V.4. Симетрала Угла

Корак 1: Цртање датог угла и њему упоредног угла

Да бисмо нацртали упоредне углове, прво цртамо једну праву линију. На тој правој бирамо једну тачку коју ћемо означити са \( O \). То ће бити теме наших углова. Део праве са једне стране тачке \( O \) нека буде полуправа \( Op \), а са друге стране полуправа \( Or \). Затим из тачке \( O \) повлачимо једну полуправу \( Oq \) тако да угао \( \angle pOq \) не буде ни прав ни опружен, већ произвољан конвексан угао. Угао \( \angle rOq \) је упоредан углу \( \angle pOq \) зато што имају један заједнички крак (полуправу \( Oq \)), док њихова друга два крака (\( Op \) и \( Or \)) образују праву линију. Збир два упоредна угла увек износи \( 180^\circ \), што значи да важи: \[ \angle pOq + \angle rOq = 180^\circ \]
1. Нацртај хоризонталну праву линију са тачком O у њеном центру. Означи десну полуправу која полази из O као Op и леву полуправу која полази из O као Op'. 2. Из тачке O нацртај полуправу Oq изнад праве p'p, тако да формира конвексни неопружени угао pOq. Означи угао pOq са \(\alpha\). 3. Визуелно прикажи конструкцију симетрале угла pOq користећи кружне лукове: прво, кружни лук центриран у O који сече Op у тачки P и Oq у тачки Q; затим, два кружна лука истог полупречника, центрирани у P и Q, који се секу у тачки M. Нацртај полуправу OM и означи је као s1. Углови pOs1 и s1Oq треба да буду означени као \(\frac{1}{2}\alpha\). 4. Визуелно прикажи конструкцију симетрале угла p'Oq (који је упоредан углу pOq) користећи кружне лукове: прво, кружни лук центриран у O који сече Op' у тачки P' и Oq у тачки Q (иста тачка Q као и раније); затим, два кружна лука истог полупречника, центрирани у P' и Q, који се секу у тачки N. Нацртај полуправу ON и означи је као s2. Углови p'Os2 и s2Oq треба да буду означени као \(90^\circ - \frac{1}{2}\alpha\). 5. Јасно прикажи и означи да је угао између симетрала s1 и s2 једнак \(90^\circ\), користећи симбол правог угла.

Корак 2: Конструисање симетрала углова

Сада ћемо конструисати симетрале оба угла користећи шестар и лењир. За угао \( \angle pOq \), забадамо иглу шестара у теме \( O \) и описујемо лук који сече краке \( Op \) и \( Oq \). Затим из тих пресечних тачака описујемо два нова лука истог полупречника тако да се секу унутар угла. Повлачимо полуправу из тачке \( O \) кроз тај пресек. Ту полуправу ћемо означити са \( s_1 \). Она дели угао \( \angle pOq \) на два једнака дела. На исти начин конструишемо симетралу упоредног угла \( \angle rOq \) и означавамо је са \( s_2 \). Симетрала \( s_2 \) дели угао \( \angle rOq \) на два једнака дела.
На претходном цртежу конструиши симетралу угла pOq шестаром и лењиром и означи је са s_1. Затим конструиши симетралу угла rOq и означи је са s_2. Означи луковима да симетрале деле своје углове на два једнака дела.

Корак 3: Израчунавање угла између симетрала

Тражи се угао који образују конструисане симетрале \( s_1 \) и \( s_2 \). Тај угао можемо записати као \( \angle s_1Os_2 \). Са цртежа видимо да се угао између симетрала састоји од два мања суседна угла: угла \( \angle s_1Oq \) и угла \( \angle s_2Oq \). Дакле, можемо записати: \[ \angle s_1Os_2 = \angle s_1Oq + \angle s_2Oq \] Знамо да симетрала \( s_1 \) дели угао \( \angle pOq \) на пола, па важи: \[ \angle s_1Oq = \frac{\angle pOq}{2} \] Исто тако, симетрала \( s_2 \) дели угао \( \angle rOq \) на пола, па важи: \[ \angle s_2Oq = \frac{\angle rOq}{2} \] Сада ове вредности замењујемо у прву једначину: \[ \angle s_1Os_2 = \frac{\angle pOq}{2} + \frac{\angle rOq}{2} \] Можемо сабрати ова два разломка јер имају исти именилац: \[ \angle s_1Os_2 = \frac{\angle pOq + \angle rOq}{2} \] Како су \( \angle pOq \) и \( \angle rOq \) упоредни углови, њихов збир је \( 180^\circ \). Замењујемо ту вредност у израз: \[ \angle s_1Os_2 = \frac{180^\circ}{2} \] \[ \angle s_1Os_2 = 90^\circ \] Добили смо да је угао између ове две симетрале \( 90^\circ \), што значи да симетрале упоредних углова увек образују прав угао.

Нека су дати упоредни углови \( \angle pOq \) и \( \angle rOq \). \[ \angle pOq + \angle rOq = 180^\circ \] Угао између њихових симетрала \( s_1 \) и \( s_2 \) је: \[ \angle s_1Os_2 = \angle s_1Oq + \angle s_2Oq = \frac{\angle pOq}{2} + \frac{\angle rOq}{2} = \frac{\angle pOq + \angle rOq}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \]