Венови дијаграми и закључивање

Question 1

Задатак 1. У свакој од три истоветне кутије налази се по једна од три куглице различите боје: црвена, жута и плава. На првој кутији пише „овде није плава”, на другој кутији пише „овде није црвена”, а на трећој пише „овде није плава и није црвена”. Како су распоређене куглице?

Accepted Answer

Корак 1: Записујемо услове

Свака кутија садржи тачно једну куглицу, а све три куглице су различите боје. Натписи на кутијама су:

$$ \text{1. кутија: није плава} $$
$$ \text{2. кутија: није црвена} $$
$$ \text{3. кутија: није плава и није црвена} $$

Корак 2: Уписујемо у табелу оно што знамо

Знаком - означавамо немогуће, а знаком + могуће и потврђено. Прво уписујемо минусе на основу натписа.

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{црвена} & \text{жута} & \text{плава} \ \hline \text{1. кут...

Question 2

Задатак 2. Три друга, Влада, Дуле и Бане, тренирају различите спортове. Свако од њих тренира један од спортова: фудбал, кошарку или пливање. Одреди ко се бави којим спортом, ако се зна да су тачне следеће изјаве:
▶ Влада тренира пливање или кошарку.
▶ Бане не тренира фудбал и не тренира пливање.

Accepted Answer

Корак 1. Записујемо услове
Три друга су Влада, Дуле и Бане. Спортови су фудбал, кошарка и пливање, и сваки друг тренира тачно један спорт.

Дате изјаве су:

Влада тренира пливање или кошарку, па Влада не тренира фудбал.
Бане не тренира фудбал и не тренира пливање.

Корак 2. Цртамо табелу
У табелу уписујемо знак - за немогуће и знак + за потврђено упаривање.

Из прве изјаве следи да Влада не тренира фудбал. Из друге изјаве следи да Бане не тренира фудбал и не тренира пливање.

\[ \begin{array}{|...

Question 3

Задатак 3. У Београду, Нишу и Крагујевцу живи по једна од другарица: Анка, Бранка и Данка. Анка и Бранка су дале следеће изјаве:
Анка: „Ја не живим у Београду.”
Бранка: „Ја живим у Крагујевцу.”
Где живе Анка, Бранка и Данка?

Accepted Answer

Корак 1. Записујемо податке

Градови су Београд, Ниш и Крагујевац. Девојке су Анка, Бранка и Данка. Свака девојка живи у једном граду и у сваком граду живи тачно једна од њих.

Претпостављамо да су обе изјаве тачне:

$ \text{Анка: не живи у Београду} $

$ \text{Бранка: живи у Крагујевцу} $

Корак 2. Цртамо табелу и уписујемо изјаве

Знак $ + $ значи да девојка живи у том граду, а знак $ - $ да не живи.

Анка не живи у Београду, па у поље за Анку и Београд уписујемо $ - $.

Бранка живи...

Question 4

Задатак 4. У петак ученици једног одељења треба да имају три часа: биологију, историју и математику. При састављању распореда ученици су изразили жеље: 1) да математика не буде последњи час; 2) да историја буде првог или трећег часа; 3) да биологија не буде првог часа. Како се све може саставити рас...

Accepted Answer

Корак 1. Записујемо жеље ученика

Имамо три часа и три предмета: биологију, историју и математику. Жеље су:

1) математика није трећи час;
2) историја је први или трећи час;
3) биологија није први час.

Корак 2. Цртамо табелу и уписујемо знак „−“ за немогуће случајеве

Из жеље 1) следи да математика није на трећем часу. Из жеље 3) следи да биологија није на првом часу. Из жеље 2) следи да историја није на другом часу.

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & 1.\ \text{час} & 2.\ \text{час} & 3.\ \t...

Question 5

Задатак 5. Представи дијаграмом реченице.
а) Сваки сликар је уметник. Постоји уметник који није сликар.
б) Било који ној је птица. Неке птице нису нојеви.
в) Свака коцка је квадар. Постоји квадар који није коцка.

Accepted Answer

Корак 1: Препознајемо однос међу скуповима
Реч сваки (или било који) значи да је један скуп цео садржан у другом. Мањи скуп је подскуп већег скупа.

Реченице „Постоји ... који није ...” и „Неке ... нису ...” кажу да већи скуп има и елемената који не припадају мањем скупу. Зато мањи круг не прекрива цео већи круг.

Све три задате групе реченица имају исту структуру, па их приказујемо истим типом дијаграма.

Корак 2: Цртамо дијаграме
За све делове задатка (а, б, в) цртамо исти тип Веновог дијаграм...

Question 6

Задатак 6. Са десне стране је илустрована реченица „сваки природан број мањи од 5 мањи је и од 10”.
а) Ако је $ a $ природан број мањи од 5, упореди га са 10.
б) Ако је $ a $ природан број који није мањи од 10, упореди га са 5.

Accepted Answer

а)
Корак 1: Пишемо везу међу скуповима
Из реченице „сваки природан број мањи од 5 мањи је и од 10" закључујемо да је скуп бројева мањих од 5 унутар скупа бројева мањих од 10. То можемо записати и у облику „Ако је број мањи од 5, онда је мањи и од 10".

Корак 2: Закључујемо за број $ a $
Знамо да је тачно да је $ a $ мањи од 5, односно:
$$ a < 5 $$
Тада мора бити тачно и да је $ a $ мањи од 10.
$$ a < 10 $$

б)
Корак 1: Користимо исту реченицу
Реченица „Ако је број мањи од 5, онда је мањи и...

Question 7

Задатак 7. На слици десно приказане су реченице:
▶ Сви лавови су мачке,
▶ Све мачке су месоједи.
а) Да ли су сви лавови месоједи?
б) Ако животиња није месојед, да ли може бити мачка?
в) Ако животиња није месојед, да ли може бити лав?
Образложи одговоре.

Accepted Answer

Дијаграм са слике већ приказује односе између скупова, па га не цртамо поново. Најмањи скуп су лавови, они су унутар скупа мачака, а мачке су унутар скупа месоједа:
$$ \text{лавови} \subset \text{мачке} \subset \text{месоједи} $$

а)

Корак 1: Читамо дијаграм

Реч сви значи да је један скуп цео садржан у другом. Сви лавови су мачке, па је скуп лавова унутар скупа мачака.

Све мачке су месоједи, па је скуп мачака унутар скупа месоједа.

Корак 2: Закључујемо

Скуп лавова је унутар скупа мачака, а...

Question 8

Задатак 8. Ана размишља кога да позове у позориште.
▶ Ако позовем Иву, зваћу и Уну.
▶ Ако позовем Уну, нећу звати Ању.
▶ Ако не позовем Ању, зваћу Миу.
Напослетку је позвала Иву. Кога ће још Ана позвати?

Accepted Answer

Корак 1. Записујемо услове

Изјаве записујемо помоћу стрелица (знак $ \implies $ читамо „следи”):

$$ \text{позвана Ива} \implies \text{позвана Уна} $$

$$ \text{позвана Уна} \implies \text{није позвана Ања} $$

$$ \text{није позвана Ања} \implies \text{позвана Миа} $$

Знамо да је Ана позвала Иву.

Корак 2. Пратимо ланац закључивања

Ако знамо да је тачно прво тврђење у изјави „Ако ..., онда ...”, онда мора бити тачно и друго.

Ана је позвала Иву, па на основу прве изјаве закључујемо да је по...

Question 9

Задатак 9. Свака од три другарице, Лара, Сара и Тара, има бар један драги камен, црвени или зелени. Лара каже: „Ја немам камен исте боје као Сара.” Сара каже „Једна од нас има и црвени и зелени камен.” Тара каже: „Сара нема црвени камен.” Ако су све изјаве тачне, које драгуље има свака од другарица?

Accepted Answer

Корак 1: Уводимо ознаке
Са $ Р $ означавамо скуп оних које имају црвени камен, а са $ З $ скуп оних које имају зелени камен.

Свака другарица има бар један камен, па све три припадају унији $ Р \cup З $.

Корак 2: Цртамо Венов дијаграм
Нацртати два круга који се секу: леви круг $ Р $ (црвени камен) и десни круг $ З $ (зелени камен). Уписати три дела: $ Р \setminus З $ (само црвени), $ Р \cap З $ (пресек, и црвени и зелени) и $ З \setminus Р $ (само зелени). Лару, Сару и Тару смеш...

Question 10

Задатак 10. У једном одељењу сваки ученик учи шпански или француски. Њих 20 учи шпански, 17 учи француски, а 7 учи оба језика. Колико ученика има у овом одељењу?

Accepted Answer

Корак 1: Означавање скупова
Са $ S $ означавамо скуп ученика који уче шпански, а са $ F $ скуп ученика који уче француски.

Знамо да је $ 20 $ ученика у скупу $ S $, $ 17 $ ученика у скупу $ F $, а $ 7 $ ученика уче оба језика, односно припадају пресеку $ S \cap F $.

Корак 2: Венов дијаграм
Нацртај два круга који се преклапају. Леви круг означи са S (шпански), десни са F (француски). У пресечни део (средњи део) упиши број 7. У леви део (део S који не садржи F) упиши 13 (јер је 2...

Question 11

Задатак 11. Маја и Лука су одлучили да заједно славе рођендан. Маја је позвала 17 гостију, а Лука 12. Ако су 6 истих гостију позвали и Маја и Лука, колико је укупно гостију позвано?

Accepted Answer

Корак 1: Уочавамо скупове

Са $ M $ означавамо скуп Мајиних гостију, а са $ L $ скуп Лукиних гостију.

Заједнички гости припадају пресеку $ Z = M \cap L $. Њих има 6.

Сви позвани гости чине унију $ G = M \cup L $.

Корак 2: Уписујемо број заједничких гостију у Венов дијаграм

Дијаграм из задатка попуњавамо бројевима. Заједничких гостију има 6, па тај број уписујемо у област пресека.

Нацртати два круга који се секу. Леви круг означити са M, а десни са L. У заједнички део (пресек) уписат...

I.5. Венови дијаграми и закључивање

Изабери решење задатка:

Корак 1: Уводимо ознаке

Корак 2: Цртамо Венов дијаграм

Корак 3: Анализирамо Тарину изјаву

Корак 4: АнализирамоЛарину изјаву

Корак 5: Анализирамо Сарину изјаву

Корак 6: Проверавамо

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста