Најважније из лекције
Реципрочна вредност: За разломак \( \frac{a}{b} \), реципрочна вредност је разломак \( \frac{b}{a} \). Производ броја и његове реципрочне вредности увек је 1.
Дељење разломака: Обавља се тако што се први разломак помножи реципрочном вредношћу другог: \( \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \).
Двојни разломак: Решава се множењем спољашњих чланова (што даје нови бројилац) и унутрашњих чланова (што даје нови именилац): \( \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \).
Дељење разломака: Обавља се тако што се први разломак помножи реципрочном вредношћу другог: \( \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \).
Двојни разломак: Решава се множењем спољашњих чланова (што даје нови бројилац) и унутрашњих чланова (што даје нови именилац): \( \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \).
Број \( q \) је реципрочна вредност броја \( p \) (\( p \neq 0 \)), ако је њихов производ једнак 1, односно \( p \cdot q = 1 \). Ако је \( q \) реципрочна вредност броја \( p \), онда је и \( p \) реципрочна вредност броја \( q \).
- Реципрочна вредност разломка \( \frac{a}{b} \) (\( a \neq 0, b \neq 0 \)) јесте разломак добијен заменом места бројиоца и имениоца: \( \frac{b}{a} \).
- Реципрочна вредност природног броја \( n \) јесте разломак \( \frac{1}{n} \).
За разломак \( \frac{3}{4} \), реципрочна вредност је \( \frac{4}{3} \).
За број \( 10 \), реципрочна вредност је \( \frac{1}{10} \).
За број \( 10 \), реципрочна вредност је \( \frac{1}{10} \).
Одреди реципрочне вредности за \( \frac{2}{9} \) и за број \( 5 \).
Реципрочна вредност за \( \frac{2}{9} \) је \( \frac{9}{2} \).
Реципрочна вредност за \( 5 \) је \( \frac{1}{5} \).
Реципрочна вредност за \( 5 \) је \( \frac{1}{5} \).
Поделити разломак другим разломком исто је што и помножити тај разломак реципрочном вредношћу другог разломка.
\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \]
- Дељење природним бројем: Када разломак делимо природним бројем \( n \), само именилац множимо тим бројем: \( \frac{a}{b} : n = \frac{a}{b \cdot n} \).
- Мешовити бројеви: Мешовите бројеве увек прво преводимо у неправилне разломке, па тек онда применимо правило за дељење.
\( \frac{1}{9} : \frac{5}{8} = \frac{1}{9} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{45} \)
Израчунај: \( \frac{4}{7} : \frac{1}{3} \)
\( \frac{4}{7} : \frac{1}{3} = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{1} = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \)
Количник два разломка можемо записати и у облику двојног разломка користећи велику разломачку црту уместо знака за дељење.
\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]
Бројилац дељеника и именилац делиоца (\( a \) и \( d \)) називају се спољашњи чланови, док су именилац дељеника и бројилац делиоца (\( b \) и \( c \)) унутрашњи чланови.
Двојни разломак је једнак разломку чији је бројилац производ спољашњих, а именилац производ унутрашњих чланова.
Двојни разломак је једнак разломку чији је бројилац производ спољашњих, а именилац производ унутрашњих чланова.
\[ \frac{\frac{2}{3}}{\frac{7}{8}} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 7} = \frac{16}{21} \]
Израчунај вредност двојног разломка: \[ \frac{\frac{3}{10}}{\frac{7}{15}} \]
Множимо спољашње са спољашњим члановима, а унутрашње са унутрашњим:
\[ \frac{\frac{3}{10}}{\frac{7}{15}} = \frac{3 \cdot 15}{10 \cdot 7} \]
У овом кораку можемо извршити унакрсно скраћивање (15 и 10 скраћујемо са 5):
\[ \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 7} = \frac{9}{14} \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај количник разломка и природног броја: \( \frac{2}{5} : 3 \)
Када разломак делимо природним бројем, само именилац множимо тим бројем:
\( \frac{2}{5} : 3 = \frac{2}{5 \cdot 3} = \frac{2}{15} \)
\( \frac{2}{5} : 3 = \frac{2}{5 \cdot 3} = \frac{2}{15} \)
Средњи: Подели следеће мешовите бројеве: \( 2\frac{1}{4} : 3\frac{2}{5} \)
Прво претварамо у неправилне разломке:
\( 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} \)
\( 3\frac{2}{5} = \frac{17}{5} \)
Затим применимо правило дељења (множење реципрочном вредношћу):
\( \frac{9}{4} : \frac{17}{5} = \frac{9}{4} \cdot \frac{5}{17} = \frac{45}{68} \)
\( 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} \)
\( 3\frac{2}{5} = \frac{17}{5} \)
Затим применимо правило дељења (множење реципрочном вредношћу):
\( \frac{9}{4} : \frac{17}{5} = \frac{9}{4} \cdot \frac{5}{17} = \frac{45}{68} \)
Тежак: Израчунај вредност следећег израза који садржи двојни разломак: \[ \frac{1\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} \]
Прво мешовити број у бројиоцу претварамо у неправилан разломак: \( 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \).
Сада постављамо двојни разломак: \[ \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} \] Након унакрсног скраћивања (тројке се скрате са 3, а 4 и 2 се скрате са 2), добијамо: \[ \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 2 \]
Сада постављамо двојни разломак: \[ \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} \] Након унакрсног скраћивања (тројке се скрате са 3, а 4 и 2 се скрате са 2), добијамо: \[ \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 2 \]
