налази у скупу \( A \), па пишемо \( 7 \notin A \).
Средњи: Дати су скупови \( P = \{1, 2, 5, 5, 2\} \) и \( Q = \{5, 1, 2\} \). Да ли су ова два скупа једнака? Да ли је скуп \( Q \) подскуп скупа \( N \)?
Да, скупови су једнаки (\( P = Q \)), јер понављање елемената у скупу \( P \) не мења скуп, а редослед навођења није битан.
Да, скуп \( Q \) је подскуп скупа природних бројева (\( Q \subset N \)), јер су сви његови елементи (1, 2, 5) природни бројеви.
Да, скуп \( Q \) је подскуп скупа природних бројева (\( Q \subset N \)), јер су сви његови елементи (1, 2, 5) природни бројеви.
Тежак: Одреди скуп \( R \) који представља решења неједначине \( x + 3 < 3 \) у скупу природних бројева (\( N \)). Да ли је тај скуп коначан или бесконачан?
Скуп природних бројева је \( N = \{1, 2, 3, ...\} \). Ако за \( x \) узмемо најмањи природан број (број 1), добијамо \( 1 + 3 = 4 \), што није мање од 3.
Дакле, ниједан природан број не задовољава ову неједначину.
Скуп решења нема елемената, односно то је празан скуп: \( R = \varnothing \). То је коначан скуп (има 0 елемената).
Дакле, ниједан природан број не задовољава ову неједначину.
Скуп решења нема елемената, односно то је празан скуп: \( R = \varnothing \). То је коначан скуп (има 0 елемената).
