Најважније из лекције
- Симетрала угла (\( s \)) је полуправа која полази из темена угла и дели га на два једнака угла.
- Конструише се шестаром и лењиром проналажењем тачке која је једнако удаљена од кракова угла.
- Свака тачка на симетрали је једнако удаљена од кракова угла. Важи и обрнуто: ако је тачка унутар угла једнако удаљена од кракова, она је на симетрали.
- Кружница чији је центар на симетрали, а полупречник једнак растојању до кракова, додирује краке и назива се уписана кружница.
За сваки угао постоји јединствена полуправа која припада том углу, полази из његовог темена и дели га на два једнака угла. Та полуправа се назива симетрала угла.
Сваки угао је осно симетричан и има своју осу симетрије. Симетрала угла је заправо део те осе симетрије који припада самом углу.
Симетрала угла \( pOq \) се најчешће означава малим словом \( s \) уз индекс угла: \( s_{\angle pOq} \).
Ако је мера угла \( \angle aOb = 74^\circ \), колико степени имају углови које гради симетрала тог угла са његовим крацима?
Симетрала дели угао на два једнака дела.
Рачунамо: \( 74^\circ : 2 = 37^\circ \).
Одговор: Углови које гради симетрала са крацима износе по \( 37^\circ \).
Рачунамо: \( 74^\circ : 2 = 37^\circ \).
Одговор: Углови које гради симетрала са крацима износе по \( 37^\circ \).
Симетрала произвољног конвексног неопруженог угла може се лако конструисати коришћењем само лењира и шестара.
Из темена угла \( O \) опишемо кружни лук произвољног полупречника који сече краке угла у тачкама \( P \) и \( Q \). Тада је \( OP = OQ \).
Из тачака \( P \) и \( Q \) опишемо два кружна лука истих полупречника тако да се секу у унутрашњости угла. Тачку пресека означимо са \( S \).
Повучемо полуправу из темена \( O \) кроз тачку \( S \). Полуправа \( OS \) је тражена симетрала угла.
Конструкција угла од \( 45^\circ \) и \( 135^\circ \):
Прво се конструише прав угао (\( 90^\circ \)). Његовом симетралом добијамо два угла од по \( 45^\circ \) (\( 90^\circ : 2 = 45^\circ \)).
Угао који је упоредан углу од \( 45^\circ \) износи \( 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).
Прво се конструише прав угао (\( 90^\circ \)). Његовом симетралом добијамо два угла од по \( 45^\circ \) (\( 90^\circ : 2 = 45^\circ \)).
Угао који је упоредан углу од \( 45^\circ \) износи \( 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).
Ако тачка припада симетрали угла, онда је она једнако удаљена од правих на којима се налазе краци тог угла.
Ако је нека тачка из унутрашње области угла једнако удаљена од кракова тог угла, онда та тачка обавезно припада симетрали тог угла.
Ако желимо да пронађемо тачку на мапи која је потпуно једнако удаљена од два пута који се секу, та тачка мора да се налази на симетрали угла који та два пута образују.
Да ли тачка \( M \), која се налази у унутрашњости угла \( pOq \), припада симетрали тог угла ако је њено растојање од крака \( p \) једнако \( 4\text{ cm} \), а растојање од крака \( q \) једнако \( 5\text{ cm} \)?
Одговор: Не припада. Да би тачка припадала симетрали угла, њено растојање од оба крака мора бити једнако (нпр. \( 4\text{ cm} \) од оба крака).
Ако изаберемо произвољну тачку \( S \) на симетрали угла и означимо њено растојање од кракова са \( r \), можемо нацртати кружницу \( k(S, r) \). За ову кружницу кажемо да је уписана у угао.
Краци угла представљају тангенте на ову кружницу, јер је додирују у тачно једној тачки, а полупречник кружнице је нормалан на крак угла у тачки додира.
Центар кружнице која додирује оба крака неког угла налази се на удаљености \( d \) од темена угла. На којој правој (или полуправој) се налази тај центар?
Пошто кружница додирује оба крака, њен центар је једнако удаљен од оба крака (удаљеност је једнака полупречнику кружнице). Према теореми, центар се налази на симетрали тог угла.
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Полуправа \( Os \) је симетрала угла \( \angle pOq \). Ако је угао \( \angle pOs = 28^\circ \), колика је мера целог угла \( \angle pOq \)?
Симетрала дели цео угао на два једнака дела, па је цео угао дупло већи од једне његове половине.
\( \angle pOq = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ \)
Одговор: Мера угла је \( 56^\circ \).
\( \angle pOq = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ \)
Одговор: Мера угла је \( 56^\circ \).
Средњи ниво: Дат је угао \( \angle aOb = 120^\circ \). Конструисана је његова симетрала \( s \), а затим је конструисана симетрала \( s_1 \) угла који гради полуправа \( s \) са краком \( a \). Израчунај меру угла између симетрале \( s_1 \) и крака \( b \).
1. Симетрала \( s \) дели \( 120^\circ \) на два угла од по \( 60^\circ \).
2. Симетрала \( s_1 \) дели угао од \( 60^\circ \) (између \( s \) и \( a \)) на два угла од по \( 30^\circ \).
3. Угао између \( s_1 \) и крака \( b \) састоји се од угла између \( s_1 \) и \( s \) (\( 30^\circ \)) и угла између \( s \) и \( b \) (\( 60^\circ \)).
\( 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \)
Одговор: Мера траженог угла је \( 90^\circ \).
2. Симетрала \( s_1 \) дели угао од \( 60^\circ \) (између \( s \) и \( a \)) на два угла од по \( 30^\circ \).
3. Угао између \( s_1 \) и крака \( b \) састоји се од угла између \( s_1 \) и \( s \) (\( 30^\circ \)) и угла између \( s \) и \( b \) (\( 60^\circ \)).
\( 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \)
Одговор: Мера траженог угла је \( 90^\circ \).
Тешки ниво: Дат је угао \( \angle pOq = 140^\circ \). У његовој унутрашњости налази се тачка \( T \) која је на истом растојању од праве на којој се налази крак \( p \) и праве на којој се налази крак \( q \). Колики угао гради права \( OT \) са краком \( q \)?
Пошто је тачка \( T \) једнако удаљена од оба крака угла, она по правилу мора припадати симетрали тог угла.
То значи да полуправа \( OT \) представља симетралу угла \( \angle pOq \).
Симетрала дели угао на два једнака дела, па права \( OT \) са било којим краком (укључујући и \( q \)) гради половину укупног угла.
\( 140^\circ : 2 = 70^\circ \)
Одговор: Права \( OT \) са краком \( q \) гради угао од \( 70^\circ \).
То значи да полуправа \( OT \) представља симетралу угла \( \angle pOq \).
Симетрала дели угао на два једнака дела, па права \( OT \) са било којим краком (укључујући и \( q \)) гради половину укупног угла.
\( 140^\circ : 2 = 70^\circ \)
Одговор: Права \( OT \) са краком \( q \) гради угао од \( 70^\circ \).
