IV.9. Одузимање Разломака

а) \( 4 \frac{5}{6} - 1 \frac{3}{5} \)

Корак 1: Процена вредности разлике

Како се мешовити број \( 4\frac{5}{6} \) налази између целих бројева \( 4 \) и \( 5 \), а \( 1\frac{3}{5} \) између \( 1 \) и \( 2 \): \[ 4 < 4\frac{5}{6} < 5 \quad \text{и} \quad 1 < 1\frac{3}{5} < 2 \] Најмању вредност разлике процењујемо одузимањем горње границе умањиоца од доње границе умањеника: \[ 4 - 2 = 2 \] Највећу вредност разлике процењујемо одузимањем доње границе умањиоца од горње границе умањеника: \[ 5 - 1 = 4 \] Дакле, процењена вредност разлике је: \[ 2 < 4\frac{5}{6} - 1\frac{3}{5} < 4 \]

Корак 2: Одређивање заједничког имениоца

Имениоци су \( 6 \) и \( 5 \). Њихов најмањи заједнички садржалац је: \[ \text{НЗС}(6, 5) = 30 \]

Корак 3: Проширивање разломака и одузимање

Први мешовити број проширујемо са \( 5 \), а други са \( 6 \): \[ 4\frac{5}{6} - 1\frac{3}{5} = 4\frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} - 1\frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = 4\frac{25}{30} - 1\frac{18}{30} \] Одузимамо целе делове од целих и разломљене делове од разломљених: \[ (4 - 1) + \left( \frac{25}{30} - \frac{18}{30} \right) = 3\frac{7}{30} \] Разломак \( \frac{7}{30} \) је несводљив.

б) \( 9 \frac{1}{10} - 5 \frac{1}{15} \)

Корак 1: Процена вредности разлике

Посматрамо целе бројеве између којих се налазе дати бројеви: \[ 9 < 9\frac{1}{10} < 10 \quad \text{и} \quad 5 < 5\frac{1}{15} < 6 \] Доња граница процене је \( 9 - 6 = 3 \), а горња је \( 10 - 5 = 5 \): \[ 3 < 9\frac{1}{10} - 5\frac{1}{15} < 5 \]

Корак 2: Одређивање заједничког имениоца

Одредимо заједнички именилац за бројеве \( 10 \) и \( 15 \): \[ \begin{array}{rr|l} 10, & 15 & 2 \\ 5, & 15 & 3 \\ 5, & 5 & 5 \\ 1, & 1 & \end{array} \qquad \text{НЗС}(10, 15) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \]

Корак 3: Проширивање разломака и одузимање

Први мешовити број проширујемо са \( 3 \), а други са \( 2 \): \[ 9\frac{1}{10} - 5\frac{1}{15} = 9\frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} - 5\frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 2} = 9\frac{3}{30} - 5\frac{2}{30} \] Одузимамо целе делове и разломљене делове: \[ (9 - 5) + \left( \frac{3}{30} - \frac{2}{30} \right) = 4\frac{1}{30} \]

в) \( 5 \frac{3}{20} - 2 \frac{13}{25} \)

Корак 1: Процена вредности разлике

Одредимо између којих целих бројева се налазе дати мешовити бројеви: \[ 5 < 5\frac{3}{20} < 6 \quad \text{и} \quad 2 < 2\frac{13}{25} < 3 \] Доња граница процене је \( 5 - 3 = 2 \), а горња граница је \( 6 - 2 = 4 \): \[ 2 < 5\frac{3}{20} - 2\frac{13}{25} < 4 \]

Корак 2: Одређивање заједничког имениоца

Одредимо заједнички именилац за бројеве \( 20 \) и \( 25 \): \[ \begin{array}{rr|l} 20, & 25 & 2 \\ 10, & 25 & 2 \\ 5, & 25 & 5 \\ 1, & 5 & 5 \\ 1, & 1 & \end{array} \qquad \text{НЗС}(20, 25) = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 100 \]

Корак 3: Проширивање и одузимање уз позајмљивање

Први мешовити број проширујемо са \( 5 \), а други са \( 4 \): \[ 5\frac{3}{20} - 2\frac{13}{25} = 5\frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} - 2\frac{13 \cdot 4}{25 \cdot 4} = 5\frac{15}{100} - 2\frac{52}{100} \] Пошто је разломак \( \frac{15}{100} \) мањи од разломка \( \frac{52}{100} \), морамо позајмити једно цело од умањеника: \[ 5\frac{15}{100} = 4 + 1\frac{15}{100} = 4 + \frac{115}{100} = 4\frac{115}{100} \] Сада извршимо одузимање: \[ 4\frac{115}{100} - 2\frac{52}{100} = (4 - 2) + \left( \frac{115}{100} - \frac{52}{100} \right) = 2\frac{63}{100} \] Разломак \( \frac{63}{100} \) је несводљив.

а)

Процена: \( 2 < 4\frac{5}{6} - 1\frac{3}{5} < 4 \) \[ 4\frac{5}{6} - 1\frac{3}{5} = 4\frac{25}{30} - 1\frac{18}{30} = 3\frac{7}{30} \]

б)

Процена: \( 3 < 9\frac{1}{10} - 5\frac{1}{15} < 5 \) \[ 9\frac{1}{10} - 5\frac{1}{15} = 9\frac{3}{30} - 5\frac{2}{30} = 4\frac{1}{30} \]

в)

Процена: \( 2 < 5\frac{3}{20} - 2\frac{13}{25} < 4 \) \[ 5\frac{3}{20} - 2\frac{13}{25} = 5\frac{15}{100} - 2\frac{52}{100} = 4\frac{115}{100} - 2\frac{52}{100} = 2\frac{63}{100} \]