Најважније из лекције
Кључни појмови дељивости:
• Број \( a \) је дељив бројем \( b \) (\( b \mid a \)) ако је при дељењу остатак нула (\( a = b \cdot q \)).
• Ако \( b \mid a \), тада је \( b \) делилац броја \( a \), а \( a \) је садржалац броја \( b \).
• Скуп делилаца \( D_n \): Коначан скуп. Увек садржи број 1 (најмањи) и број \( n \) (највећи). Пример: \( D_8 = \{1, 2, 4, 8\} \).
• Скуп садржалаца \( S_n \): Бесконачан скуп. Најмањи је сам број \( n \). Добија се множењем броја \( n \) природним бројевима. Пример: \( S_8 = \{8, 16, 24, 32, ...\} \).
• Број \( a \) је дељив бројем \( b \) (\( b \mid a \)) ако је при дељењу остатак нула (\( a = b \cdot q \)).
• Ако \( b \mid a \), тада је \( b \) делилац броја \( a \), а \( a \) је садржалац броја \( b \).
• Скуп делилаца \( D_n \): Коначан скуп. Увек садржи број 1 (најмањи) и број \( n \) (највећи). Пример: \( D_8 = \{1, 2, 4, 8\} \).
• Скуп садржалаца \( S_n \): Бесконачан скуп. Најмањи је сам број \( n \). Добија се множењем броја \( n \) природним бројевима. Пример: \( S_8 = \{8, 16, 24, 32, ...\} \).
Ако је остатак при дељењу броја \( a \) са \( b \) (\( b \neq 0 \)) једнак нули, кажемо да се \( a \) може поделити са \( b \) без остатка.
Број \( a \) из \( \mathbb{N}_0 \) је дељив природним бројем \( b \) ако постоји \( q \) из \( \mathbb{N}_0 \) такав да је \( a = b \cdot q \).
Дељивост је релација међу бројевима:
- \( b \le a \iff a = b + c \), за неко \( c \) из \( \mathbb{N}_0 \)
- \( b \mid a \iff a = b \cdot q \), за неко \( q \) из \( \mathbb{N}_0 \)
Дељење (\( a : b \)) је израз чија вредност може бити број или недефинисана. Дељивост (\( b \mid a \)) је исказ (релација) који може бити тачан или нетачан.
\( b \mid a \) читамо као "\( b \) дели \( a \)" или "\( a \) је дељиво са \( b \)".
\( b \nmid a \) читамо као "\( b \) не дели \( a \)".
Ако \( b \mid a \), онда је \( b \) делилац броја \( a \), а број \( a \) је садржалац броја \( b \).
Да ли су следећи искази тачни: а) \( 7 \mid 42 \) б) \( 8 \mid 20 \)?
а) Тачно, јер је \( 42 = 7 \cdot 6 \) (нема остатка). 7 је делилац броја 42.
б) Нетачно, јер \( 20 : 8 = 2 \) са остатком 4. Пишемо \( 8 \nmid 20 \).
б) Нетачно, јер \( 20 : 8 = 2 \) са остатком 4. Пишемо \( 8 \nmid 20 \).
Скуп свих делилаца броја \( n \) означавамо са \( D_n \).
За скупове делилаца важи:
- Скуп \( D_n \) је коначан.
- За било који делилац \( d \) важи: \( 1 \le d \le n \).
- Најмањи делилац било ког природног броја \( n \) је 1 (\( 1 \mid n \)).
- Највећи делилац броја \( n \) је сам број \( n \) (\( n \mid n \)).
Одреди скуп свих делилаца броја 12.
Број 12 је дељив без остатка са 1, 2, 3, 4, 6 и 12.
\( D_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \)
\( D_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \)
Скуп свих природних садржалаца броја \( n \) означавамо са \( S_n \).
За скупове садржалаца важи:
- Скуп \( S_n \) је бесконачан.
- Најмањи природни садржалац било ког природног броја \( n \) јесте \( n \).
- Највећи садржалац не постоји.
Број 0 је садржалац сваког природног броја (\( 0 = n \cdot 0 \)), али се најчешће узимају у обзир само они садржаоци који су природни бројеви.
Када скуп има бесконачно много елемената, наводи се првих неколико и пишу се три тачке.
Када скуп има бесконачно много елемената, наводи се првих неколико и пишу се три тачке.
Садржаоци броја 6 су сви бројеви облика \( 6q \) за неко \( q \in \mathbb{N} \).
\[ S_6 = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, ...\} \]
\[ S_6 = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, ...\} \]
Задаци за вежбање
Лак: Који од следећих исказа су тачни?
а) \( 9 \mid 18 \)
б) \( 25 \mid 75 \)
в) \( 7 \mid 37 \)
а) \( 9 \mid 18 \)
б) \( 25 \mid 75 \)
в) \( 7 \mid 37 \)
а) Тачно (\( 18 = 9 \cdot 2 \))
б) Тачно (\( 75 = 25 \cdot 3 \))
в) Нетачно (\( 37 = 7 \cdot 5 + 2 \), остатак је 2)
б) Тачно (\( 75 = 25 \cdot 3 \))
в) Нетачно (\( 37 = 7 \cdot 5 + 2 \), остатак је 2)
Средњи: Одреди скуп \( D_{28} \) (скуп свих делилаца броја 28).
Проверавамо који бројеви деле 28 без остатка.
\( 28 = 1 \cdot 28 \)
\( 28 = 2 \cdot 14 \)
\( 28 = 4 \cdot 7 \)
Дакле, скуп делилаца је: \( D_{28} = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\} \).
\( 28 = 1 \cdot 28 \)
\( 28 = 2 \cdot 14 \)
\( 28 = 4 \cdot 7 \)
Дакле, скуп делилаца је: \( D_{28} = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\} \).
Тежак: Одреди све двоцифрене природне бројеве који су садржаоци броја 24.
Садржаоци броја 24 се добијају множењем броја 24 природним бројевима:
\( 24 \cdot 1 = 24 \)
\( 24 \cdot 2 = 48 \)
\( 24 \cdot 3 = 72 \)
\( 24 \cdot 4 = 96 \)
\( 24 \cdot 5 = 120 \) (ово је троцифрен број).
Одговор: Двоцифрени садржаоци броја 24 су 24, 48, 72 и 96.
\( 24 \cdot 1 = 24 \)
\( 24 \cdot 2 = 48 \)
\( 24 \cdot 3 = 72 \)
\( 24 \cdot 4 = 96 \)
\( 24 \cdot 5 = 120 \) (ово је троцифрен број).
Одговор: Двоцифрени садржаоци броја 24 су 24, 48, 72 и 96.
