I.7. Дељење са остатком

Да бисмо решили овај задатак, прво морамо да одредимо границе интервала унутар кога тражимо бројеве. Како се у задатку траже бројеви "прве стотине", а напомена каже да је 1 најмањи број прве стотине, наш интервал је од 1 до 100, односно важи \( 1 \le x \le 100 \).

а) остатак 1

Одређивање општег облика

Бројеве који при дељењу са 5 дају остатак 1 можемо записати у општем облику као \( 5 \cdot q + 1 \), где је \( 5 \) делилац, \( 1 \) остатак, а \( q \) непознати количник (\( q \in \mathbb{N}_0 \)).

Највећи количник и највећи број

Да бисмо пронашли највећи могући количник (\( q_{max} \)), одузимамо остатак 1 од горње границе интервала (100): \[ 100 - 1 = 99 \] Добијену разлику делимо са 5: \[ 99 : 5 = 19 \text{ (остатак 4)} \] Када занемаримо остатак, добијамо да је највећи количник \( q_{max} = 19 \). Највећи тражени број у првој стотини добијамо када овај количник убацимо у општи облик: \[ 5 \cdot 19 + 1 = 95 + 1 = 96 \]

Најмањи количник и најмањи број

Како је доња граница (1) једнака остатку (1), најмањи могући количник је \( q_{min} = 0 \), а најмањи тражени број је сам остатак: \[ 5 \cdot 0 + 1 = 1 \]

Пребројавање бројева

Низ свих тражених бројева добијамо навођењем њихових облика за све вредности количника \( q \) од 0 до 19 (\( 0 \le q \le 19 \)): \[ 5 \cdot 0 + 1, 5 \cdot 1 + 1, 5 \cdot 2 + 1, \dots, 5 \cdot 19 + 1 \] Укупан број ових бројева израчунавамо по формули \( q_{max} - q_{min} + 1 \): \[ 19 - 0 + 1 = 20 \]

б) остатак 3

Одређивање општег облика

Бројеве који при дељењу са 5 дају остатак 3 записујемо у облику \( 5 \cdot q + 3 \).

Највећи количник и највећи број

Одузимамо остатак 3 од горње границе интервала (100): \[ 100 - 3 = 97 \] Делимо разлику са 5: \[ 97 : 5 = 19 \text{ (остатак 2)} \] Највећи количник је \( q_{max} = 19 \). Највећи тражени број је: \[ 5 \cdot 19 + 3 = 95 + 3 = 98 \]

Најмањи количник и најмањи број

Како је доња граница (1) мања од остатка (3), најмањи могући количник је \( q_{min} = 0 \), а најмањи тражени број је: \[ 5 \cdot 0 + 3 = 3 \]

Пребројавање бројева

Низ свих тражених бројева за количник \( 0 \le q \le 19 \) је: \[ 5 \cdot 0 + 3, 5 \cdot 1 + 3, 5 \cdot 2 + 3, \dots, 5 \cdot 19 + 3 \] Укупан број ових бројева је: \[ 19 - 0 + 1 = 20 \]

в) остатак 4

Одређивање општег облика

Бројеве који при дељењу са 5 дају остатак 4 записујемо у облику \( 5 \cdot q + 4 \).

Највећи количник и највећи број

Одузимамо остатак 4 од горње границе (100): \[ 100 - 4 = 96 \] Делимо разлику са 5: \[ 96 : 5 = 19 \text{ (остатак 1)} \] Највећи количник је \( q_{max} = 19 \). Највећи тражени број је: \[ 5 \cdot 19 + 4 = 95 + 4 = 99 \]

Најмањи количник и најмањи број

Како је доња граница (1) мања од остатка (4), најмањи количник је \( q_{min} = 0 \), а најмањи број је: \[ 5 \cdot 0 + 4 = 4 \]

Пребројавање бројева

Низ свих тражених бројева за количник \( 0 \le q \le 19 \) је: \[ 5 \cdot 0 + 4, 5 \cdot 1 + 4, 5 \cdot 2 + 4, \dots, 5 \cdot 19 + 4 \] Укупан број ових бројева је: \[ 19 - 0 + 1 = 20 \]

г) остатак 0

Одређивање општег облика

Бројеве који при дељењу са 5 дају остатак 0 (односно који су дељиви са 5) записујемо у облику \( 5 \cdot q + 0 \), што можемо краће записати као \( 5 \cdot q \).

Највећи количник и највећи број

Одузимамо остатак 0 од горње границе (100): \[ 100 - 0 = 100 \] Делимо разлику са 5: \[ 100 : 5 = 20 \] Највећи количник је \( q_{max} = 20 \). Највећи тражени број је: \[ 5 \cdot 20 = 100 \]

Најмањи количник и најмањи број

Доња граница интервала је 1. Како се у задатку траже искључиво природни бројеви прве стотине, а остатак је 0, најмањи могући количник не може бити 0 (јер бисмо добили број \( 5 \cdot 0 = 0 \), који није у интервалу). Зато је најмањи количник \( q_{min} = 1 \). Најмањи тражени број је: \[ 5 \cdot 1 = 5 \]

Пребројавање бројева

Низ свих тражених бројева за количник \( 1 \le q \le 20 \) је: \[ 5 \cdot 1, 5 \cdot 2, 5 \cdot 3, \dots, 5 \cdot 20 \] Укупан број ових бројева је: \[ 20 - 1 + 1 = 20 \]

а)

\[ 1 \le 5 \cdot q + 1 \le 100 \] \[ 0 \le q \le 19 \Rightarrow 20 \text{ бројева} \]

б)

\[ 1 \le 5 \cdot q + 3 \le 100 \] \[ 0 \le q \le 19 \Rightarrow 20 \text{ бројева} \]

в)

\[ 1 \le 5 \cdot q + 4 \le 100 \] \[ 0 \le q \le 19 \Rightarrow 20 \text{ бројева} \]

г)

\[ 1 \le 5 \cdot q \le 100 \] \[ 1 \le q \le 20 \Rightarrow 20 \text{ бројева} \]