Најважније из лекције
- Непознати сабирак (\( x + a < b \)): Знак неједнакости се не мења. Решење је \( x < b - a \).
- Непознати умањеник (\( x - a < b \)): Знак неједнакости се не мења. Решење је \( x < b + a \), уз обавезан услов да је умањеник већи или једнак умањиоцу (\( x \ge a \)).
- Непознати умањилац (\( a - x < b \)): Знак неједнакости се мења (окреће)! Решење је \( x > a - b \), уз обавезан услов да је умањилац мањи или једнак умањенику (\( x \le a \)).
- Приликом приказивања на бројевној правој, црни кружић се користи за \( \le, \ge \), а бели за \( <, > \).
Решити неједначину значи одредити сва њена решења, односно одредити скуп решења те неједначине, или утврдити да неједначина нема решења.
Решење неједначине је сваки број који, када се замени уместо непознате величине, неједначину преводи у тачну неједнакост.
Скуп решења се најчешће приказује на бројевној полуправој. Црним кружићем означавамо да гранични број јесте решење (код знакова \( \le \) и \( \ge \)), док белим кружићем означавамо да број није решење (код знакова \( < \) и \( > \)).
При решавању неједначина у којима је непознат сабирак, знак неједнакости се не мења.
Ако је \( x + a < b \), онда је \( x < b - a \)
Правило важи и за знакове \( >, \le, \ge \)
Правило важи и за знакове \( >, \le, \ge \)
Решавање неједначине: \( x + 0,6 \le 2,2 \)
\( x \le 2,2 - 0,6 \)
\( x \le 1,6 \)
\( x \le 2,2 - 0,6 \)
\( x \le 1,6 \)
Реши неједначину: \( x + 1 \frac{1}{2} > 3 \)
\( x > 3 - 1 \frac{1}{2} \)
\( x > 1 \frac{1}{2} \)
\( x > 1 \frac{1}{2} \)
При решавању неједначина у којима је непознат умањеник, знак неједнакости се не мења.
Морамо имати на уму да умањеник не може бити мањи од умањиоца (у скупу позитивних бројева), па за решење неједначине мора да важи \( x \ge a \). Овај услов директно утиче на коначан скуп решења када је знак неједнакости \( < \) или \( \le \).
Ако је \( x - a < b \), онда је \( x < b + a \), уз обавезан услов \( x \ge a \)
Решавање неједначине: \( x - 0,7 \le 1,3 \)
\( x \le 1,3 + 0,7 \)
\( x \le 2 \)
Због услова \( x \ge 0,7 \), коначно решење је: \( 0,7 \le x \le 2 \).
\( x \le 1,3 + 0,7 \)
\( x \le 2 \)
Због услова \( x \ge 0,7 \), коначно решење је: \( 0,7 \le x \le 2 \).
Реши неједначину: \( x - 1,2 < 0,8 \)
\( x < 0,8 + 1,2 \)
\( x < 2 \)
Услов: \( x \ge 1,2 \)
Коначно решење: \( 1,2 \le x < 2 \)
\( x < 2 \)
Услов: \( x \ge 1,2 \)
Коначно решење: \( 1,2 \le x < 2 \)
При решавању неједначина у којима је непознат умањилац, знак неједнакости се мења (окреће)! Знак \( < \) прелази у \( > \), знак \( \ge \) прелази у \( \le \) итд.
Умањилац не може бити већи од умањеника, па за решење неједначине мора да важи \( x \le a \). Ово утиче на решење код неједначина са знаком \( < \) и \( \le \).
Ако је \( a - x < b \), онда је \( x > a - b \), уз услов \( x \le a \)
Решавање неједначине: \( 1,7 - x < 1,4 \)
Знак се мења: \( x > 1,7 - 1,4 \)
\( x > 0,3 \)
Због услова \( x \le 1,7 \), коначно решење је: \( 0,3 < x \le 1,7 \).
Знак се мења: \( x > 1,7 - 1,4 \)
\( x > 0,3 \)
Због услова \( x \le 1,7 \), коначно решење је: \( 0,3 < x \le 1,7 \).
Реши неједначину: \( 5 - x \ge 2 \)
Мењамо знак: \( x \le 5 - 2 \)
\( x \le 3 \)
Услов \( x \le 5 \) је већ испуњен за сваки број који је мањи или једнак 3, тако да је додатно ограничење у овом случају само да \( x \) мора бити већи или једнак нули (уколико се ради у скупу ненегативних бројева).
Коначно решење: \( 0 \le x \le 3 \) (у скупу \(\mathbb{N}_0\) или разломака).
\( x \le 3 \)
Услов \( x \le 5 \) је већ испуњен за сваки број који је мањи или једнак 3, тако да је додатно ограничење у овом случају само да \( x \) мора бити већи или једнак нули (уколико се ради у скупу ненегативних бројева).
Коначно решење: \( 0 \le x \le 3 \) (у скупу \(\mathbb{N}_0\) или разломака).
Задаци за вежбање
Ниво 1 (Лак): Реши неједначину: \( x + 3,5 < 6,1 \)
\( x < 6,1 - 3,5 \)
\( x < 2,6 \)
\( x < 2,6 \)
Ниво 2 (Средњи): Реши неједначину: \( x - 2 \frac{1}{4} \le 3 \frac{1}{2} \)
\( x \le 3 \frac{1}{2} + 2 \frac{1}{4} \)
Сводимо на заједнички именилац:
\( x \le 3 \frac{2}{4} + 2 \frac{1}{4} \)
\( x \le 5 \frac{3}{4} \)
Не смемо заборавити услов за умањеник: \( x \ge 2 \frac{1}{4} \).
Коначно решење: \( 2 \frac{1}{4} \le x \le 5 \frac{3}{4} \)
Сводимо на заједнички именилац:
\( x \le 3 \frac{2}{4} + 2 \frac{1}{4} \)
\( x \le 5 \frac{3}{4} \)
Не смемо заборавити услов за умањеник: \( x \ge 2 \frac{1}{4} \).
Коначно решење: \( 2 \frac{1}{4} \le x \le 5 \frac{3}{4} \)
Ниво 3 (Тежак): Петар је имао \( 1200\text{ RSD} \). Купио је књигу која кошта \( x\text{ RSD} \), након чега му је у новчанику остало мање од \( 350\text{ RSD} \). Постави неједначину, реши је и одреди у ком распону се креће цена књиге.
Постављање неједначине: \( 1200 - x < 350 \)
Решавамо неједначину са непознатим умањиоцем (знак се мења):
\( x > 1200 - 350 \)
\( x > 850 \)
Услов за умањилац: књига не може бити скупља од новца који Петар има, дакле \( x \le 1200 \).
Коначно решење: \( 850 < x \le 1200 \). Цена књиге је већа од 850 динара, а највише 1200 динара.
Решавамо неједначину са непознатим умањиоцем (знак се мења):
\( x > 1200 - 350 \)
\( x > 850 \)
Услов за умањилац: књига не може бити скупља од новца који Петар има, дакле \( x \le 1200 \).
Коначно решење: \( 850 < x \le 1200 \). Цена књиге је већа од 850 динара, а највише 1200 динара.
