Најважније из лекције
- Припадност: \( A \in p \) значи да је тачка на правој, а \( B \notin p \) да није.
- Одређеност праве: Две различите тачке одређују тачно једну праву \( p(A, B) \).
- Колинеарност: Тачке које леже на истој правој су колинеарне, а оне које не леже су неколинеарне.
- Дуж \( AB \): Део праве ограничен тачкама \( A \) и \( B \), укључујући и све тачке између њих (\( A-X-B \)).
- Полуправа \( \vec{AB} \): Део праве који почиње у једној тачки (\( A \)) и неограничено се пружа кроз другу тачку (\( B \)). Полуправе \( \vec{AB} \) и \( \vec{BA} \) су различите.
Раван замишљамо као равну површину (попут листа папира) која се неограничено шири у свим правцима.
Тачке означавамо великим словима латинице: \( A, B, C \dots \) или са индексима \( A_1, B_2 \dots \)
Праве означавамо малим словима латинице: \( a, b, c, p, q \dots \) или са индексима \( p_1, q_4 \dots \)
Свака права је скуп тачака. Да бисмо записали однос тачке и праве, користимо математичке симболе:
- \( A \in p \) — тачка \( A \) припада правој \( p \) (налази се на правој).
- \( B \notin p \) — тачка \( B \) не припада правој \( p \) (налази се ван праве).
За сваке две различите тачке постоји тачно једна права која их садржи. Праву одређену тачкама \( A \) и \( B \) означавамо са \( p(A, B) \).
За три или више тачака кажемо да су колинеарне ако припадају истој правој.
Ако не постоји права која садржи све дате тачке, за њих кажемо да су неколинеарне.
Три неколинеарне тачке \( A, B \) и \( C \) одређују тачно три различите праве: \( p(A, B), p(B, C) \) и \( p(C, A) \). Ако су тачке колинеарне, оне одређују само једну праву.
Распоред тачака на правој изражавамо односом „бити између”. Запис \( A-X-B \) значи да се тачка \( X \) налази између тачака \( A \) и \( B \).
Две различите тачке \( A \) и \( B \), заједно са свим тачкама које се налазе између њих, образују дуж.
Дуж се обележава са \( AB \) или \( BA \). Тачке \( A \) и \( B \) се називају крајеви дужи.
Колико дужи одређују три неколинеарне тачке \( A, B \) и \( C \)?
Три тачке одређују тачно три дужи, без обзира на то да ли су колинеарне или не. То су дужи: \( AB \), \( BC \) и \( CA \).
Тачка \( T \) на правој, заједно са свим тачкама те праве које се налазе са исте стране тачке \( T \), образује полуправу. Тачка \( T \) се назива почетна тачка (почетак).
Полуправа са почетком у тачки \( A \) која пролази кроз тачку \( B \) означава се са \( \vec{AB} \). Ако се означава малим словима, записује се као \( T_a, T_b \) итд.
Полуправе \( \vec{AB} \) и \( \vec{BA} \) нису исте! То су два различита скупа тачака јер имају различите почетне тачке и простиру се у супротним смеровима.
Свака права је неком својом тачком подељена на две полуправе којима је заједничка само та уочена тачка.
Задаци за вежбање
Лак: Нацртане су четири тачке \( P, Q, R, S \) које припадају истој правој \( p \). Како једном речју називамо ове тачке?
Пошто припадају истој (једној) правој, ове тачке су колинеарне.
Средњи: Дате су тачке \( A \) и \( B \). У ком међусобном односу су ове тачке ако важи запис \( B \in \vec{AB} \)? Да ли тачка \( A \) припада полуправи \( \vec{BA} \)?
Тачка \( B \) припада полуправи \( \vec{AB} \) јер та полуправа почиње у \( A \) и иде управо кроз тачку \( B \). Слично, тачка \( A \) припада полуправи \( \vec{BA} \) јер она почиње у \( B \) и иде кроз \( A \). Дакле, оба тврђења су тачна.
Тежак: Нека су дате три колинеарне тачке тако да важи распоред \( A-B-C \).
1) Шта представља пресек (заједнички део) полуправих \( \vec{BC} \) и \( \vec{BA} \)?
2) Шта представља пресек полуправих \( \vec{AB} \) и \( \vec{CB} \)?
1) Шта представља пресек (заједнички део) полуправих \( \vec{BC} \) и \( \vec{BA} \)?
2) Шта представља пресек полуправих \( \vec{AB} \) и \( \vec{CB} \)?
1) Полуправа \( \vec{BC} \) иде од \( B \) ка \( C \) (удесно), а полуправа \( \vec{BA} \) иде од \( B \) ка \( A \) (улево). Њихов једини заједнички део је сама тачка \( B \).
2) Полуправа \( \vec{AB} \) креће из \( A \) ка \( C \), а полуправа \( \vec{CB} \) (односно \( \vec{CA} \)) креће из \( C \) ка \( A \). Њихов заједнички део су све тачке између \( A \) и \( C \), што значи да је пресек дуж \( AC \).
2) Полуправа \( \vec{AB} \) креће из \( A \) ка \( C \), а полуправа \( \vec{CB} \) (односно \( \vec{CA} \)) креће из \( C \) ка \( A \). Њихов заједнички део су све тачке између \( A \) и \( C \), што значи да је пресек дуж \( AC \).
