Најважније из лекције
Вектор: Математички објекат одређен правцем, смером и интензитетом. Означавамо га усмереном дужи (нпр. \( \vec{AB} \) или \( \vec{v} \)).
Транслација: Пресликавање (померање) сваке тачке равни у истом правцу, истом смеру и за исто растојање задато вектором. Пишемо: \( \vec{TT_1} = \vec{v} \).
Својства: Транслација је изометрија (чува дужине). Праве се пресликавају у паралелне праве, а дужи у паралелне и једнаке дужи.
Конструкција: Фигуре пресликавамо тако што транслирамо њихове кључне тачке (крајеве дужи, темена многоуглова, центре кружница).
Транслација: Пресликавање (померање) сваке тачке равни у истом правцу, истом смеру и за исто растојање задато вектором. Пишемо: \( \vec{TT_1} = \vec{v} \).
Својства: Транслација је изометрија (чува дужине). Праве се пресликавају у паралелне праве, а дужи у паралелне и једнаке дужи.
Конструкција: Фигуре пресликавамо тако што транслирамо њихове кључне тачке (крајеве дужи, темена многоуглова, центре кружница).
Усмерена дуж је дуж код које је једна крајња тачка проглашена почетном, а друга завршном тачком. Графички се приказује стрелицом.
Усмерена дуж са почетном тачком \( A \) и завршном тачком \( B \) означава се са \( \vec{AB} \).
Свака усмерена дуж одређена је са три елемента:
- Правац: одређује га права којој та дуж припада (као и све праве паралелне са њом).
- Смер: одређује га полуправа од почетне ка завршној тачки (на сваком правцу постоје два супротна смера).
- Интензитет: дужина саме дужи (растојање између почетне и завршне тачке).
Две усмерене дужи одређују исто кретање (једнаке су) ако имају исти правац (налазе се на паралелним правама), исти смер и исти интензитет (једнаке су дужине). Пишемо \( \vec{AB} = \vec{CD} \).
Вектор је опис праволинијског кретања које је у потпуности одређено правцем, смером и интензитетом.
Вектори се означавају малим латиничним словима са стрелицом изнад, нпр. \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{v} \). Ако је вектор одређен усмереном дужи \( \vec{AB} \), пише се \( \vec{v} = \vec{AB} \).
Транслација за вектор \( \vec{v} \) је пресликавање којим се свакој тачки \( T \) у равни придружује јединствена тачка \( T_1 \) таква да је \( \vec{v} = \vec{TT_1} \). Тачка \( T_1 \) је слика тачке \( T \).
За конструисање слике \( T_1 \) тачке \( T \), прво конструишемо полуправу из тачке \( T \) која има исти правац и смер као вектор \( \vec{v} \).
Из тачке \( T \) опишемо лук кружнице чији је полупречник једнак интензитету вектора \( \vec{v} \). Пресек лука и полуправе је тачка \( T_1 \).
Транслација је изометријска трансформација, што значи да чува растојање између тачака (растојање између било које две тачке једнако је растојању између њихових слика).
Кључне особине при пресликавању:
- Колинеарне тачке (тачке на истој правој) се сликају у колинеарне тачке.
- Права се транслацијом за било који вектор пресликава у себи паралелну праву.
- Дуж се пресликава у себи једнаку и паралелну дуж.
Слика целе фигуре при транслацији добија се транслирањем њених карактеристичних тачака.
- Дуж: Транслирају се њене крајње тачке \( A \) и \( B \) у \( A_1 \) и \( B_1 \), а затим се споје.
- Троугао (и други многоуглови): Транслирају се сва његова темена.
- Права: Транслира се једна произвољна тачка те праве у своју слику, а затим се кроз слику повуче права паралелна почетној правој. (Алтернатива: транслирају се две произвољне тачке праве).
- Кружница \( k(O, r) \): Транслира се само њен центар \( O \) у тачку \( O_1 \). Нова кружница се црта из центра \( O_1 \) са истим полупречником \( r \).
Права која је паралелна самом правцу вектора транслације пресликава се сама у себе.
Задаци за вежбање
Лак: Која три податка у потпуности одређују један вектор? Шта значи када запишемо да је \( \vec{AB} = \vec{CD} \)?
Вектор у потпуности одређују правац, смер и интензитет (дужина).
Запис \( \vec{AB} = \vec{CD} \) значи да усмерене дужи \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \) одређују исто кретање, односно да се налазе на паралелним правама (исти правац), имају исти смер и једнаке су дужине (исти интензитет).
Запис \( \vec{AB} = \vec{CD} \) значи да усмерене дужи \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \) одређују исто кретање, односно да се налазе на паралелним правама (исти правац), имају исти смер и једнаке су дужине (исти интензитет).
Средњи: Дати су кружница \( k \) са центром \( O \) и вектор \( \vec{v} \). Како ћеш транслирати ову кружницу за вектор \( \vec{v} \)? Који елемент кружнице се мења, а који остаје исти?
Потребно је транслирати само центар кружнице \( O \) за дати вектор \( \vec{v} \) да бисмо добили нови центар \( O_1 \).
Положај центра се мења (тачка \( O \) прелази у \( O_1 \)), али полупречник остаје потпуно исти, јер транслација чува растојања (изометрија). Из центра \( O_1 \) описује се кружница са оригиналним полупречником.
Положај центра се мења (тачка \( O \) прелази у \( O_1 \)), али полупречник остаје потпуно исти, јер транслација чува растојања (изометрија). Из центра \( O_1 \) описује се кружница са оригиналним полупречником.
Тежак: Нека је дата права \( p \) и вектор \( \vec{u} \). Транслацијом за вектор \( \vec{u} \), права \( p \) се пресликава у праву \( p_1 \).
а) Какав је међусобни положај правих \( p \) и \( p_1 \)?
б) У ком специфичном случају ће се права \( p \) преклопити са својом сликом \( p_1 \)?
а) Какав је међусобни положај правих \( p \) и \( p_1 \)?
б) У ком специфичном случају ће се права \( p \) преклопити са својом сликом \( p_1 \)?
а) Права \( p \) и њена слика \( p_1 \) су паралелне (\( p \parallel p_1 \)).
б) Права \( p \) ће се преклопити са својом сликом \( p_1 \) (пресликаће се у саму себе) само уколико је правац праве \( p \) паралелан правцу вектора \( \vec{u} \). У том случају, све тачке праве се само "клизају" дуж исте те праве.
б) Права \( p \) ће се преклопити са својом сликом \( p_1 \) (пресликаће се у саму себе) само уколико је правац праве \( p \) паралелан правцу вектора \( \vec{u} \). У том случају, све тачке праве се само "клизају" дуж исте те праве.
