Венови дијаграми и закључивање

Question 1

Задатак 1. У свакој од три истоветне кутије налази се по једна од три куглице различите боје: црвена, жута и плава. На првој кутији пише „овде није плава”, на другој кутији пише „овде није црвена”, а на трећој пише „овде није плава и није црвена”. Како су распоређене куглице?

Accepted Answer

Корак 1: Анализа података
Имамо три кутије (прва, друга и трећа) и три куглице (црвена, жута и плава). Свака кутија садржи тачно једну куглицу.
Дате су следеће изјаве које су тачне:
- 1. кутија: „овде није плава”
- 2. кутија: „овде није црвена”
- 3. кутија: „овде није плава и није црвена”

За решавање овог задатка користићемо табелу (матрицу) помоћу које ћемо искључивањем (елиминацијом) пронаћи тачан распоред.

Корак 2: Анализа треће кутије
Највише информација нам даје натпис на трећој кутији. Н...

Question 2

Задатак 2. Три друга, Влада, Дуле и Бане, тренирају различите спортове. Свако од њих тренира један од спортова: фудбал, кошарку или пливање. Одреди ко се бави којим спортом, ако се зна да су тачне следеће изјаве:
▶ Влада тренира пливање или кошарку.
▶ Бане не тренира фудбал и не тренира пливање.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа података
У задатку имамо три друга (Влада, Дуле и Бане) и три спорта (фудбал, кошарка и пливање). Познато је да сваки од њих тренира тачно један, различит спорт.
Дати су следећи услови:
1. Влада тренира пливање или кошарку.
2. Бане не тренира фудбал и не тренира пливање.

За решавање овог логичког задатка користићемо методу елиминације помоћу табеле.

Корак 2: Анализа другог услова (Бане)
Услов за Банета нам даје највише директних информација. Речено је да он не тренира фудбал и...

Question 3

Задатак 3. У Београду, Нишу и Крагујевцу живи по једна од другарица: Анка, Бранка и Данка. Анка и Бранка су дале следеће изјаве:
Анка: „Ја не живим у Београду.”
Бранка: „Ја живим у Крагујевцу.”
Где живе Анка, Бранка и Данка?

Accepted Answer

Корак 1: Анализа података
У задатку имамо три другарице (Анка, Бранка, Данка) и три града (Београд, Ниш, Крагујевац). Знамо да у сваком граду живи тачно једна особа. Дате су следеће изјаве:
- Анка: „Ја не живим у Београду.”
- Бранка: „Ја живим у Крагујевцу.”

За решавање ћемо користити табелу за логичко закључивање и елиминацију.

Корак 2: Анализа Бранкине изјаве
Бранка тврди: „Ја живим у Крагујевцу.” Ово је директна потврда. У табелу уписујемо + на пресеку Бранке и Крагујевца. Пошто у једном гр...

Question 4

Задатак 4. У петак ученици једног одељења треба да имају три часа: биологију, историју и математику. При састављању распореда ученици су изразили жеље: 1) да математика не буде последњи час; 2) да историја буде првог или трећег часа; 3) да биологија не буде првог часа. Како се све може саставити рас...

Accepted Answer

Корак 1: Анализа захтева и постављање модела
Ученици имају три предмета: биологију ($Б$), историју ($И$) и математику ($М$). Постоје три термина (часа): 1. час, 2. час и 3. час.
За решавање овог логичког задатка користићемо табелу (матрицу) за сваку могућу позицију историје, јер је за њу услов најконкретнији.
Услови су:
1) Математика није 3. час. ($М \neq 3$)
2) Историја је 1. или 3. час. ($И = 1$ или $И = 3$)
3) Биологија није 1. час. ($Б \neq 1$)

Корак 2: Анализа случаја када је...

Question 5

Задатак 5. Представи дијаграмом реченице.
а) Сваки сликар је уметник. Постоји уметник који није сликар.
б) Било који ној је птица. Неке птице нису нојеви.
в) Свака коцка је квадар. Постоји квадар који није коцка.

Accepted Answer

Корак 1: Разумевање Венових дијаграма за логичке исказе
Приликом графичког приказивања реченица помоћу Венових дијаграма, мањим кругом представљамо ужи појам (специјалан случај), док већим кругом представљамо шири појам (општије својство). Када исказ гласи „Сваки А је Б” или „Било који А је Б”, то значи да се цео скуп А налази унутар скупа Б. Додатне реченице („Постоји Б који није А” или „Неке Б нису А”) само нам потврђују да спољашњи скуп Б има и друге елементе ван скупа А.

а) Сваки сликар је...

Question 6

Задатак 6. Са десне стране је илустрована реченица „сваки природан број мањи од 5 мањи је и од 10”.
а) Ако је $ a $ природан број мањи од 5, упореди га са 10.
б) Ако је $ a $ природан број који није мањи од 10, упореди га са 5.

Accepted Answer

Анализа логичке реченице и скупова
Да бисмо решили овај задатак, прво морамо разумети однос скупова који је описан реченицом „сваки природан број мањи од 5 мањи је и од 10”. Ова тврдња нам говори да је скуп свих природних бројева мањих од 5 (назовимо га скуп $ A $) подскуп скупа свих природних бројева мањих од 10 (назовимо га скуп $ B $).
$$ A = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$
$$ B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} $$
Из реченице следи: Ако је $ a \in A $, онда је $ a \in B $. То записујемо као \( A...

Question 7

Задатак 7. На слици десно приказане су реченице:
▶ Сви лавови су мачке,
▶ Све мачке су месоједи.
а) Да ли су сви лавови месоједи?
б) Ако животиња није месојед, да ли може бити мачка?
в) Ако животиња није месојед, да ли може бити лав?
Образложи одговоре.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа Веновог дијаграма и односа скупова
На основу слике и датих реченица, можемо уочити хијерархију скупова. Реченица „Сви лавови су мачке” значи да је скуп лавова ($ L $) подскуп скупа мачака ($ M $), односно $ L \subset M $. Реченица „Све мачке су месоједи” значи да је скуп мачака ($ M $) подскуп скупа месоједа ($ S $), односно $ M \subset S $. Из овога закључујемо да је $ L \subset M \subset S $.

а) Да ли су сви лавови месоједи?
Корак 2: Закључивање на основу транзи...

Question 8

Задатак 8. Ана размишља кога да позове у позориште.
▶ Ако позовем Иву, зваћу и Уну.
▶ Ако позовем Уну, нећу звати Ању.
▶ Ако не позовем Ању, зваћу Миу.
Напослетку је позвала Иву. Кога ће још Ана позвати?

Accepted Answer

Корак 1: Анализа датих услова
У задатку су нам дати следећи логички услови (искази) који одређују кога ће Ана позвати у позориште:
1. $ \text{Ива} \implies \text{Уна} $ (Ако позове Иву, зваће и Уну).
2. $ \text{Уна} \implies \text{не Ања} $ (Ако позове Уну, неће звати Ању).
3. $ \text{не Ања} \implies \text{Миа} $ (Ако не позове Ању, зваће Миу).

Позната чињеница од које крећемо је да је Ана позвала Иву.

Корак 2: Први закључак на основу позване Иве
Користимо први услов: „Ако позовем Иву,...

Question 9

Задатак 9. Свака од три другарице, Лара, Сара и Тара, има бар један драги камен, црвени или зелени. Лара каже: „Ја немам камен исте боје као Сара.” Сара каже „Једна од нас има и црвени и зелени камен.” Тара каже: „Сара нема црвени камен.” Ако су све изјаве тачне, које драгуље има свака од другарица?

Accepted Answer

Корак 1: Анализа датих података
У задатку имамо три другарице: Лару, Сару и Тару. Свака од њих има бар један камен, а врсте драгуља су црвени ($C$) и зелени ($Z$). Могуће комбинације које једна особа може да има су:
- само црвени ($\{C\}$)
- само зелени ($\{Z\}$)
- и црвени и зелени ($\{C, Z\}$)

Дате су три изјаве које су тачне:
1. Лара: „Ја немам камен исте боје као Сара.”
2. Сара: „Једна од нас има и црвени и зелени камен.”
3. Тара: „Сара нема црвени камен.”

Корак 2: Анализа Тарине...

Question 10

Задатак 10. У једном одељењу сваки ученик учи шпански или француски. Њих 20 учи шпански, 17 учи француски, а 7 учи оба језика. Колико ученика има у овом одељењу?

Accepted Answer

1. Идентификација скупова
На основу текста задатка, уочавамо два скупа ученика у одељењу:
- Скуп $ \text{Ш} $: ученици који уче шпански језик. Број елемената овог скупа је $ n(\text{Ш}) = 20 $.
- Скуп $ \text{Ф} $: ученици који уче француски језик. Број елемената овог скупа је $ n(\text{Ф}) = 17 $.
- Пресек скупова $ \text{Ш} \cap \text{Ф} $: ученици који уче оба језика. Број ових ученика је $ 7 $.

2. Цртање Веновог дијаграма
За лакше решавање задатка, користимо Венов дијаграм који...

Question 11

Задатак 11. Маја и Лука су одлучили да заједно славе рођендан. Маја је позвала 17 гостију, а Лука 12. Ако су 6 истих гостију позвали и Маја и Лука, колико је укупно гостију позвано?

Accepted Answer

Уочавање скупова
На основу текста задатка, можемо дефинисати два скупа:
- Скуп $ M $: гости које је позвала Маја. Број елемената овог скупа је $ |M| = 17 $.
- Скуп $ L $: гости које је позвао Лука. Број елемената овог скупа је $ |L| = 12 $.
- Заједнички гости припадају пресеку скупова $ M \cap L $. Њихов број је $ |M \cap L| = 6 $.

Цртање Веновог дијаграма
Нацртаћемо два круга који се преклапају. Леви круг представља Мајине госте ($ M $), а десни Лукине госте ($ L $).
Нацртати д...

I.5. Венови дијаграми и закључивање

Изабери решење задатка:

а)

б)

в)

Корак 1: Разумевање Венових дијаграма за логичке исказе

а) Сваки сликар је уметник. Постоји уметник који није сликар.

Корак 2: Представљање првог исказа

б) Било који ној је птица. Неке птице нису нојеви.

Корак 3: Представљање другог исказа

в) Свака коцка је квадар. Постоји квадар који није коцка.

Корак 4: Представљање трећег исказа

Кратак запис решења:

а)

б)

в)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста