Најважније из лекције
- Исти имениоци: Већи је разломак са већим бројиоцем (\( \frac{2}{7} < \frac{5}{7} \)).
- Исти бројиоци: Већи је разломак са мањим имениоцем (\( \frac{3}{5} > \frac{3}{8} \)).
- Различити имениоци и бројиоци: Разломке проширујемо или скраћујемо како бисмо их свели на заједнички именилац (НЗС именилаца) или заједнички бројилац (НЗС бројилаца), па их онда упоређујемо по претходним правилима.
- Мешовити бројеви: Упоређујемо прво целе делове. Ако су једнаки, упоређујемо њихове разломљене делове. Неправилне разломке је лакше претворити у мешовите пре упоређивања.
Од два разломка једнаких именилаца већи је онај који има већи бројилац.
Ако су \( a, b \) и \( c \) природни бројеви и \( a < b \), онда је: \[ \frac{a}{c} < \frac{b}{c} \]
Ако су \( a, b \) и \( c \) природни бројеви и \( a < b \), онда је: \[ \frac{a}{c} < \frac{b}{c} \]
Пошто је \( 3 < 5 \), следи да је \( \frac{3}{8} < \frac{5}{8} \).
Од два разломка једнаких бројилаца већи је онај који има мањи именилац.
Ако су \( a, b \) и \( c \) природни бројеви и \( a < b \), онда је: \[ \frac{c}{a} > \frac{c}{b} \]
Ако су \( a, b \) и \( c \) природни бројеви и \( a < b \), онда је: \[ \frac{c}{a} > \frac{c}{b} \]
Пошто је \( 4 < 7 \), следи да је \( \frac{5}{4} > \frac{5}{7} \). Када исту количину делимо на мањи број делова, сваки део је већи.
Упореди следеће парове разломака: а) \( \frac{7}{11} \) и \( \frac{9}{11} \); б) \( \frac{8}{3} \) и \( \frac{8}{5} \).
а) Разломци имају исте имениоце, па упоређујемо бројиоце. Пошто је \( 7 < 9 \), следи \( \frac{7}{11} < \frac{9}{11} \).
б) Разломци имају исте бројиоце, па упоређујемо имениоце. Пошто је \( 3 < 5 \), већи је онај са мањим имениоцем, па је \( \frac{8}{3} > \frac{8}{5} \).
б) Разломци имају исте бројиоце, па упоређујемо имениоце. Пошто је \( 3 < 5 \), већи је онај са мањим имениоцем, па је \( \frac{8}{3} > \frac{8}{5} \).
Поступак којим од разломака различитих именилаца (бројилаца) проширивањем или скраћивањем добијамо разломке чији су имениоци (бројиоци) једнаки, називамо превођење или свођење разломака на једнаке имениоце (бројиоце).
Свођење на једнаке имениоце: Проналазимо најмањи заједнички садржалац (НЗС) за имениоце и проширујемо разломке.
Упоређивање \( \frac{3}{5} \) и \( \frac{5}{7} \):
\( НЗС(5, 7) = 35 \)
\( \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35} \)
\( \frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{25}{35} \)
Пошто је \( \frac{21}{35} < \frac{25}{35} \), закључујемо да је \( \frac{3}{5} < \frac{5}{7} \).
\( НЗС(5, 7) = 35 \)
\( \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35} \)
\( \frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{25}{35} \)
Пошто је \( \frac{21}{35} < \frac{25}{35} \), закључујемо да је \( \frac{3}{5} < \frac{5}{7} \).
Свођење на једнаке бројиоце: Проналазимо НЗС за бројиоце и проширујемо разломке. Овај начин је користан када су бројиоци мањи бројеви од именилаца.
Упоређивање \( \frac{14}{25} \) и \( \frac{8}{15} \):
\( НЗС(14, 8) = 56 \)
\( \frac{14}{25} = \frac{14 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{56}{100} \)
\( \frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 7}{15 \cdot 7} = \frac{56}{105} \)
Пошто је \( 100 < 105 \), следи \( \frac{56}{100} > \frac{56}{105} \), односно \( \frac{14}{25} > \frac{8}{15} \).
\( НЗС(14, 8) = 56 \)
\( \frac{14}{25} = \frac{14 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{56}{100} \)
\( \frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 7}{15 \cdot 7} = \frac{56}{105} \)
Пошто је \( 100 < 105 \), следи \( \frac{56}{100} > \frac{56}{105} \), односно \( \frac{14}{25} > \frac{8}{15} \).
Разломке који нису несводљиви боље је прво скратити, па тек онда упоређивати.
Упореди разломке \( \frac{5}{6} \) и \( \frac{7}{9} \).
Сводимо их на заједнички именилац. \( НЗС(6, 9) = 18 \).
\( \frac{5}{6} = \frac{15}{18} \)
\( \frac{7}{9} = \frac{14}{18} \)
Како је \( \frac{15}{18} > \frac{14}{18} \), следи да је \( \frac{5}{6} > \frac{7}{9} \).
\( \frac{5}{6} = \frac{15}{18} \)
\( \frac{7}{9} = \frac{14}{18} \)
Како је \( \frac{15}{18} > \frac{14}{18} \), следи да је \( \frac{5}{6} > \frac{7}{9} \).
При упоређивању мешовитих бројева, прво упоређујемо њихове целе делове. Већи је онај мешовити број чији је цео део већи. Ако су цели делови једнаки, упоређујемо њихове разломљене делове.
\( 1 \frac{7}{9} < 4 \frac{2}{3} \) јер је \( 1 < 4 \).
\( 4 \frac{7}{9} > 4 \frac{2}{3} \) јер су цели делови једнаки (\( 4 = 4 \)), али је \( \frac{7}{9} > \frac{6}{9} \) (где је \( \frac{2}{3} = \frac{6}{9} \)).
\( 4 \frac{7}{9} > 4 \frac{2}{3} \) јер су цели делови једнаки (\( 4 = 4 \)), али је \( \frac{7}{9} > \frac{6}{9} \) (где је \( \frac{2}{3} = \frac{6}{9} \)).
Ако имате неправилан разломак и мешовити број, препоручљиво је неправилан разломак прво превести у мешовити број, па их онда упоредити.
Упоређивање \( \frac{37}{9} \) и \( 3 \frac{9}{10} \):
Претварамо: \( \frac{37}{9} = 4 \frac{1}{9} \).
Упоређујемо: \( 4 \frac{1}{9} > 3 \frac{9}{10} \) јер је \( 4 > 3 \).
Претварамо: \( \frac{37}{9} = 4 \frac{1}{9} \).
Упоређујемо: \( 4 \frac{1}{9} > 3 \frac{9}{10} \) јер је \( 4 > 3 \).
Упореди \( \frac{23}{5} \) и \( 4 \frac{1}{2} \).
Претварамо неправилан разломак у мешовити број: \( \frac{23}{5} = 4 \frac{3}{5} \).
Сада упоређујемо \( 4 \frac{3}{5} \) и \( 4 \frac{1}{2} \). Цели делови су једнаки, па упоређујемо \( \frac{3}{5} \) и \( \frac{1}{2} \).
Заједнички именилац је 10. \( \frac{3}{5} = \frac{6}{10} \) и \( \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \).
Како је \( \frac{6}{10} > \frac{5}{10} \), следи да је \( 4 \frac{3}{5} > 4 \frac{1}{2} \), односно \( \frac{23}{5} > 4 \frac{1}{2} \).
Сада упоређујемо \( 4 \frac{3}{5} \) и \( 4 \frac{1}{2} \). Цели делови су једнаки, па упоређујемо \( \frac{3}{5} \) и \( \frac{1}{2} \).
Заједнички именилац је 10. \( \frac{3}{5} = \frac{6}{10} \) и \( \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \).
Како је \( \frac{6}{10} > \frac{5}{10} \), следи да је \( 4 \frac{3}{5} > 4 \frac{1}{2} \), односно \( \frac{23}{5} > 4 \frac{1}{2} \).
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Попуни празна места знаком \(<\), \(>\) или \(=\):
а) \( \frac{4}{15} \ \_\_\_ \ \frac{8}{15} \)
б) \( \frac{9}{7} \ \_\_\_ \ \frac{9}{10} \)
а) \( \frac{4}{15} \ \_\_\_ \ \frac{8}{15} \)
б) \( \frac{9}{7} \ \_\_\_ \ \frac{9}{10} \)
а) \( \frac{4}{15} < \frac{8}{15} \) (исти имениоци, \( 4 < 8 \))
б) \( \frac{9}{7} > \frac{9}{10} \) (исти бројиоци, \( 7 < 10 \), па је разломак већи)
б) \( \frac{9}{7} > \frac{9}{10} \) (исти бројиоци, \( 7 < 10 \), па је разломак већи)
Средњи ниво: Упореди разломке \( \frac{3}{8} \) и \( \frac{4}{11} \) тако што ћеш их свести на заједнички именилац.
НЗС за 8 и 11 је 88.
Проширујемо први разломак са 11: \( \frac{3 \cdot 11}{8 \cdot 11} = \frac{33}{88} \)
Проширујемо други разломак са 8: \( \frac{4 \cdot 8}{11 \cdot 8} = \frac{32}{88} \)
Пошто је \( \frac{33}{88} > \frac{32}{88} \), следи да је \( \frac{3}{8} > \frac{4}{11} \).
Проширујемо први разломак са 11: \( \frac{3 \cdot 11}{8 \cdot 11} = \frac{33}{88} \)
Проширујемо други разломак са 8: \( \frac{4 \cdot 8}{11 \cdot 8} = \frac{32}{88} \)
Пошто је \( \frac{33}{88} > \frac{32}{88} \), следи да је \( \frac{3}{8} > \frac{4}{11} \).
Тежи ниво: Упореди разломке \( \frac{17}{25} \) и \( \frac{12}{19} \) тако што ћеш их свести на заједнички бројилац.
Тражимо НЗС за бројиоце 17 и 12. Пошто су узајамно прости, њихов НЗС је \( 17 \cdot 12 = 204 \).
Први разломак проширујемо са 12: \( \frac{17 \cdot 12}{25 \cdot 12} = \frac{204}{300} \)
Други разломак проширујемо са 17: \( \frac{12 \cdot 17}{19 \cdot 17} = \frac{204}{323} \)
Добили смо разломке са истим бројиоцима. Већи је онај са мањим имениоцем.
Пошто је \( 300 < 323 \), следи \( \frac{204}{300} > \frac{204}{323} \), односно \( \frac{17}{25} > \frac{12}{19} \).
Први разломак проширујемо са 12: \( \frac{17 \cdot 12}{25 \cdot 12} = \frac{204}{300} \)
Други разломак проширујемо са 17: \( \frac{12 \cdot 17}{19 \cdot 17} = \frac{204}{323} \)
Добили смо разломке са истим бројиоцима. Већи је онај са мањим имениоцем.
Пошто је \( 300 < 323 \), следи \( \frac{204}{300} > \frac{204}{323} \), односно \( \frac{17}{25} > \frac{12}{19} \).
Тежи ниво: Поређај од најмањег до највећег бројеве: \( 3 \frac{1}{4}, \frac{19}{6}, 3 \frac{2}{9} \).
Прво претварамо неправилан разломак у мешовити број: \( \frac{19}{6} = 3 \frac{1}{6} \).
Сада имамо: \( 3 \frac{1}{4}, 3 \frac{1}{6}, 3 \frac{2}{9} \).
Сви имају целе делове 3, па упоређујемо разломке: \( \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{2}{9} \).
Сводимо их на заједнички именилац. \( НЗС(4, 6, 9) = 36 \).
\( \frac{1}{4} = \frac{9}{36} \)
\( \frac{1}{6} = \frac{6}{36} \)
\( \frac{2}{9} = \frac{8}{36} \)
Ређамо их по величини: \( \frac{6}{36} < \frac{8}{36} < \frac{9}{36} \).
То значи да је \( 3 \frac{1}{6} < 3 \frac{2}{9} < 3 \frac{1}{4} \).
Коначан одговор: \( \frac{19}{6} < 3 \frac{2}{9} < 3 \frac{1}{4} \).
Сада имамо: \( 3 \frac{1}{4}, 3 \frac{1}{6}, 3 \frac{2}{9} \).
Сви имају целе делове 3, па упоређујемо разломке: \( \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{2}{9} \).
Сводимо их на заједнички именилац. \( НЗС(4, 6, 9) = 36 \).
\( \frac{1}{4} = \frac{9}{36} \)
\( \frac{1}{6} = \frac{6}{36} \)
\( \frac{2}{9} = \frac{8}{36} \)
Ређамо их по величини: \( \frac{6}{36} < \frac{8}{36} < \frac{9}{36} \).
То значи да је \( 3 \frac{1}{6} < 3 \frac{2}{9} < 3 \frac{1}{4} \).
Коначан одговор: \( \frac{19}{6} < 3 \frac{2}{9} < 3 \frac{1}{4} \).
