Најважније из лекције
Средња вредност: Аритметичка средина више узастопних мерења \( x_{sr} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \). Повећањем броја мерења повећава се тачност.
Апсолутна грешка мерења: Највеће појединачно одступање од средње вредности, \( \Delta x_{max} = \max|x_i - x_{sr}| \). Код једнократног мерења узима се вредност најмањег подељка инструмента.
Запис резултата: \( x = x_{sr} \pm \Delta x_{max} \) (нпр. \( \ell = (230 \pm 3)\text{ mm} \)).
Релативна грешка: Однос апсолутне грешке и средње вредности изражен у процентима, \( \delta x = \frac{\Delta x_{max}}{x_{sr}} \cdot 100\% \); мерило је стварне тачности мерења.
Апсолутна грешка мерења: Највеће појединачно одступање од средње вредности, \( \Delta x_{max} = \max|x_i - x_{sr}| \). Код једнократног мерења узима се вредност најмањег подељка инструмента.
Запис резултата: \( x = x_{sr} \pm \Delta x_{max} \) (нпр. \( \ell = (230 \pm 3)\text{ mm} \)).
Релативна грешка: Однос апсолутне грешке и средње вредности изражен у процентима, \( \delta x = \frac{\Delta x_{max}}{x_{sr}} \cdot 100\% \); мерило је стварне тачности мерења.
Тачну вредност неке физичке величине није могуће савршено прецизно измерити услед несавршености мерних инструмената, услова мерења или људског фактора. Због тога се тачна вредност замењује средњом (просечном) вредношћу.
Средња вредност се добија када се саберу сви резултати појединачних мерења и њихов збир подели укупним бројем мерења. Што је већи број мерења, резултат је тачнији и поузданији.
\[ x_{sr} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n} \]
\( x_{sr} \) – средња вредност мерене величине; \( x_1, x_2, \dots, x_n \) – вредности појединачних мерења; \( n \) – укупан број извршених мерења
Ако су три групе ученика мериле дужину исте оловке и добиле вредности: \( \ell_1 = 150\text{ mm} \), \( \ell_2 = 152\text{ mm} \) и \( \ell_3 = 148\text{ mm} \), средња вредност дужине је:
\[ \ell_{sr} = \frac{150\text{ mm} + 152\text{ mm} + 148\text{ mm}}{3} = \frac{450\text{ mm}}{3} = 150\text{ mm} \]
Грешка појединачног мерења (\( \Delta x_i \)) представља одступање појединачно измерене вредности од израчунате средње вредности. Рачуна се као разлика те две вредности и увек се узима са позитивним знаком (као апсолутна вредност).
\[ \Delta x_i = |x_i - x_{sr}| \]
Апсолутна грешка мерења (\( \Delta x_{max} \)) је највеће одступање појединачно измерене вредности од средње вредности међу свим извршеним мерењима.
\[ \Delta x_{max} = \max(\Delta x_1, \Delta x_2, \dots, \Delta x_n) \]
Уколико се мерење врши само једанпут (не понавља се више пута), онда се за грешку мерења узима вредност најмањег подељка на скали коришћеног мерног инструмента.
Крајњи резултат директног мерења физичке величине обавезно се изражава помоћу средње вредности и максималне апсолутне грешке.
\[ x = x_{sr} \pm \Delta x_{max} \]
Овакав запис означава да се стварна (права) вредност мерене величине налази у интервалу од \( x_{sr} - \Delta x_{max} \) до \( x_{sr} + \Delta x_{max} \).
Ако за дужину уџбеника имамо \( \ell_{sr} = 230\text{ mm} \) и \( \Delta \ell_{max} = 3\text{ mm} \), крајњи резултат записујемо као:
\[ \ell = (230 \pm 3)\text{ mm} \]
Ово значи да је стварна дужина књиге између \( 227\text{ mm} \) и \( 233\text{ mm} \).
| Број мерења (\( i \)) | Измерена вредност \( \ell_i\text{ [mm]} \) | Средња вредност \( \ell_{sr}\text{ [mm]} \) | Грешка мерења \( \Delta \ell_i = |\ell_i - \ell_{sr}|\text{ [mm]} \) |
|---|---|---|---|
| 1 | 230 | 230 | \( |230 - 230| = 0 \) |
| 2 | 228 | \( |228 - 230| = 2 \) | |
| 3 | 231 | \( |231 - 230| = 1 \) | |
| 4 | 228 | \( |228 - 230| = 2 \) | |
| 5 | 233 | \( |233 - 230| = 3 \) (максимална: \( \Delta \ell_{max} = 3\text{ mm} \)) |
Релативна грешка (\( \delta x \)) представља количник максималне апсолутне грешке и средње вредности мерене величине. Најчешће се изражава у процентима.
\[ \delta x = \frac{\Delta x_{max}}{x_{sr}} \quad \text{односно у процентима:} \quad \delta x = \frac{\Delta x_{max}}{x_{sr}} \cdot 100\% \]
\( \delta x \) (чита се: делта \( x \)) – релативна грешка
Релативна грешка даје бољи увид у тачност и квалитет мерења од саме апсолутне грешке. Што је релативна грешка мања, то је мерење прецизније и успешније изведено.
Ако је \( \ell_{sr} = 230\text{ mm} \) и \( \Delta \ell_{max} = 3\text{ mm} \), релативна грешка износи:
\[ \delta \ell = \frac{3\text{ mm}}{230\text{ mm}} \approx 0{,}0130 = 1{,}3\% \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Мерењем ширине врата добијен је и записан резултат \( b = (82 \pm 2)\text{ cm} \). Одредити:
а) средњу вредност ширине врата;
б) апсолутну грешку мерења;
в) интервал (најмању и највећу вредност) у коме се налази права ширина врата.
а) средњу вредност ширине врата;
б) апсолутну грешку мерења;
в) интервал (најмању и највећу вредност) у коме се налази права ширина врата.
На основу стандардног облика записа \( x = x_{sr} \pm \Delta x_{max} \):
а) Средња вредност је \( b_{sr} = 82\text{ cm} \).
б) Апсолутна грешка мерења је \( \Delta b_{max} = 2\text{ cm} \).
в) Права вредност ширине налази се у интервалу: \[ b_{min} = 82\text{ cm} - 2\text{ cm} = 80\text{ cm} \] \[ b_{max} = 82\text{ cm} + 2\text{ cm} = 84\text{ cm} \] Дакле, ширина врата је између \( 80\text{ cm} \) и \( 84\text{ cm} \).
а) Средња вредност је \( b_{sr} = 82\text{ cm} \).
б) Апсолутна грешка мерења је \( \Delta b_{max} = 2\text{ cm} \).
в) Права вредност ширине налази се у интервалу: \[ b_{min} = 82\text{ cm} - 2\text{ cm} = 80\text{ cm} \] \[ b_{max} = 82\text{ cm} + 2\text{ cm} = 84\text{ cm} \] Дакле, ширина врата је између \( 80\text{ cm} \) и \( 84\text{ cm} \).
Задатак 2 (средњи): Ученик је три пута заустављао хронометар мерећи време трајања једног огледа и добио вредности: \( t_1 = 12\text{ s} \), \( t_2 = 15\text{ s} \) и \( t_3 = 12\text{ s} \).
Израчунати средњу вредност времена, одредити апсолутну грешку и записати коначан резултат мерења.
Израчунати средњу вредност времена, одредити апсолутну грешку и записати коначан резултат мерења.
1. Корак: Рачунање средње вредности:
\[ t_{sr} = \frac{t_1 + t_2 + t_3}{3} = \frac{12\text{ s} + 15\text{ s} + 12\text{ s}}{3} = \frac{39\text{ s}}{3} = 13\text{ s} \]
2. Корак: Одређивање грешака појединачних мерења:
\[ \Delta t_1 = |12\text{ s} - 13\text{ s}| = 1\text{ s} \]
\[ \Delta t_2 = |15\text{ s} - 13\text{ s}| = 2\text{ s} \]
\[ \Delta t_3 = |12\text{ s} - 13\text{ s}| = 1\text{ s} \]
Максимално одступање (апсолутна грешка) је: \( \Delta t_{max} = 2\text{ s} \).
3. Корак: Коначан резултат мерења: \[ t = (13 \pm 2)\text{ s} \]
3. Корак: Коначан резултат мерења: \[ t = (13 \pm 2)\text{ s} \]
Задатак 3 (средњи): Два ученика су извршила мерења дужине различитих предмета:
• Први ученик је мерио дужину клупе: \( \ell_1 = (100 \pm 1)\text{ cm} \)
• Други ученик је мерио дужину гумице за брисање: \( \ell_2 = (5 \pm 1)\text{ cm} \)
Иако оба мерења имају исту апсолутну грешку од \( 1\text{ cm} \), израчунати релативне грешке оба мерења и закључити које је мерење тачније (квалитетније) изведено.
• Први ученик је мерио дужину клупе: \( \ell_1 = (100 \pm 1)\text{ cm} \)
• Други ученик је мерио дужину гумице за брисање: \( \ell_2 = (5 \pm 1)\text{ cm} \)
Иако оба мерења имају исту апсолутну грешку од \( 1\text{ cm} \), израчунати релативне грешке оба мерења и закључити које је мерење тачније (квалитетније) изведено.
Рачунамо релативне грешке по формули \( \delta = \frac{\Delta x_{max}}{x_{sr}} \cdot 100\% \):
• За првог ученика (клупа): \[ \delta_1 = \frac{1\text{ cm}}{100\text{ cm}} \cdot 100\% = 1\% \] • За другог ученика (гумица): \[ \delta_2 = \frac{1\text{ cm}}{5\text{ cm}} \cdot 100\% = 20\% \] Закључак: Прво мерење је знатно тачније (квалитетније), јер је његова релативна грешка много мања (\( 1\% \) у односу на чак \( 20\% \)).
• За првог ученика (клупа): \[ \delta_1 = \frac{1\text{ cm}}{100\text{ cm}} \cdot 100\% = 1\% \] • За другог ученика (гумица): \[ \delta_2 = \frac{1\text{ cm}}{5\text{ cm}} \cdot 100\% = 20\% \] Закључак: Прво мерење је знатно тачније (квалитетније), јер је његова релативна грешка много мања (\( 1\% \) у односу на чак \( 20\% \)).
Задатак 4 (тежак): Четири групе ученика су на часу физике мериле масу истог металног тела и добиле следеће резултате: \( m_1 = 48\text{ g} \), \( m_2 = 51\text{ g} \), \( m_3 = 49\text{ g} \) и \( m_4 = 52\text{ g} \).
а) Израчунати средњу вредност масе тела \( m_{sr} \);
б) Одредити максималну апсолутну грешку \( \Delta m_{max} \);
в) Записати коначан резултат мерења;
г) Израчунати релативну грешку мерења у процентима.
а) Израчунати средњу вредност масе тела \( m_{sr} \);
б) Одредити максималну апсолутну грешку \( \Delta m_{max} \);
в) Записати коначан резултат мерења;
г) Израчунати релативну грешку мерења у процентима.
а) Средња вредност:
\[ m_{sr} = \frac{48\text{ g} + 51\text{ g} + 49\text{ g} + 52\text{ g}}{4} = \frac{200\text{ g}}{4} = 50\text{ g} \]
б) Одступања појединачних мерења:
\[ \Delta m_1 = |48\text{ g} - 50\text{ g}| = 2\text{ g} \]
\[ \Delta m_2 = |51\text{ g} - 50\text{ g}| = 1\text{ g} \]
\[ \Delta m_3 = |49\text{ g} - 50\text{ g}| = 1\text{ g} \]
\[ \Delta m_4 = |52\text{ g} - 50\text{ g}| = 2\text{ g} \]
Максимална апсолутна грешка износи: \( \Delta m_{max} = 2\text{ g} \).
в) Запис резултата: \[ m = (50 \pm 2)\text{ g} \] г) Релативна грешка: \[ \delta m = \frac{\Delta m_{max}}{m_{sr}} \cdot 100\% = \frac{2\text{ g}}{50\text{ g}} \cdot 100\% = 0{,}04 \cdot 100\% = 4\% \]
в) Запис резултата: \[ m = (50 \pm 2)\text{ g} \] г) Релативна грешка: \[ \delta m = \frac{\Delta m_{max}}{m_{sr}} \cdot 100\% = \frac{2\text{ g}}{50\text{ g}} \cdot 100\% = 0{,}04 \cdot 100\% = 4\% \]
