Најважније из лекције
- Комутативност и асоцијативност: Редослед чинилаца и њихово здруживање не мењају производ разломака (\( a \cdot b = b \cdot a \)).
- Дистрибутивност: Множење се може дистрибуирати на сабирке у загради: \( a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c \). Ово олакшава рачунање.
- Нула и јединица: Број 1 не мења вредност разломка при множењу и дељењу. Множење нулом даје нулу, а дељење нулом је забрањено!
- Приоритет операција: У сложеним изразима, множење и дељење се увек изводе пре сабирања и одузимања, осим ако заграде не одређују другачије.
- Део целине: Када рачунамо разломачки део неке величине, тај разломак множимо са укупном величином (нпр. \( \frac{1}{2} \) од 100 је \( \frac{1}{2} \cdot 100 \)).
Множење разломака наслеђује важна својства множења природних бројева: комутативност (замена места чинилаца) и асоцијативност (здруживање чинилаца).
Комутативност: \( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} \)
Асоцијативност: \( \left( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \right) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot \left( \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} \right) \)
Асоцијативност: \( \left( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \right) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot \left( \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} \right) \)
Производ више разломака је разломак чији је бројилац производ бројилаца свих чинилаца, а именилац производ свих именилаца. Због асоцијативности, заграде нису неопходне. Пре множења препоручује се унакрсно скраћивање разломака.
\( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 7}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{21}{80} \)
Користећи својства множења, израчунај на најједноставнији начин: \( \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{7}{4} \)
Применом комутативности и асоцијативности можемо здружити први и трећи разломак јер се лако скраћују:
\( \left( \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4} \right) \cdot \frac{5}{9} = 1 \cdot \frac{5}{9} = \frac{5}{9} \)
\( \left( \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4} \right) \cdot \frac{5}{9} = 1 \cdot \frac{5}{9} = \frac{5}{9} \)
Бројеви 0 и 1 имају посебна својства при множењу и дељењу разломака. Број 1 је неутрални елемент за множење.
За сваки разломак \( r \) важи:
- \( r \cdot 1 = 1 \cdot r = r \)
- \( r : 1 = r \)
- \( r : r = 1 \) (под условом да је \( r \neq 0 \))
- \( r \cdot 0 = 0 \cdot r = 0 \)
- \( 0 : r = 0 \) (под условом да је \( r \neq 0 \))
Нулом се не дели! Дељење било ког броја нулом није дефинисано.
Израчунај: \( \left( \frac{3}{8} : \frac{3}{8} \right) \cdot \left( \frac{5}{6} \cdot 0 \right) \)
Применом правила: \( \frac{3}{8} : \frac{3}{8} = 1 \) и \( \frac{5}{6} \cdot 0 = 0 \).
Дакле, израз постаје: \( 1 \cdot 0 = 0 \).
Дакле, израз постаје: \( 1 \cdot 0 = 0 \).
Када множимо збир (или разлику) неким бројем, можемо помножити сваки сабирак тим бројем, а затим сабрати (или одузети) добијене производе.
Дистрибутивност према сабирању:
\( r_1 \cdot (r_2 + r_3) = r_1 \cdot r_2 + r_1 \cdot r_3 \)
Дистрибутивност према одузимању (где је \( r_2 \ge r_3 \)):
\( r_1 \cdot (r_2 - r_3) = r_1 \cdot r_2 - r_1 \cdot r_3 \)
\( r_1 \cdot (r_2 + r_3) = r_1 \cdot r_2 + r_1 \cdot r_3 \)
Дистрибутивност према одузимању (где је \( r_2 \ge r_3 \)):
\( r_1 \cdot (r_2 - r_3) = r_1 \cdot r_2 - r_1 \cdot r_3 \)
Уместо да прво сабирамо разломке у загради (што захтева налажење заједничког имениоца), можемо применити дистрибутивност да бисмо лакше израчунали:
\( 12 \cdot \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{6} \right) = 12 \cdot \frac{3}{4} + 12 \cdot \frac{1}{6} = 9 + 2 = 11 \)
\( 12 \cdot \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{6} \right) = 12 \cdot \frac{3}{4} + 12 \cdot \frac{1}{6} = 9 + 2 = 11 \)
Примени дистрибутивно својство да лакше израчунаш: \( 15 \cdot \left( \frac{2}{5} - \frac{1}{3} \right) \)
\( 15 \cdot \frac{2}{5} - 15 \cdot \frac{1}{3} = \frac{30}{5} - \frac{15}{3} = 6 - 5 = 1 \)
Бројевне изразе градимо примењујући рачунске операције на бројеве.
Множење и дељење имају приоритет над сабирањем и одузимањем. Операције се извршавају прво унутар заграда, затим се множи и дели, а тек на крају сабира и одузима.
Када треба израчунати део неког броја (нпр. "три четвртине броја 12"), тај део се рачуна множењем разломка и тог броја: \( \frac{3}{4} \cdot 12 \).
Израчунавање вредности израза и приказ редоследа операција:
\( \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{7} + \frac{1}{2} = \frac{15}{28} + \frac{1}{2} = \frac{15}{28} + \frac{14}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28} \)
\( \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{7} + \frac{1}{2} = \frac{15}{28} + \frac{1}{2} = \frac{15}{28} + \frac{14}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28} \)
Напиши математички запис за текстуални опис и израчунај: "Количник броја \( \frac{1}{3} \) и збира бројева \( \frac{1}{3} \) и \( \frac{3}{4} \)".
Запис: \( \frac{1}{3} : \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{4} \right) \)
Прво рачунамо заграду: \( \frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4}{12} + \frac{9}{12} = \frac{13}{12} \)
Затим дељење претварамо у множење реципрочном вредношћу: \( \frac{1}{3} : \frac{13}{12} = \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{13} = \frac{12}{39} = \frac{4}{13} \)
Прво рачунамо заграду: \( \frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4}{12} + \frac{9}{12} = \frac{13}{12} \)
Затим дељење претварамо у множење реципрочном вредношћу: \( \frac{1}{3} : \frac{13}{12} = \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{13} = \frac{12}{39} = \frac{4}{13} \)
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај вредност израза поштујући приоритет операција: \( \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \)
Множење има приоритет.
Прво множимо: \( \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \) (или скратимо тројке).
Затим сабирамо: \( \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{10}{15} + \frac{3}{15} = \frac{13}{15} \).
Прво множимо: \( \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \) (или скратимо тројке).
Затим сабирамо: \( \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{10}{15} + \frac{3}{15} = \frac{13}{15} \).
Средњи задатак: Користећи дистрибутивно својство множења, израчунај на једноставнији начин: \( 77 \cdot \frac{7}{11} - 77 \cdot \frac{5}{11} \)
Применом дистрибутивности издвајамо заједнички чинилац 77 испред заграде:
\( 77 \cdot \left( \frac{7}{11} - \frac{5}{11} \right) \)
Рачунамо вредност у загради: \( \frac{7}{11} - \frac{5}{11} = \frac{2}{11} \)
Множимо: \( 77 \cdot \frac{2}{11} = \frac{77}{1} \cdot \frac{2}{11} \). Скратимо 77 и 11 са 11.
Резултат: \( 7 \cdot 2 = 14 \).
\( 77 \cdot \left( \frac{7}{11} - \frac{5}{11} \right) \)
Рачунамо вредност у загради: \( \frac{7}{11} - \frac{5}{11} = \frac{2}{11} \)
Множимо: \( 77 \cdot \frac{2}{11} = \frac{77}{1} \cdot \frac{2}{11} \). Скратимо 77 и 11 са 11.
Резултат: \( 7 \cdot 2 = 14 \).
Тежак задатак: Кухиња је правоугаоног облика, димензија \( 4 \text{ m} \) и \( 2,5 \text{ m} \). Планирано је да се две петине (\( \frac{2}{5} \)) пода прекрије плочицама. Колико квадратних метара ће бити прекривено плочицама?
Прво рачунамо укупну површину пода кухиње (\( P \)):
\( P = 4 \text{ m} \cdot 2,5 \text{ m} = 10 \text{ m}^2 \)
Површина под плочицама (\( P_p \)) представља \( \frac{2}{5} \) укупне површине:
\( P_p = \frac{2}{5} \cdot P = \frac{2}{5} \cdot 10 = \frac{2 \cdot 10}{5} = \frac{20}{5} = 4 \text{ m}^2 \).
Плочицама ће бити прекривено \( 4 \text{ m}^2 \).
\( P = 4 \text{ m} \cdot 2,5 \text{ m} = 10 \text{ m}^2 \)
Површина под плочицама (\( P_p \)) представља \( \frac{2}{5} \) укупне површине:
\( P_p = \frac{2}{5} \cdot P = \frac{2}{5} \cdot 10 = \frac{2 \cdot 10}{5} = \frac{20}{5} = 4 \text{ m}^2 \).
Плочицама ће бити прекривено \( 4 \text{ m}^2 \).
