Најважније из лекције
- Децимални разломци (са имениоцем 10, 100...) лако се преводе у децимални број пребројавањем нула: \( \frac{19}{100} = 0,19 \).
- Произвољне разломке преводимо у децималан број дељењем бројиоца имениоцем (\( 1 : 2 = 0,5 \)) или проширивањем на декадну јединицу (\( \frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0,5 \)).
- Ако се именилац може раставити само на двојке и петице (\(2\) и \(5\)), децимални запис је коначан. Ако садржи и друге просте чиниоце, запис је бесконачан и периодичан.
- Део који се у бесконачном запису понавља зове се период и пише се у загради: \( 0,1333\dots = 0,1(3) \).
Децимални број се састоји од целог дела и децималног дела, који су одвојени децималном запетом. Цифре десно од запете називају се децималама (десети, стоти, хиљадити делови).
У броју \(25,741\):
- 25 је цео део
- 7 је цифра десетих
- 4 је цифра стотих
- 1 је цифра хиљадитих
Децимални разломци су разломци чији је именилац декадна јединица (10, 100, 1000 итд.).
Претварање разломка у децимални број: Број нула у имениоцу одређује број децимала иза запете.
Пример: \( \frac{34}{100} = 0,34 \); \( 12\frac{3}{10} = 12,3 \)
Пример: \( \frac{34}{100} = 0,34 \); \( 12\frac{3}{10} = 12,3 \)
Претварање децималног броја у разломак: Бројилац чине све цифре (без почетних нула), а именилац је декадна јединица са оним бројем нула колико има децимала.
Пример: \( 0,05 = \frac{5}{100} \); \( 54,3 = 54\frac{3}{10} \)
Пример: \( 0,05 = \frac{5}{100} \); \( 54,3 = 54\frac{3}{10} \)
Брисање или дописивање нуле на крају децималног записа десно од децималне запете не мења вредност броја. \( 0,7 = 0,70 = 0,700 \)
Претворите децимални број \( 4,009 \) у мешовити број.
Одговор: Број има 4 цела. Иза запете су три децимале, што значи да је именилац 1000. Бројилац је 9. Зато је \( 4,009 = 4\frac{9}{1000} \).
Сваком разломку се може придружити децимални број. То се може урадити на два основна начина.
Проширивањем до децималног разломка: Разломак се проширује тако да именилац постане декадна јединица (10, 100, 1000...). Ово је могуће само ако је именилац делилац неке декадне јединице.
\[ \frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100} = 0,15 \]
Дељењем бројиоца имениоцем: Разломачка црта означава дељење, па се бројилац једноставно подели имениоцем.
\[ 3 : 20 = 0,15 \]
Одредите децимални запис разломка \( \frac{1}{4} \) користећи оба начина.
Први начин (проширивање): Пошто 4 стаје у 100, проширујемо са 25.
\[ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 0,25 \]
Други начин (дељење):
\[ 1 : 4 = 0,25 \]
Ако су једини прости делиоци имениоца несводљивог разломка бројеви 2 и 5, онда је његов децимални запис коначaн.
Ако именилац несводљивог разломка има просте делиоце различите од 2 и 5 (нпр. 3, 7, 11), онда је његов децимални запис периодичан (бесконачан).
Период је група цифара која се у бесконачном децималном запису стално понавља. Обележава се заградом. Претпериод је група децимала која се јавља пре првог појављивања периода.
\[ \frac{4}{3} = 4 : 3 = 1,333\dots = 1,(3) \]
Овде је цифра 3 период.
\[ \frac{3}{22} = 3 : 22 = 0,13636\dots = 0,1(36) \] Овде је цифра 1 претпериод, а група цифара 36 је период.
\[ \frac{3}{22} = 3 : 22 = 0,13636\dots = 0,1(36) \] Овде је цифра 1 претпериод, а група цифара 36 је период.
Без дељења, одредите да ли разломак \( \frac{7}{15} \) има коначан или периодичан децимални запис.
Одговор: Именилац је 15. Када га раставимо на просте чиниоце добијамо \( 15 = 3 \cdot 5 \). Пошто именилац садржи прост делилац који није ни 2 ни 5 (а то је број 3), децимални запис овог разломка биће периодичан.
Задаци за вежбање
Лаки задатак: Дате разломке запишите у децималном запису: \( \frac{7}{10} \), \( \frac{45}{1000} \).
\( \frac{7}{10} = 0,7 \)
\( \frac{45}{1000} = 0,045 \) (има три нуле у имениоцу, па мора имати три децимале)
\( \frac{45}{1000} = 0,045 \) (има три нуле у имениоцу, па мора имати три децимале)
Средњи задатак: Децималне бројеве \( 0,8 \) и \( 2,15 \) запишите у облику несводљивих разломака (или мешовитих бројева).
\( 0,8 = \frac{8}{10} \). Када скратимо са 2 добијамо \( \frac{4}{5} \).
\( 2,15 = 2\frac{15}{100} \). Када скратимо разломак са 5 добијамо \( 2\frac{3}{20} \).
\( 2,15 = 2\frac{15}{100} \). Када скратимо разломак са 5 добијамо \( 2\frac{3}{20} \).
Тежи задатак: Претворите разломак \( \frac{5}{6} \) у децимални број дељењем и јасно одредите који део је период, а који претпериод.
Делимо 5 са 6:
\[ 5 : 6 = 0,8333\dots \]
Резултат записујемо као \( 0,8(3) \).
Претпериод је цифра 8, док је период цифра 3.
Претпериод је цифра 8, док је период цифра 3.
