Најважније из лекције
- Вероватноћа је број који показује колика је могућност да се неки догађај оствари; записујемо је разломком.
- Када су сви исходи једнако могући: \( \text{вероватноћа} = \dfrac{\text{број повољних исхода}}{\text{укупан број исхода}} \).
- Добијени разломак по потреби скратимо (нпр. \( \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \), \( \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \)).
- Догађаје упоређујемо тако што пребројимо повољне исходе: при бацању две коцкице има \( 36 \) исхода, па је нпр. \( P(\text{збир } 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \).
Ако неки догађај може, али и не мора да се оствари, корисно је бројем изразити колика је могућност да се он догоди. Тај број називамо вероватноћа остваривања догађаја и најчешће га записујемо разломком.
Вероватноћу рачунамо када су сви исходи једнако могући (нпр. извлачење куглице „затворених очију“, бацање исправне коцкице, случајно извлачење карте).
\[ \text{вероватноћа} = \frac{\text{број повољних исхода}}{\text{укупан број свих исхода}} \]
У врећи је \( 12 \) куглица: \( 4 \) црвене и \( 8 \) плавих. Вероватноћа да „затворених очију“ извучемо црвену куглицу је
\[ \frac{4}{12} = \frac{1}{3}, \]
а да извучемо плаву
\[ \frac{8}{12} = \frac{2}{3}. \]
Пошто је \( \frac{4}{12} < \frac{8}{12} \), вероватније је извући плаву куглицу (њих има више).
Разломке којима смо изразили вероватноће можемо скратити, као у примеру: \( \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \) и \( \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \).
У врећи је \( 5 \) црвених и \( 15 \) плавих куглица. Колика је вероватноћа да извучемо црвену куглицу?
Укупно има \( 5 + 15 = 20 \) куглица, а повољних (црвених) је \( 5 \).
\[ \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
Одговор: вероватноћа је \( \frac{1}{4} \).
Стандардни шпил има \( 52 \) карте. Свака карта се извлачи са истом могућношћу, па вероватноћу рачунамо истом формулом.
- Вероватноћа да извучемо тачно одређену карту (нпр. аса пик \( A\spadesuit \)) је \( \dfrac{1}{52} \), јер је само једна таква карта у шпилу.
- Вероватноћа да извучемо било коју карту знака пик (\( \spadesuit \)) је \( \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4} \), јер у шпилу постоји \( 13 \) карата тог знака.
Одреди вероватноћу да из шпила од \( 52 \) карте извучемо четворку.
У шпилу постоје четири четворке (по једна од сваког знака), па је повољних исхода \( 4 \), а свих исхода \( 52 \).
\[ \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \]
Одговор: вероватноћа је \( \frac{1}{13} \).
При бацању исправне коцкице може да падне један од \( 6 \) бројева \( (1, 2, 3, 4, 5, 6) \), сви са истом могућношћу.
- Вероватноћа да падне шестица је \( \dfrac{1}{6} \) (само један повољан исход од укупно шест). Исто важи за сваки други одређени број.
- Вероватноћа да падне паран број је \( \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \), јер су повољни исходи три: \( 2, 4 \) и \( 6 \).
Када истовремено бацамо две коцкице, сваки исход је пар бројева. Свих могућих парова има
\[ 6 \cdot 6 = 36. \]
Све исходе прегледно записујемо у таблицу \( 6 \times 6 \), а затим пребројимо оне који су повољни за тражени догађај.
Колика је вероватноћа да збир бројева на две коцкице буде \( 7 \)?
Парови чији је збир \( 7 \) су: \( (1,6),\ (2,5),\ (3,4),\ (4,3),\ (5,2),\ (6,1) \) — има их \( 6 \). \[ \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]
Парови чији је збир \( 7 \) су: \( (1,6),\ (2,5),\ (3,4),\ (4,3),\ (5,2),\ (6,1) \) — има их \( 6 \). \[ \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]
Различити догађаји најчешће имају различит број повољних исхода, па немају ни исту вероватноћу. Зато их упоређујемо тако што пребројимо повољне исходе сваког од њих.
Задаци за вежбање
Лак: Бацамо једну коцкицу. Колика је вероватноћа да падне број мањи од \( 3 \)?
Повољни исходи су \( 1 \) и \( 2 \) (два исхода), а свих исхода је \( 6 \).
\[ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Одговор: вероватноћа је \( \frac{1}{3} \).
Средњи: У кутији је \( 6 \) белих, \( 4 \) црне и \( 10 \) жутих куглица. Колика је вероватноћа да случајно извучемо жуту куглицу?
Укупно има \( 6 + 4 + 10 = 20 \) куглица, а жутих (повољних) је \( 10 \).
\[ \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \]
Одговор: вероватноћа је \( \frac{1}{2} \).
Тежак: Да ли је при бацању две коцкице вероватније добити збир \( 8 \) или збир \( 9 \)?
Свих исхода има \( 36 \). Пребројимо повољне за сваки збир:
Збир \( 8 \): \( (2,6),\ (3,5),\ (4,4),\ (5,3),\ (6,2) \) — \( 5 \) исхода, па је вероватноћа \( \dfrac{5}{36} \).
Збир \( 9 \): \( (3,6),\ (4,5),\ (5,4),\ (6,3) \) — \( 4 \) исхода, па је вероватноћа \( \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9} \).
Пошто је \( \dfrac{5}{36} > \dfrac{4}{36} \), вероватније је добити збир \( 8 \).
Одговор: вероватније је збир \( 8 \).
Збир \( 8 \): \( (2,6),\ (3,5),\ (4,4),\ (5,3),\ (6,2) \) — \( 5 \) исхода, па је вероватноћа \( \dfrac{5}{36} \).
Збир \( 9 \): \( (3,6),\ (4,5),\ (5,4),\ (6,3) \) — \( 4 \) исхода, па је вероватноћа \( \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9} \).
Пошто је \( \dfrac{5}{36} > \dfrac{4}{36} \), вероватније је добити збир \( 8 \).
Одговор: вероватније је збир \( 8 \).
