Проширивање и скраћивање разломака

Question 1

Задатак 1. У школи извиђача свако мора да предложи цртеж за зелено-белу заставу своје чете, али тако да зелена боја прекрије тачно $ \frac{3}{5} $ заставе. Који од цртежа изнад задовољавају тај услов?

Accepted Answer

Свака застава подељена је на $ 5 \times 4 = 20 $ једнаких квадратића. Да зелена боја прекрије тачно $ 3/5 $ заставе, мора бити зелено $ 3/5 $ од 20, то јест $ 20 : 5 \cdot 3 = 12 $ квадратића.Пребројимо зелене квадратиће на свакој застави:Горња лева: 10 зелених $ \Rightarrow 10/20 = 1/2 $ — не задовољава.Горња десна: 12 зелених $ \Rightarrow 12/20 = 3/5 $ — задовољава.Доња лева: 12 зелених $ \Rightarrow 12/20 = 3/5 $ — задовољава.Доња десна: 10 зелених $ \Rightarrow 10/20 = 1/2 $...

Question 2

Задатак 2. Аца је купио $ \frac{1}{2} $ бурека, Бане $ \frac{2}{4} $, а Цеца $ \frac{4}{8} $ бурека. Ко је купио највише бурека?

Accepted Answer

Анализа задатка
Да бисмо одредили ко је купио највише бурека, потребно је да упоредимо количине које су Аца, Бане и Цеца купили. Количине су дате у облику разломака:
- Аца: $ \frac{1}{2} $
- Бане: $ \frac{2}{4} $
- Цеца: $ \frac{4}{8} $

Корак 1: Скраћивање разломака
Најлакши начин да упоредимо ове разломке је да их скратимо до несводљивог облика. Користићемо правила за скраћивање разломака дељењем бројиоца и имениоца истим бројем.

Разломак за Банета:
\[ \frac{2}{4} = \frac{2 : 2}{4 : 2}...

Question 3

Задатак 3. Одреди по два разломка једнака разломку: а) $ \frac{1}{2} $; б) $ \frac{5}{6} $; в) $ \frac{3}{10} $

Accepted Answer

Кључни концепт: Проширивање разломака
Да бисмо одредили разломак једнак датом разломку, користимо поступак проширивања. Проширити разломак значи помножити његов бројилац и његов именилац истим природним бројем $ n $ (где је $ n > 1 $). Општа формула гласи:
$$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $$

а) Разломци једнаки разломку $ \frac{1}{2} $
Да бисмо добили два разломка једнака $ \frac{1}{2} $, проширићемо га бројевима $ 2 $ и $ 3 $:
1. Проширивање бројем $ 2 $:
\[ \frac{1}{...

Question 4

Задатак 4. Дати разломак прошири са 2, 5, 7 и 10: а) $ \frac{1}{2} $; б) $ \frac{5}{6} $; в) $ \frac{3}{10} $

Accepted Answer

Подсећање на правило
Проширити разломак неким природним бројем значи помножити и његов бројилац и његов именилац тим бројем. Опште правило гласи:
$$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $$
где је $ n $ број којим проширујемо разломак.

а) Проширивање разломка $ \frac{1}{2} $
Да бисмо проширили овај разломак са задатим бројевима, множимо и $ 1 $ и $ 2 $ сваким од њих:

Са 2: $ \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} $
Са 5: $ \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} $
Са 7: \...

Question 5

Задатак 5. Да ли је тачно? Образложи одговор. а) $ \frac{1}{2} = \frac{3}{8} $; б) $ \frac{4}{5} = \frac{16}{25} $; в) $ \frac{5}{9} = \frac{20}{36} $; г) $ \frac{5}{8} = \frac{20}{40} $; д) $ \frac{2}{7} = \frac{16}{54} $

Accepted Answer

Провера једнакости разломака
Да бисмо утврдили да ли су два разломка $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $ једнака, можемо користити поступак проширивања или скраћивања. Разломак се проширује тако што се и бројилац и именилац помноже истим природним бројем $ n $:
$$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $$
Такође, према основном својству разломака, два разломка су једнака ако су њихови унакрсни производи једнаки: $ a \cdot d = b \cdot c $.

а) $ \frac{1}{2} = \frac{3}{8} $
Проверимо да...

Question 6

Задатак 6. Разломке $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{5}{12} $ прошири тако да им 60 буде: а) именилац; б) бројилац.

Accepted Answer

а) Проширивање на именилац 60
Да бисмо разломак проширили на жељени именилац, прво морамо одредити број којим ћемо множити и бројилац и именилац. Тај број добијамо када нови именилац (60) поделимо тренутним имениоцем разломка.

За разломак $ \frac{2}{15} $:
Делимо имениоце: $ 60 : 15 = 4 $. Дакле, разломак проширујемо бројем 4:
$$ \frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{8}{60} $$

За разломак $ \frac{5}{12} $:
Делимо имениоце: $ 60 : 12 = 5 $. Дакле, разломак проширујемо број...

Question 7

Задатак 7. Прошири разломке $ \frac{8}{15} $ и $ \frac{9}{25} $ тако да им буду једнаки: а) имениоци; б) бројиоци.

Accepted Answer

Увод у проширивање разломака
Проширити разломак значи помножити и његов бројилац и његов именилац истим природним бројем. Да бисмо два разломка проширили тако да имају једнаке имениоце или бројиоце, најпре морамо пронаћи најмањи заједнички садржалац (НЗС) за те вредности.

а) Проширивање на једнаке имениоце
Да бисмо разломке $ \frac{8}{15} $ и $ \frac{9}{25} $ свели на заједнички именилац, тражимо НЗС за бројеве $ 15 $ и $ 25 $.

\[
\begin{array}{ll|l}
15 & 25 & 3 \
5 & 25 & 5 \
1 & 5...

Question 8

Задатак 8. Скрати разломак: а) $ \frac{24}{52} $; б) $ \frac{15}{75} $; в) $ \frac{45}{150} $

Accepted Answer

Основни појмови
Скраћивање разломка је поступак при коме бројилац и именилац делимо истим природним бројем (њиховим заједничким делиоцем). Циљ је добити једнак разломак са мањим члановима. Ако желимо да добијемо несводљив разломак у једном кораку, делимо највећим заједничким делиоцем (НЗД).

а) Скраћивање разломка $ \frac{24}{52} $
Да бисмо скратили разломак до краја, наћи ћемо НЗД за 24 и 52.

\[
\begin{array}{l|cc|c}
24 & 2 & 52 & 2 \
12 & 2 & 26 & 2 \
6 & 2 & 13 & 13 \
3 & 3 & 1 & \
1 &...

Question 9

Задатак 9. Уколико је могуће, дати разломак скрати са 2, 4, 5 и 8: а) $ \frac{28}{40} $; б) $ \frac{35}{60} $; в) $ \frac{56}{128} $

Accepted Answer

Правило скраћивања разломака
Скратити разломак неким природним бројем $ n $ значи поделити и његов бројилац и његов именилац тим бројем. Ово је могуће само ако су и бројилац и именилац дељиви бројем $ n $ без остатка (тј. $ n $ је њихов заједнички делилац).

а) Скраћивање разломка $ \frac{28}{40} $
Проверавамо дељивост бројева 28 и 40 са задатим бројевима:

Са 2: Да, оба броја су парна. $$ \frac{28 : 2}{40 : 2} = \frac{14}{20} $$
Са 4: Да, 28 и 40 су дељиви са 4. \[ \frac{28 : 4}{40 : 4}...

Question 10

Задатак 10. Из скупа $ \left\{ \frac{1}{5}, \frac{8}{9}, \frac{39}{169}, \frac{64}{81}, \frac{49}{56} \right\} $ издвој разломке који се не могу скраћивати.

Accepted Answer

Разумевање несводљивих разломака
Разломак се не може скраћивати ако су његов бројилац и именилац узајамно прости бројеви. То значи да је њихов највећи заједнички делилац (НЗД) једнак 1. Такве разломке називамо несводљивим разломцима. Да бисмо решили задатак, испитаћемо сваки разломак из датог скупа $ \left\{ \frac{1}{5}, \frac{8}{9}, \frac{39}{169}, \frac{64}{81}, \frac{49}{56} \right\} $.

Корак 1: Анализа разломка $ \frac{1}{5} $
Бројилац је 1, а именилац је 5. Једини природни број који де...

Question 11

Задатак 11. Једним скраћивањем одреди несводљив разломак једнак разломку: а) $ \frac{6}{15} $; б) $ \frac{15}{33} $; в) $ \frac{35}{50} $; г) $ \frac{60}{45} $; д) $ \frac{75}{200} $; ђ) $ \frac{340}{60} $

Accepted Answer

Довођење разломка до несводљивог облика
Разломак $ \frac{a}{b} $ је несводљив ако су бројилац и именилац узајамно прости бројеви, односно ако је $ \text{НЗД}(a, b) = 1 $. Да бисмо једним скраћивањем дошли до несводљивог разломка, потребно је да и бројилац и именилац поделимо њиховим највећим заједничким делиоцем (\text{НЗД}).

а) $ \frac{6}{15} $
Налазимо $ \text{НЗД}(6, 15) $:
$$
\begin{array}{l|c c|c}
6 & 2 & 15 & 3 \
3 & 3 & 5 & 5 \
1 & & 1 & \
\end{array}
$$
\[ 6 = 2 \cdot 3 \quad...

Question 12

Задатак 12. Да ли је тачно? Образложи одговор. а) $ \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $; б) $ \frac{4}{9} = \frac{2}{3} $; в) $ \frac{25}{55} = \frac{2}{5} $; г) $ \frac{22}{55} = \frac{222}{555} $; д) $ \frac{32}{66} = \frac{54}{99} $

Accepted Answer

Провера једнакости разломака
Према основном својству разломака, разломак се не мења ако се његов бројилац и именилац помноже или поделе истим природним бројем (проширивање и скраћивање). Два разломка $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $ су једнака ако важи $ a \cdot d = b \cdot c $.

а) $ \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $
Да бисмо проверили једнакост, скратићемо разломак $ \frac{6}{4} $ његовим највећим заједничким делиоцем.
$$ \text{НЗД}(6, 4) = 2 $$
\[ \frac{6}{4} = \frac{6 : 2}{4 : 2} = \fra...

IV.3. Проширивање и скраћивање разломака

Изабери решење задатка:

а) \( \frac{6}{15} \)

б) \( \frac{15}{33} \)

в) \( \frac{35}{50} \)

г) \( \frac{60}{45} \)

д) \( \frac{75}{200} \)

ђ) \( \frac{340}{60} \)

Довођење разломка до несводљивог облика

а) \( \frac{6}{15} \)

б) \( \frac{15}{33} \)

в) \( \frac{35}{50} \)

г) \( \frac{60}{45} \)

д) \( \frac{75}{200} \)

ђ) \( \frac{340}{60} \)

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

а) \( \frac{6}{15} \)

б) \( \frac{15}{33} \)

в) \( \frac{35}{50} \)

г) \( \frac{60}{45} \)

д) \( \frac{75}{200} \)

ђ) \( \frac{340}{60} \)

Детаљно решење

Довођење разломка до несводљивог облика

а) \( \frac{6}{15} \)

б) \( \frac{15}{33} \)

в) \( \frac{35}{50} \)

г) \( \frac{60}{45} \)

д) \( \frac{75}{200} \)

ђ) \( \frac{340}{60} \)

Кратак запис решења:

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: