Најважније из лекције
Увек важи једнакост \( a = q \cdot b + r \), где је дељеник једнак производу количника и делиоца, увећаном за остатак.
Најважније правило код дељења са остатком је да остатак увек мора бити ненагативан и мањи од делиоца (\( 0 \leq r < b \)).
Број могућих остатака при дељењу са бројем \( n \) увек износи тачно \( n \), а то су бројеви од \( 0 \) до \( n-1 \).
Најважније правило код дељења са остатком је да остатак увек мора бити ненагативан и мањи од делиоца (\( 0 \leq r < b \)).
Број могућих остатака при дељењу са бројем \( n \) увек износи тачно \( n \), а то су бројеви од \( 0 \) до \( n-1 \).
За било које природне бројеве \( a \) и \( b \), постоји највећи број \( q \) (који је природан број или једнак 0) такав да је \( qb \leq a \). Разлика између \( a \) и \( qb \) представља остатак.
\[ a = q \cdot b + r, \quad 0 \leq r < b \]
\( a \) – дељеник, \( b \) – делилац, \( q \) – количник, \( r \) – остатак.
Остатак \( r \) увек мора бити већи или једнак нули, али строго мањи од делиоца \( b \).
Ако имамо 500 динара и једна свеска кошта 80 динара, колико свезака можемо купити?
Тражимо највећи број \( q \) тако да је \( q \cdot 80 \leq 500 \).
Како је \( 6 \cdot 80 = 480 < 500 \), а \( 7 \cdot 80 = 560 > 500 \), највећи количник је 6. Можемо купити 6 свезака.
Остатак (кусур) је \( 500 - 480 = 20 \) динара. Записујемо: \( 500 = 6 \cdot 80 + 20 \).
Тражимо највећи број \( q \) тако да је \( q \cdot 80 \leq 500 \).
Како је \( 6 \cdot 80 = 480 < 500 \), а \( 7 \cdot 80 = 560 > 500 \), највећи количник је 6. Можемо купити 6 свезака.
Остатак (кусур) је \( 500 - 480 = 20 \) динара. Записујемо: \( 500 = 6 \cdot 80 + 20 \).
Ако је делилац \( n > 1 \), могући остаци при дељењу бројева са \( n \) припадају скупу \( \{0, 1, 2, \dots, n - 1\} \).
Најпознатији пример је дељење са 2, према којем се сви бројеви деле на парне и непарне:
- Парни бројеви: При дељењу са 2 дају остатак 0. Сваки паран број се може записати у облику \( 2q \).
- Непарни бројеви: При дељењу са 2 дају остатак 1. Сваки непаран број се може записати у облику \( 2q + 1 \).
Остаци при дељењу било ког броја са 5 могу бити само из скупа \( \{0, 1, 2, 3, 4\} \). Немогуће је добити остатак 5 или већи при дељењу са 5.
Сви бројеви који при дељењу са бројем \( b \) дају остатак \( r \), могу се записати у општем облику \( b \cdot q + r \), где је \( q \) природан број или нула.
Колико има бројева у првој стотини (од 1 до 100) који при дељењу са 5 дају остатак 2?
Сви такви бројеви су облика \( 5q + 2 \).
За \( q = 0 \), најмањи такав број је \( 5 \cdot 0 + 2 = 2 \).
Највећи такав број у првој стотини је 97, јер је \( 19 \cdot 5 + 2 = 97 \).
Вредности за \( q \) иду од 0 до 19, што значи да укупно постоји 20 таквих бројева.
Сви такви бројеви су облика \( 5q + 2 \).
За \( q = 0 \), најмањи такав број је \( 5 \cdot 0 + 2 = 2 \).
Највећи такав број у првој стотини је 97, јер је \( 19 \cdot 5 + 2 = 97 \).
Вредности за \( q \) иду од 0 до 19, што значи да укупно постоји 20 таквих бројева.
Задаци за вежбање
Лак задатак: Одреди количник и остатак при дељењу броја 45 са 7.
Тражимо највећи број који помножен са 7 даје резултат мањи или једнак 45.
\( 6 \cdot 7 = 42 \)
Разлика до 45 је остатак: \( 45 - 42 = 3 \).
Одговор: Количник је 6, а остатак је 3. Записујемо \( 45 = 6 \cdot 7 + 3 \).
\( 6 \cdot 7 = 42 \)
Разлика до 45 је остатак: \( 45 - 42 = 3 \).
Одговор: Количник је 6, а остатак је 3. Записујемо \( 45 = 6 \cdot 7 + 3 \).
Средњи задатак: Одреди број који при дељењу са 35 даје количник 52 и остатак 10.
Користимо формулу за дељење са остатком: \( a = q \cdot b + r \).
Познато нам је: делилац \( b = 35 \), количник \( q = 52 \) и остатак \( r = 10 \).
\( a = 52 \cdot 35 + 10 \)
\( a = 1820 + 10 \)
\( a = 1830 \)
Одговор: Тражени број је 1830.
Познато нам је: делилац \( b = 35 \), количник \( q = 52 \) и остатак \( r = 10 \).
\( a = 52 \cdot 35 + 10 \)
\( a = 1820 + 10 \)
\( a = 1830 \)
Одговор: Тражени број је 1830.
Тежак задатак: Колико има бројева у првој педесетици (од 1 до 50) који при дељењу са 4 дају остатак 3?
Сви бројеви који при дељењу са 4 дају остатак 3 могу се записати у облику \( 4q + 3 \).
Проверавамо за које вредности \( q \) (почевши од 0) су ови бројеви мањи или једнаки 50:
За \( q = 0 \): \( 4 \cdot 0 + 3 = 3 \)
Тражимо највећи: \( 4 \cdot 11 = 44 \), па је \( 44 + 3 = 47 \) (јер би за \( q=12 \) број био \( 48+3=51 \), што је преко 50).
Дакле, \( q \) узима све вредности из скупа \( \{0, 1, 2, \dots, 11\} \).
Одговор: Укупно има 12 таквих бројева.
Проверавамо за које вредности \( q \) (почевши од 0) су ови бројеви мањи или једнаки 50:
За \( q = 0 \): \( 4 \cdot 0 + 3 = 3 \)
Тражимо највећи: \( 4 \cdot 11 = 44 \), па је \( 44 + 3 = 47 \) (јер би за \( q=12 \) број био \( 48+3=51 \), што је преко 50).
Дакле, \( q \) узима све вредности из скупа \( \{0, 1, 2, \dots, 11\} \).
Одговор: Укупно има 12 таквих бројева.
