Задатак 1. Жабе Хип и Хоп се играју прескачући преко камења. Оне скачу на нову позицију тако да камен буде на средини дужи коју прескоче. На слици доле лево, приказано је како Хип, полазећи са позиције $ P $, прескаче три камена обележена $ A $, $ B $ и $ C $ и долази на крајњу позицију \( K...

Свака жаба скаче тако да прескочени камен буде на средини дужи између старе и нове позиције. То значи да се нова позиција добија централном симетријом у односу на тај камен: пређемо тачно исто толико квадратића са друге стране камена. Пратимо Хопа по мрежи, полазећи из тачке $ S $: 1) Прескок преко камена $ A $: од $ S $ до $ A $ идемо 2 квадратића нагоре (улево-удесно се не померамо). Толико исто пређемо и са друге стране, па Хоп пада 2 квадратића изнад $ A $ — означимо ту тачку са \...

Задатак 3. Нацртај три неколинеарне тачке $ A $, $ B $ и $ C $. Конструиши слике $ A_1 $ и $ B_1 $ тачака $ A $ и $ B $ при централној симетрији у односу на тачку $ C $.

Корак 1: Цртеж Цртамо три неколинеарне тачке $ A $, $ B $ и $ C $, односно тачке које не припадају истој правој. Затим конструишемо тражене слике $ A_1 $ и $ B_1 $, а коначан цртеж изгледа овако: Нацртај три неколинеарне тачке A, B и C. Тачку A постави доле лево, тачку B доле десно, а тачку C изнад њих, приближно на средини између A и B. Повуци праву кроз тачке A и C и продужи је преко тачке C. Повуци праву кроз тачке B и C и продужи је преко тачке C. Шестаром измери дужину CA, забоди...

Задатак 4. Пажљиво погледај столицу, даску за пеглање и дизалицу за грађевински материјал. 1) Зашто је седиште столице паралелно са подом? 2) Зашто је даска на којој се пегла паралелна са подом? 3) Зашто је постоље за терет паралелно са подом?

1) Корак 1. Уочавамо централну симетрију код столице Ноге столице су две дужи које се секу. Оне су спојене у тачки $ O $ која је средиште обе дужи. Означимо ноге са $ AC $ и $ BD $. Тачке $ A $ и $ B $ су крајеви ногу испод седишта, а $ C $ и $ D $ крајеви ногу на поду. Тада важи: \[ AO = OC, \qquad BO = OD \] Корак 2. Примењујемо централну симетрију Из $ AO = OC $ и $ BO = OD $ закључујемо да је $ O $ средиште дужи $ AC $ и дужи $ BD $. Значи, тачка $ C $ је симетрич...

Задатак 5. Нацртај три колинеарне тачке $ A $, $ B $, $ C $, такве да је $ A - B - C $. Пресликај: 1) дуж $ AB $ симетрично у односу на $ C $; 2) праву $ p(B, C) $ симетрично у односу на $ A $.

Корак 1: Цртање полазних тачака Цртамо праву и на њој три тачке тако да тачка $ B $ буде између $ A $ и $ C $, односно $ A - B - C $. Нацртај хоризонталну праву линију и на њој обележи три различите колинеарне тачке $A$, $B$ и $C$. Распореди тачке тако да је $A$ највише лево, $C$ највише десно, а тачка $B$ се налази тачно између тачака $A$ и $C$, чиме се успоставља поредак $A-B-C$. 1) Дуж $ AB $ симетрично у односу на $ C $ Корак 2: Пресликавање крајњих тачака дужи Да бисмо пресли...

Задатак 6. Нацртај $ \Delta ABC $. Конструиши симетричну слику троугла $ ABC $ у односу на тачку: 1) $ A $; 2) $ B $; 3) $ C $.

Корак 1: Цртање троугла и принцип конструкције Нацртамо произвољан троугао $ ABC $. Слика троугла при централној симетрији одређује се сликама његових темена. Довољно је пресликати темена и спојити њихове слике. Тачка $ T_1 $ је симетрична тачки $ T $ у односу на тачку $ O $ ако је $ O $ средиште дужи $ TT_1 $. Центар симетрије је сам себи симетричан. Цела конструкција приказана је на једној слици. Нацртај троугао $ ABC $. 1) За слику у односу на тачку $ A $: Конструиши полупр...

Задатак 7. Нека су $ A $, $ B $ и $ O $ три неколинеарне тачке. Тачке $ A_1 $ и $ B_1 $ су симетричне редом тачкама $ A $ и $ B $ у односу на $ O $. Нацртај у свесци табелу дату са десне стране и попуни другу колону. (Задати троуглови су: $ ABO $, $ BA_1O $, $ OA_1B_1 $, \( BB_...

Корак 1: Цртеж Нацртамо три неколинеарне тачке $ A $, $ B $ и $ O $. Конструишемо полуправу $ AO $ и шестаром пренесемо дуж $ AO $ са друге стране тачке $ O $. Добијамо тачку $ A_1 $, за коју је $ OA = OA_1 $. На исти начин конструишемо полуправу $ BO $ и пренесемо дуж $ BO $ са друге стране тачке $ O $. Добијамо тачку $ B_1 $, за коју је $ OB = OB_1 $. Затим повучемо дужи $ AB $, $ BA_1 $, $ A_1B_1 $, $ B_1A $, $ AA_1 $ и $ BB_1 $. Корак 2: Слике тачака...

Задатак 8. Конструиши симетричну слику кружнице $ k(O, 2\text{ cm}) $ у односу на тачку $ S $ ако је: 1) $ OS = 3\text{ cm} $; 2) $ OS = 1\text{ cm} $; 3) $ OS = 2\text{ cm} $.

Централном симетријом кружница $ k(O, r) $ пресликава се у кружницу $ k_1(O_1, r) $ истог полупречника. Зато је довољно да нађемо слику центра $ O $, то јест тачку $ O_1 $ која је симетрична тачки $ O $ у односу на $ S $. Тачка $ S $ је тада средиште дужи $ OO_1 $, па важи: \[ OO_1 = 2 \cdot OS \] 1) $ OS = 3\text{ cm} $ Корак 1: Конструкција слике центра Конструишемо полуправу $ OS $. Шестаром пренесемо дуж $ OS $ на њу, са друге стране тачке $ S $. Добијамо тачку \( O...

Задатак 9. Која су слова, међу приказаним, централносиметрична? 1) S 2) H 3) M 4) Z

Корак 1: Разумевање централне симетрије фигура Према дефиницији из уџбеника, фигура је централносиметрична ако постоји тачка $ O $ (центар симетрије) таква да се та фигура централном симетријом у односу на $ O $ пресликава у саму себе. То значи да за сваку тачку $ A $ фигуре, њена централносиметрична слика $ A_1 $ у односу на $ O $ (при чему је $ O $ средиште дужи $ AA_1 $, тј. $ AO = OA_1 $) такође мора припадати тој истој фигури. Практичан начин да то проверимо јесте да за сред...

Централна симетрија

Најважније из лекције

Тачка $ O $ је центар симетрије за тачке $ A $ и $ A_1 $ ако се налази тачно на средини дужи $ AA_1 $.
Централна симетрија чува растојања (представља изометрију): дуж се слика у паралелну дуж једнаке дужине.
Слика праве која не садржи центар симетрије је њој паралелна права, док се права која пролази кроз центар слика у саму себе.
Фигуре попут кружнице (у односу на њен центар) или дужи (у односу на њено средиште) су централносиметричне фигуре јер се при овом пресликавању поклапају са собом.

Тачка $ A_1 $ је централносиметрична тачки $ A $ у односу на тачку $ O $ уколико је $ O $ средиште дужи $ AA_1 $.

Тачка $ O $ се назива центар симетрије. Она је сама себи симетрична.

Нацртати праву линију. На њој, у линеарном поретку, поставити три тачке: A, затим O, и на крају A_1. Тачка O треба да буде тачно на средини између тачака A и A_1, дефинишући је као средиште дужи AA_1. Визуелно приказати да је растојање од A до O једнако растојању од O до A_1, користећи идентичне ознаке (нпр. по једну кратку цртицу) на дужима AO и OA_1. Све тачке A, O и A_1 јасно обележити.

Да бисмо конструисали тачку $ T_1 $ симетричну тачки $ T $ у односу на центар $ O $:
1. Конструишемо полуправу $ TO $.
2. Уз помоћ шестара пренесемо растојање $ OT $ са друге стране тачке $ O $ на ту полуправу (сечемо полуправу луком кружнице са центром у $ O $ и полупречником $ OT $). Та пресечна тачка је $ T_1 $.

Када се свака тачка неке равни пресликава у своју симетричну тачку у односу на центар $ O $, такво пресликавање називамо централна симетрија. За симетричне тачке кажемо да су слике једна друге.

Централна симетрија чува растојање између тачака. Растојање између две тачке једнако је растојању између њихових слика. Због ове особине, централна симетрија спада у изометријске трансформације (изометрија = иста мера).

При пресликавању праве $ p $ у односу на центар $ O $, разликују се два случаја:

Ако центар $ O $ не припада правој $ p $ ($ O \notin p $): права се пресликава у њој паралелну праву.
Ако центар $ O $ припада правој $ p $ ($ O \in p $): права се пресликава у саму себе.

Дуж $ AB $ се централном симетријом пресликава у паралелну дуж $ A_1B_1 $ исте дужине: \[ p(A, B) \parallel p(A_1, B_1) \] \[ AB = A_1B_1 \]

Да бисмо нашли слику неке фигуре, довољно је да пресликамо њене карактеристичне (кључне) тачке у односу на центар симетрије.

Слика троугла добија се тако што се конструишу централносиметричне слике сва три његова темена. Спајањем тих нових тачака добија се слика почетног троугла.

За пресликавање кружнице $ k(C, r) $ довољно је одредити слику њеног центра $ C $. Ако се $ C $ преслика у $ C_1 $, слика је кружница $ k_1(C_1, r) $. Полупречник $ r $ остаје непромењен!

Како ћемо најлакше конструисати слику праве $ p $ у односу на тачку $ O $ која не припада тој правој?

Можемо нацртати слику на два начина:
1. Изаберемо једну тачку на правој $ p $, нађемо њену слику, и кроз ту слику повучемо праву паралелну са $ p $.
2. Изаберемо две произвољне тачке на правој $ p $, нађемо њихове слике, и кроз те две нове тачке повучемо тражену праву.

Фигура је централносиметрична ако се централном симетријом пресликава тачно у саму себе.

Да бисмо краће записали да се две ознаке односе на исти објекат (да су се поклопиле), користимо знак $ \equiv $ (нпр. $ A \equiv B_1 $).

Примери централносиметричних фигура:

Дуж: Ако је центар симетрије $ S $ средиште дужи $ AB $, онда се тачка $ A $ слика у $ B $, а $ B $ у $ A $. Дуж се слика у саму себе.
Кружница: Било која кружница се симетријом у односу на свој центар пресликава у саму себе. Свака тачка се пресликава у тачку на супротном крају истог пречника.

Задаци за вежбање

Лак: Дата је дуж $ PQ $ дужине 8 cm. Ако се ова дуж преслика централном симетријом у односу на неку тачку $ O $ у дуж $ P_1Q_1 $, колика ће бити дужина дужи $ P_1Q_1 $?

Пошто је централна симетрија изометријска трансформација (чува растојање), дужина слике мора бити једнака дужини почетне дужи.
Одговор: Дужина дужи $ P_1Q_1 $ је 8 cm.

Средњи: Дата је кружница $ k $ са центром $ C $ и полупречником $ r = 5 \text{ cm} $. Нека је $ O $ тачка на тој кружници. Ако се кружница $ k $ преслика централном симетријом у односу на тачку $ O $, где ће се налазити нови центар кружнице $ C_1 $ у односу на тачку $ O $ и колики ће бити њен полупречник?

Центар $ C $ се пресликава преко тачке $ O $ на супротну страну тако да је $ CO = OC_1 $. Пошто је $ O $ на кружници, растојање $ CO $ је једнако полупречнику ($ 5 \text{ cm} $). Дакле, нови центар $ C_1 $ је удаљен 5 cm од тачке $ O $ на правој која пролази кроз $ C $ и $ O $. Полупречник остаје непромењен код централне симетрије.
Одговор: Полупречник слике је 5 cm, а њен центар $ C_1 $ се налази на правој $ CO $ тако да је $ O $ средиште дужи $ CC_1 $.

Тежак: Права $ a $ садржи тачку $ A $, а тачка $ S $ (центар симетрије) не припада правој $ a $. Ако се тачка $ A $ преслика у тачку $ A_1 $, у каквом су међусобном положају права $ a $ и права $ a_1 $ која представља слику праве $ a $? Да ли тачка $ A_1 $ припада правој $ a_1 $?

На основу особина централне симетрије, пошто центар $ S $ не припада правој $ a $, слика те праве ($ a_1 $) биће паралелна почетној правој ($ a_1 \parallel a $). Пошто тачка $ A $ припада правој $ a $, њена слика $ A_1 $ мора припадати слици те праве, односно правој $ a_1 $.
Одговор: Праве $ a $ и $ a_1 $ су паралелне. Тачка $ A_1 $ припада правој $ a_1 $.

II.7. Централна симетрија

Изабери решење задатка:

Корак 1: Цртање троугла и принцип конструкције

1) Симетрија у односу на тачку \( A \)

Корак 2: Слика темена

Корак 3: Спајање

2) Симетрија у односу на тачку \( B \)

Корак 4: Слика темена

Корак 5: Спајање

3) Симетрија у односу на тачку \( C \)

Корак 6: Слика темена

Корак 7: Спајање

Кратак запис решења:

1)

2)

3)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Детаљно решење

Корак 1: Цртање троугла и принцип конструкције

1) Симетрија у односу на тачку \( A \)

Корак 2: Слика темена

Корак 3: Спајање

2) Симетрија у односу на тачку \( B \)

Корак 4: Слика темена

Корак 5: Спајање

3) Симетрија у односу на тачку \( C \)

Корак 6: Слика темена

Корак 7: Спајање

Кратак запис решења:

1)

2)

3)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: