Задатак 1. На слици десно су међу ученицима одељења $ V_1 $ издвојени чланови математичке секције и чланови драмске секције. а) Колико ученика иде на бар једну секцију, математичку или драмску? б) Колико ученика иде на обе секције, и математичку и драмску? в) Колико ученика иде на математичку секц...

Анализа Веновог дијаграма На слици су међу ученицима одељења $ V_1 $ ружичастом линијом издвојени чланови математичке секције (скуп $ M $), а плавом линијом чланови драмске секције (скуп $ D $). Линије се преклапају, па чине Венов дијаграм. Пребројавањем ученика по областима дијаграма добијамо: ружичасти правоугаоник $ M $ обухвата две врсте по три ученика, дакле $ |M| = 6 $; плави правоугаоник $ D $ обухвата три врсте по три ученика, дакле $ |D| = 9 $; у пресеку (област коју обу...

Задатак 2. Одреди $ K \cap L $, $ K \cup L $, $ K \setminus L $ и $ L \setminus K $ ако су $ K $ и $ L $ дати Веновим дијаграмима: а) K L 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 б) K L 10, 11, 12, 20, 21, 22 в) K L 1, 2, 3, 4, 5, 6

Са Венових дијаграма прво прочитамо елементе сваког скупа: они у пресеку (где се кругови преклапају) припадају и K и L.а) Пресек: $ K \cap L = \{2, 5, 8\} $. Само у K: 1, 4, 7; само у L: 3, 6, 9. Значи $ K = \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} $, $ L = \{2, 3, 5, 6, 8, 9\} $.$ K \cup L = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} $$ K \setminus L = \{1, 4, 7\} $$ L \setminus K = \{3, 6, 9\} $б) Пресек: $ K \cap L = \{12, 21\} $. Само у K: 10, 11; само у L: 22, 20.$ K \cup L = \{10, 11, 12, 20, 21, 22\} $\(...

Задатак 3. Одреди $ A \cap B $, $ A \cup B $, $ A \setminus B $ и $ B \setminus A $ ако је: а) $ A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $ и $ B = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} $; б) $ A = \{5, 10, 15, 20\} $ и $ B = \{5, 15, 25\} $; в) $ A = \{2, 3, 5, 7\} $ и $ B = \{2, 4, 6, 8\} $; г) \( A = \{1,...

а) Корак 1: Пресек Пресек чине елементи који припадају и скупу $ A $ и скупу $ B $. То су бројеви $ 3, 4, 5 $ и $ 6 $. \[ A \cap B = \{3, 4, 5, 6\} \] Корак 2: Унија Унију чине сви елементи бар једног од скупова, при чему сваки заједнички елемент пишемо само једном. \[ A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \] Корак 3: Разлике Из скупа $ A $ изостављамо елементе који припадају и скупу $ B $ (то су $ 3, 4, 5, 6 $). \[ A \setminus B = \{1, 2\} \] Из скупа $ B $ изостављамо еле...

Задатак 4. Нека је $ A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} $. Одреди: а) $ A \cap N $, $ A \cup N $, $ A \setminus N $ и $ N \setminus A $; б) $ A \cap \varnothing $, $ A \cup \varnothing $, $ A \setminus \varnothing $ и $ \varnothing \setminus A $. Напомена. $ N = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\} $.

а) Корак 1: Скупови Скуп $ A $ садржи нулу, док скуп природних бројева $ N $ не садржи нулу: \[ A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}, \qquad N = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\} \] Корак 2: Пресек Пресек садржи елементе који припадају и скупу $ A $ и скупу $ N $. То су бројеви $ 1, 2, 3, 4, 5 $. Нула не припада скупу $ N $, па не улази у пресек. \[ A \cap N = \{1, 2, 3, 4, 5\} \] Корак 3: Унија Унија садржи све елементе бар једног од скупова, сваки по једном. Скуп $ N $ већ садржи бројеве \( 1, 2, 3...

Задатак 5. Одреди све природне бројеве $ x $ који задовољавају неједнакости: а) $ 41 < x + 34 \le 49 $; б) $ 151 \le x - 8 \le 161 $.

а) Корак 1: Растављамо двоструку неједначину Двоструку неједначину растављамо на две неједначине и тражимо пресек њихових скупова решења: \[ x + 34 > 41 \quad \text{и} \quad x + 34 \le 49 \] Корак 2: Решавамо прву неједначину Збир $ x + 34 $ је већи од 41, па је $ x $ веће од разлике $ 41 - 34 $: \[ x > 41 - 34 \] \[ x > 7 \] Скуп природних решења је бесконачан: $ \{8, 9, 10, 11, \dots\} $. Корак 3: Решавамо другу неједначину Збир $ x + 34 $ је мањи или једнак 49, па је $ x $ мање...

Скуповне операције

Најважније из лекције

Пресек ($ \cap $): Елементи који су и у једном и у другом скупу. (Заједнички елементи).
Унија ($ \cup $): Елементи који су у једном или у другом скупу. (Сви елементи заједно).
Разлика ($ \setminus $): Елементи који су у првом скупу, а нису у другом скупу. (Оно што остане кад се заједничко одузме од првог).

Пресек скупова $ A $ и $ B $ јесте скуп свих елемената који припадају и скупу $ A $ и скупу $ B $.

Ознака за пресек је $ A \cap B $.

\[ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\} \]

Венов дијаграм два скупа A и B који се делимично преклапају. Заједничка област у средини је обојена и представља пресек A ∩ B.

Својства пресека:

$ A \cap B = B \cap A $
Ако је један скуп подскуп другог ($ C \subset D $), онда је њихов пресек једнак мањем скупу: $ C \cap D = C $.

Дисјунктни скупови: За скупове чији је пресек празан скуп ($ E \cap F = \emptyset $) каже се да су дисјунктни. Они немају заједничких елемената.

Дати су скупови $ S = \{1, 4, 9, 16\} $ и $ T = \{6, 16, 26\} $.
Њихов пресек су елементи који се налазе у оба скупа: $ S \cap T = \{16\} $.

Унија скупова $ A $ и $ B $ јесте скуп свих елемената који припадају бар једном од скупова $ A $ или $ B $.

Ознака за унију је $ A \cup B $.

\[ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\} \]

Венов дијаграм два скупа A и B. Целокупна област оба скупа, укључујући и њихов пресек, обојена је и представља унију A ∪ B.

Својства уније:

$ A \cup B = B \cup A $
Ако је један скуп подскуп другог ($ C \subset D $), онда је њихова унија једнака већем скупу: $ C \cup D = D $.

Дати су скупови $ A = \{1, 2\} $ и $ B = \{2, 3, 4\} $.
Њихова унија обухвата све елементе из оба скупа (без понављања): $ A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} $.

Разлика скупова $ A $ и $ B $ јесте скуп свих елемената који припадају скупу $ A $, а не припадају скупу $ B $.

Ознака за разлику је $ A \setminus B $.

\[ A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\} \]

$Два Венова дијаграма. На првом је обојена само област скупа A која не припада скупу B (представља A \ B). На другом је обојена само област скупа B која не припада скупу A (представља B \ A).$

Својства разлике:

За разлику од пресека и уније, скупови $ A \setminus B $ и $ B \setminus A $ не морају бити једнаки.
Ако су скупови једнаки ($ A = B $), онда је $ A \setminus B = \emptyset $.
Ако је $ C \subset D $, онда је $ C \setminus D = \emptyset $ (јер су сви елементи из $ C $ већ у $ D $).
Ако су скупови дисјунктни ($ E \cap F = \emptyset $), тада уклањање елемената другог скупа ништа не мења: $ E \setminus F = E $.

Дати су скупови $ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $ и $ B = \{4, 5, 6\} $.
$ A \setminus B = \{1, 2, 3\} $ (елементи који су само у A).
$ B \setminus A = \{6\} $ (елементи који су само у B).

Задаци за вежбање

Лак: Дати су скупови $ A = \{5, 10, 15\} $ и $ B = \{10, 15, 20\} $. Одреди њихов пресек ($ A \cap B $) и унију ($ A \cup B $).

$ A \cap B = \{10, 15\} $ (заједнички елементи)
$ A \cup B = \{5, 10, 15, 20\} $ (сви елементи из оба скупа)

Средњи: Дати су скупови $ C = \{2, 4, 6, 8, 10\} $ и $ D = \{6, 8, 10, 12\} $. Одреди разлике скупова $ C \setminus D $ и $ D \setminus C $.

$ C \setminus D = \{2, 4\} $ (елементи који су у C, али нису у D)
$ D \setminus C = \{12\} $ (елементи који су у D, али нису у C)

Тежак: Дат је скуп $ S = \{1, 2, 3\} $ и скуп $ T = \{1, 2, 3, 4, 5\} $. Приметимо да је $ S \subset T $. Користећи правила за подскупове (без појединачног исписивања елемената), одреди чему су једнаки $ S \cap T $, $ S \cup T $ и $ S \setminus T $.

Пошто је $ S $ подскуп скупа $ T $:
$ S \cap T = S $ (пресек је мањи скуп)
$ S \cup T = T $ (унија је већи скуп)
$ S \setminus T = \emptyset $ (када из подскупа одузмемо шири скуп, не остаје ништа)

I.4. Скуповне операције

Изабери решење задатка:

а)

Корак 1: Скупови

Корак 2: Пресек

Корак 3: Унија

Корак 4: Разлика \( A \setminus N \)

Корак 5: Разлика \( N \setminus A \)

б)

Корак 1: Пресек

Корак 2: Унија

Корак 3: Разлика \( A \setminus \varnothing \)

Корак 4: Разлика \( \varnothing \setminus A \)

Кратак запис решења:

а)

б)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Детаљно решење

а)

Корак 1: Скупови

Корак 2: Пресек

Корак 3: Унија

Корак 4: Разлика \( A \setminus N \)

Корак 5: Разлика \( N \setminus A \)

б)

Корак 1: Пресек

Корак 2: Унија

Корак 3: Разлика \( A \setminus \varnothing \)

Корак 4: Разлика \( \varnothing \setminus A \)

Кратак запис решења:

а)

б)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: