Најмањи заједнички садржалац

Question 1

Задатак 1. Одреди НЗС($ a, b $) ако је: а) $ a = 2^3 \cdot 3^2 $, $ b = 2^2 \cdot 3^3 $; б) $ a = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 $, $ b = 2^2 \cdot 3 $; в) $ a = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 $, $ b = 3^2 \cdot 5 $.

Accepted Answer

Правило
Када су бројеви растављени на просте чиниоце, њихов најмањи заједнички садржалац добијамо тако што узмемо сваки прости чинилац који се јавља бар у једном од бројева, и то са највећим изложиоцем са којим се у њима јавља.

а) $ a = 2^3 \cdot 3^2 $, $ b = 2^2 \cdot 3^3 $
Прости чиниоци су $ 2 $ и $ 3 $. Највећи изложилац броја $ 2 $ јесте $ 3 $, а броја $ 3 $ јесте $ 3 $:
$$ \text{НЗС}(a, b) = 2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216. $$

б) $ a = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 $, \( b = 2^2...

Question 2

Растављањем бројева на просте чиниоце, одреди:
а) НЗС(100, 45); б) НЗС(24, 30); в) НЗС(70, 154); г) НЗС(182, 260).

Accepted Answer

Да бисмо одредили најмањи заједнички садржалац (НЗС) два броја, прво ћемо их раставити на просте чиниоце. Након тога, НЗС формирамо тако што помножимо све просте чиниоце који се јављају у растављању бар једног од бројева, узимајући сваки чинилац са највећим бројем понављања.

а) НЗС(100, 45)
Растављамо бројеве 100 и 45 на просте чиниоце:
$$
\begin{array}{l|cc|c}
100 & 2 & 45 & 3 \
50 & 2 & 15 & 3 \
25 & 5 & 5 & 5 \
5 & 5 & 1 & \
1 & & & \
\end{array}
$$
Факторизација бројева је:
\[ 100 = 2...

Question 3

Одреди:
а) НЗС(44, 66); б) НЗС(32, 24); в) НЗС(60, 72); г) НЗС(28, 42).

Accepted Answer

Корак 1: Одређивање $\text{НЗС}(44, 66)$
За одређивање најмањег заједничког садржаоца (НЗС) користићемо методу истовременог дељења простим чиниоцима. Делимо бројеве најмањим простим бројем који дели бар један од њих све док не добијемо јединице.

$$
\begin{array}{cc|l}
44 & 66 & 2 \
22 & 33 & 2 \
11 & 33 & 3 \
11 & 11 & 11 \
1 & 1 & \
\end{array}
$$
Најмањи заједнички садржалац је производ свих простих чинилаца са десне стране црте:
\[ \text{НЗС}(44, 66) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 4 \...

Question 4

Одреди:
а) НЗС(6, 7, 8); б) НЗС(8, 12, 18); в) НЗС(15, 35, 55); г) НЗС(12, 18, 32);
д) НЗС(24, 30, 42); ђ) НЗС(24, 32, 40); е) НЗС(12, 16, 20, 28).

Accepted Answer

Корак 1: Анализа и избор методе
За одређивање најмањег заједничког садржаоца (НЗС) за три или више бројева користићемо методу истовременог дељења. Бројеве делимо најмањим простим бројем који дели бар један од њих, све док на крају не добијемо све јединице. НЗС је производ свих употребљених простих делилаца.

а) $ \text{НЗС}(6, 7, 8) $
Корак 2: Рачунање $ \text{НЗС}(6, 7, 8) $
\[
\begin{array}{lll|l}
6 & 7 & 8 & 2 \
3 & 7 & 4 & 2 \
3 & 7 & 2 & 2 \
3 & 7 & 1 & 3 \
1 & 7 & 1 & 7 \
1 & 1 &...

Question 5

Сваки од три робота $ X $, $ Y $ и $ Z $ увек прави исте кораке. Корак робота $ X $ је дуг 45 cm, корак робота $ Y $ је 50 cm, а корак робота $ Z $ је 60 cm. Ако полазе са истог места и иду у истом смеру, колико је од полазног места удаљена прва тачка до које сваки од њих начини цео број...

Accepted Answer

Корак 1: Анализа задатка
Да бисмо пронашли прву тачку на којој сваки од робота $ X $, $ Y $ и $ Z $ начини цео број корака, потребно је да одредимо најмањи број који је истовремено дељив са дужинама њихових корака. Дужине корака су 45 cm, 50 cm и 60 cm. Тражени број је заправо најмањи заједнички садржалац (НЗС) за ова три броја.

Корак 2: Израчунавање најмањег заједничког садржаоца (НЗС)
Користићемо методу истовременог дељења простим чиниоцима како бисмо одредили \( \text{НЗС}(45, 50, 60)...

Question 6

У једну луку пристижу бродови из три места. Брод из места А стиже сваког другог дана, брод из места Б сваког четвртог дана, а брод из места В сваког шестог дана. Сви бродови су истовремено стигли у луку 1. јуна, а овај ред вожње важи од 1. јуна до 31. августа.
а) Одреди дане када ће сви бродови заје...

Accepted Answer

Да бисмо решили овај задатак, користићемо концепт најмањег заједничког садржаоца (НЗС). Бродови стижу у интервалима од 2, 4 и 6 дана.

а) Дани када ће сви бродови заједно стићи у луку

1. Одређивање НЗС за интервале доласка
Сви бродови ће се поново срести у луку након броја дана који је дељив са 2, 4 и 6. Први такав дан је најмањи заједнички садржалац ових бројева.

$$
\begin{array}{lll|l}
2 & 4 & 6 & 2 \
1 & 2 & 3 & 2 \
1 & 1 & 3 & 3 \
1 & 1 & 1 & \
\end{array}
$$

\[ \text{НЗС}(2, 4, 6) =...

Question 7

Одреди најмањи број ученика који се могу сврстати у врсте по 12, 14 или 16 ученика. Колико би врста било у сваком случају?

Accepted Answer

Анализа задатка
Да бисмо одредили најмањи број ученика који се могу сврстати у врсте по $ 12 $, $ 14 $ или $ 16 $ без остатка, потребно је да пронађемо најмањи заједнички садржалац ($ \text{НЗС} $) за ова три броја. Тражени број ученика мора бити дељив са сваким од наведених бројева како би распоређивање у врсте било потпуно.

Проналажење најмањег заједничког садржаоца ($ \text{НЗС} $)
Користићемо методу истовременог дељења простим чиниоцима за бројеве $ 12 $, $ 14 $ и $ 16 $.

\...

Question 8

Одреди најмањи природан број који при дељењу са било којим од бројева 6, 15 или 21 даје остатак 5.

Accepted Answer

Да бисмо пронашли најмањи природан број који при дељењу са 6, 15 или 21 даје остатак 5, користимо својства дељивости и најмањег заједничког садржаоца (НЗС).

Корак 1: Анализа проблема
Нека је $ n $ тражени природан број. Према условима задатка, када број $ n $ поделимо са 6, 15 или 21, остатак је увек 5. То можемо записати као:
$$ n = 6 \cdot q_1 + 5 $$
$$ n = 15 \cdot q_2 + 5 $$
$$ n = 21 \cdot q_3 + 5 $$
Ако од броја $ n $ одузмемо остатак 5, добићемо број $ n - 5 $ који је потпуно дељ...

Question 9

Одреди:
а) НЗС(7, 8); б) НЗД(11, 13); в) НЗД(9, 16); г) НЗД(28, 45).

Accepted Answer

Корак 1: Одређивање $\text{НЗС}(7, 8)$
Бројеви 7 и 8 су узајамно прости јер је број 7 прост број и не дели број 8. Највећи заједнички делилац за ова два броја је 1, односно $\text{НЗД}(7, 8) = 1$. Користимо правило да је за узајамно просте бројеве најмањи заједнички садржалац једнак њиховом производу:
$$ \text{НЗС}(7, 8) = 7 \cdot 8 = 56 $$

Корак 2: Одређивање $\text{НЗД}(11, 13)$
Бројеви 11 и 13 су прости бројеви. Пошто су то два различита проста броја, они немају заједничких делилаца ос...

Question 10

Одреди НЗС($ x, y $) ако је $ xy = 1\ 350 $, НЗД($ x, y $) = 15.

Accepted Answer

Корак 1: Издвајање познатих и непознатих података
Познати подаци:
- Производ бројева: $ x \cdot y = 1\ 350 $
- Највећи заједнички делилац: $ \text{НЗД}(x, y) = 15 $

Непознати податак:
- Најмањи заједнички садржалац: $ \text{НЗС}(x, y) = \text{?} $

Корак 2: Записивање формуле за везу између НЗД и НЗС
За свака два природна броја $ x $ и $ y $ важи правило да је производ њиховог најмањег заједничког садржаоца и највећег заједничког делиоца једнак производу та два броја. Записујемо форму...

Question 11

Одреди НЗД($ x, y $) ако је $ xy = 896 $, НЗС($ x, y $) = 128.

Accepted Answer

Корак 1: Издвајање познатих и непознатих података
На основу текста задатка, имамо следеће податке:
- Производ бројева $ x $ и $ y $: $ x \cdot y = 896 $
- Најмањи заједнички садржалац тих бројева: $ \text{НЗС}(x, y) = 128 $

Непознати податак који треба да одредимо је:
- Највећи заједнички делилац: $ \text{НЗД}(x, y) = \text{?} $

Корак 2: Примена формуле за везу између НЗД и НЗС
Користимо математичко правило које каже да је за било која два природна броја производ њиховог највећег зај...

Question 12

Одреди број $ a $ такав да је НЗС($ a, 15 $) = 105 и НЗД($ a, 15 $) = 5.

Accepted Answer

Корак 1: Издвајање познатих података
Из задатка су нам познати следећи подаци:
- Први број: $ a $ (непознат)
- Други број: $ b = 15 $
- Најмањи заједнички садржалац: $ \text{НЗС}(a, 15) = 105 $
- Највећи заједнички делилац: $ \text{НЗД}(a, 15) = 5 $

Корак 2: Примена формуле за везу између НЗД и НЗС
За свака два природна броја $ a $ и $ b $ важи основна теорема која повезује њихов производ са њиховим највећим заједничким делиоцем и најмањим заједничким садржаоцем:
\[ \text{НЗС}(a, b)...

Question 13

Одреди све парове бројева $ x $ и $ y $ такве да је НЗД($ x, y $) = 6, НЗС($ x, y $) = 36.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа познатих података и постављање модела
Из задатка знамо да је највећи заједнички делилац бројева $ x $ и $ y $ једнак $ 6 $, а њихов најмањи заједнички садржалац $ 36 $.
$$ \text{НЗД}(x, y) = 6, \quad \text{НЗС}(x, y) = 36 $$
Пошто је $ \text{НЗД}(x, y) = 6 $, бројеве можемо записати као:
$$ x = 6 \cdot k \quad \text{и} \quad y = 6 \cdot m $$
где су $ k $ и $ m $ узајамно прости природни бројеви, односно $ \text{НЗД}(k, m) = 1 $.

Корак 2: Примена формуле за везу...

I.14. Најмањи заједнички садржалац

Изабери решење задатка:

Корак 1: Издвајање познатих и непознатих података

Корак 2: Записивање формуле за везу између НЗД и НЗС

Корак 3: Израчунавање непознате вредности

Корак 4: Провера решења

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста