I.14. Најмањи заједнички садржалац

Да бисмо одредили најмањи заједнички садржалац (НЗС) два броја, прво ћемо их раставити на просте чиниоце. Након тога, НЗС формирамо тако што помножимо све просте чиниоце који се јављају у растављању бар једног од бројева, узимајући сваки чинилац са највећим бројем понављања.

а) НЗС(100, 45)

Растављамо бројеве 100 и 45 на просте чиниоце: \[ \begin{array}{l|cc|c} 100 & 2 & 45 & 3 \\ 50 & 2 & 15 & 3 \\ 25 & 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 1 & \\ 1 & & & \\ \end{array} \] Факторизација бројева је: \[ 100 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^2 \] \[ 45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 \] За НЗС бирамо највеће степене свих чинилаца који се појављују (\( 2^2 \), \( 3^2 \) и \( 5^2 \)): \[ \text{НЗС}(100, 45) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 \]

б) НЗС(24, 30)

Растављамо бројеве 24 и 30 на просте чиниоце: \[ \begin{array}{l|cc|c} 24 & 2 & 30 & 2 \\ 12 & 2 & 15 & 3 \\ 6 & 2 & 5 & 5 \\ 3 & 3 & 1 & \\ 1 & & & \\ \end{array} \] Факторизација бројева је: \[ 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 \] \[ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \] Највећи степени чинилаца су \( 2^3 \), \( 3 \) и \( 5 \): \[ \text{НЗС}(24, 30) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120 \]

в) НЗС(70, 154)

Растављамо бројеве 70 и 154 на просте чиниоце: \[ \begin{array}{l|cc|c} 70 & 2 & 154 & 2 \\ 35 & 5 & 77 & 7 \\ 7 & 7 & 11 & 11 \\ 1 & & 1 & \\ \end{array} \] Факторизација бројева је: \[ 70 = 2 \cdot 5 \cdot 7 \] \[ 154 = 2 \cdot 7 \cdot 11 \] Највећи степени чинилаца су \( 2 \), \( 5 \), \( 7 \) и \( 11 \): \[ \text{НЗС}(70, 154) = 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 10 \cdot 77 = 770 \]

г) НЗС(182, 260)

Растављамо бројеве 182 и 260 на просте чиниоце: \[ \begin{array}{l|cc|c} 182 & 2 & 260 & 2 \\ 91 & 7 & 130 & 2 \\ 13 & 13 & 65 & 5 \\ 1 & & 13 & 13 \\ & & 1 & \\ \end{array} \] Факторизација бројева је: \[ 182 = 2 \cdot 7 \cdot 13 \] \[ 260 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 13 = 2^2 \cdot 5 \cdot 13 \] Највећи степени чинилаца су \( 2^2 \), \( 5 \), \( 7 \) и \( 13 \): \[ \text{НЗС}(182, 260) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 = 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 = 20 \cdot 91 = 1820 \]

а) \( 100=2^2\cdot 5^2, 45=3^2\cdot 5 \Rightarrow \text{НЗС}=2^2\cdot 3^2\cdot 5^2 = 900 \) б) \( 24=2^3\cdot 3, 30=2\cdot 3\cdot 5 \Rightarrow \text{НЗС}=2^3\cdot 3\cdot 5 = 120 \) в) \( 70=2\cdot 5\cdot 7, 154=2\cdot 7\cdot 11 \Rightarrow \text{НЗС}=2\cdot 5\cdot 7\cdot 11 = 770 \) г) \( 182=2\cdot 7\cdot 13, 260=2^2\cdot 5\cdot 13 \Rightarrow \text{НЗС}=2^2\cdot 5\cdot 7\cdot 13 = 1820 \)