Кружница и круг

Question 1

Задатак 1. Нацртај у свесци знак Олимпијских игара, по узору на слику дату са десне стране. Напомена: Кружнице представљају континенте: Европу, Африку, Америку, Азију и Аустралију.

Accepted Answer

Анализа слике и припрема података
Прво, пажљиво ћемо погледати слику из задатка како бисмо одредили полупречник кружница и растојања између њихових центара. На слици видимо мрежу квадратића, а у доњем делу је стрелицама назначено да је страница једног малог квадратића дужине $ 5\text{ mm} $.

- Полупречник кружница: Ако пребројимо квадратиће од центра једне кружнице до њене ивице (на пример, по хоризонтали или вертикали), видећемо да полупречник износи тачно $ 3 $ квадратића.
\[ r = 3 \cdot...

Question 2

Задатак 2. Дата је кружница $k(O, 5 \text{ dm})$ и тачке $A$, $B$ и $C$ такве да је $OA = 48 \text{ cm}$, $OB = 6 \text{ dm}$ и $OC = 310 \text{ mm}$. Које од тачака $A$, $B$ и $C$ су унутрашње, а које спољашње?

Accepted Answer

Корак 1: Усклађивање мерних јединица
Да бисмо могли да упоредимо растојања тачака од центра кружнице са њеним полупречником, све дужине морају бити изражене у истој мерној јединици. Најзгодније је да све претворимо у центиметре ($ \text{cm} $).

Полупречник кружнице је дат у дециметрима:
$$ r = 5 \text{ dm} = 5 \cdot 10 \text{ cm} = 50 \text{ cm} $$

Растојања тачака од центра су:
Тачка $ A $: већ је у центиметрима, $ OA = 48 \text{ cm} $
Тачка $ B $: дата је у дециметрима, па је претвар...

Question 3

Задатак 3. Дате су четири колинеарне тачке $A$, $B$, $C$ и $D$ такве да је $A - B - C - D$. Који од следећих исказа су тачни: 1) $B \in K(A, AC)$; 2) $C \in K(A, AB)$; 3) $C \in K(B, BD)$; 4) $D \in K(C, CD)$?

Accepted Answer

Анализа распореда тачака
Дате су тачке $ A, B, C, D $ на истој правој у распореду $ A - B - C - D $. Из овог својства распореда закључујемо следеће односе између дужина дужи:

$ AB < AC < AD $
$ BC < BD $
$ CD < BD $

Испитивање припадности кругу
Подсетимо се: тачка $ T $ припада кругу $ K(O, r) $ ако је њено растојање од центра $ O $ мање или једнако полупречнику $ r $, односто ако је $ OT \leq r $.

Исказ 1) $ B \in K(A, AC) $
Центар круга је тачка $ A $, а полупречник...

Question 4

Задатак 4. Нацртај кружницу $k(O, 3 \text{ cm})$ и дуж $OA$ дужине $5 \text{ cm}$. 1) Ако је $B$ тачка кружнице најближа тачки $A$, одреди дужину дужи $AB$. 2) Ако је $C$ тачка кружнице најудаљенија од тачке $A$, одреди дужину дужи $AC$.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа положаја тачке и цртање скице
На основу датих података, имамо кружницу $ k(O, 3 \text{ cm}) $, што значи да је полупречник $ r = 3 \text{ cm} $. Дужина дужи $ OA = 5 \text{ cm} $ представља растојање тачке $ A $ од центра кружнице $ O $. Пошто је $ OA > r $ ($ 5 \text{ cm} > 3 \text{ cm} $), тачка $ A $ се налази изван кружнице.

Нацртај кружницу са центром у тачки О и полупречником 3 cm. Обележи тачку А која је удаљена 5 cm од тачке О. Повуци праву која пролази...

Question 5

Задатак 5. Најкраће растојање између тачке $A$ и неке тачке кружнице је $2 \text{ cm}$. Растојање тачке $A$ од центра кружнице је $5 \text{ cm}$. Колико је највеће растојање између тачке $A$ и неке тачке кружнице ако $A$ припада: 1) унутрашњости кружнице; 2) спољашности кружнице?

Accepted Answer

Корак 1: Анализа података
У задатку су нам дате две кључне информације:
- Растојање тачке $ A $ од центра кружнице $ O $ је $ d = OA = 5 \text{ cm} $.
- Најкраће растојање тачке $ A $ до неке тачке кружнице (означимо га са $ x $) износи $ 2 \text{ cm} $.

Најкраће и највеће растојање тачке од кружнице увек се налазе на правој која пролази кроз тачку $ A $ и центар $ O $.

Корак 2: Решавање за случај 1) - Тачка А је у унутрашњости кружнице
Ако је тачка $ A $ унутрашња тачка, нај...

Question 6

Задатак 6. Колико је највеће растојање између две тачке кружнице $k(O, 3 \text{ cm})$?

Accepted Answer

Корак 1: Разумевање појма највећег растојања на кружници
Растојање између било које две тачке на кружници представља дужину тетиве која их спаја. Из дефиниције кружнице знамо да је тетива дуж чије крајње тачке припадају тој кружници. Најдужа тетива кружнице је она која пролази кроз њен центар, а таква тетива се назива пречник.

Корак 2: Веза између пречника и полупречника
Пречник кружнице ($ d $) састоји се од два полупречника ($ r $) који леже на истој правој и имају заједничку тачку у цент...

Question 7

Задатак 7. Конструиши осенчену фигуру приказану на слици. 1) 2) 3) 4) 5)

Accepted Answer

Опште инструкције за цртање
Да бисмо конструисали фигуре са слике, потребно је да пажљиво пратимо ознаке испод сваке фигуре које нам говоре о дужини основице и центрима кругова. Све фигуре се цртају на хоризонталној правој на којој обележавамо тачке на међусобном растојању од по $ 1\text{ cm} $.
Нацртај хоризонталну праву и на њој означи пет тачака $ A, B, C, D $ и $ E $ тако да је растојање између сваке две суседне тачке тачно $ 1\text{ cm} $. Користићемо ове тачке као центре за шестар....

Question 8

Задатак 8. Испитај да ли се секу кружнице $k_1(O_1, 3 \text{ cm})$ и $k_2(O_2, 2 \text{ cm})$ ако је: 1) $O_1O_2 = 4 \text{ cm}$; 2) $O_1O_2 = 5 \text{ cm}$; 3) $O_1O_2 = 6 \text{ cm}$; 4) $O_1O_2 = 1 \text{ cm}$; 5) $O_1O_2 = 5 \text{ mm}$; 6) $O_1O_2 = 15 \text{ mm}$. У случајевима...

Accepted Answer

Припрема података
Да бисмо одредили међусобни положај две кружнице, потребно је да упоредимо растојање између њихових центара са збиром и разликом њихових полупречника.
Дати су полупречници кружница:
$$ r_1 = 3 \text{ cm} = 30 \text{ mm} $$
$$ r_2 = 2 \text{ cm} = 20 \text{ mm} $$

Израчунавамо збир и разлику полупречника јер ће нам те вредности помоћи у доношењу закључака:
$$ r_1 + r_2 = 3 \text{ cm} + 2 \text{ cm} = 5 \text{ cm} = 50 \text{ mm} $$
\[ r_1 - r_2 = 3 \text{ cm} - 2 \text{ cm} = 1...

Question 9

Задатак 9. Нацртај дуж $PQ = 3 \text{ cm}$. 1) Конструиши кружнице $k_1(P, PQ)$ и $k_2(Q, QP)$. 2) Једну од пресечних тачака конструисаних кружница обележи $A$. Одреди дужине дужи $AP$ и $AQ$.

Accepted Answer

Корак 1: Цртање дужи $ PQ $
Прво лењиром нацртамо дуж $ PQ $ чија је дужина тачно $ 3 \text{ cm} $. Ова дуж ће служити као полупречник за обе кружнице које треба да конструишемо.
1. Користи лењир да нацрташ дуж PQ чија је дужина 3 cm.
2. Постави центар шестара у тачку P и рашири га до тачке Q (полупречник је 3 cm). Нацртај кружницу k1(P, 3 cm).
3. Постави центар шестара у тачку Q и рашири га до тачке P (полупречник је 3 cm). Нацртај кружницу k2(Q, 3 cm).
4. Означи једну од пресечних тачака...

Question 10

Задатак 10. Нацртај кружницу $k(O, 3 \text{ cm})$ и изабери једну тачку $S$ у њеној спољашности. Конструиши кружницу са центром у тачки $S$ која кружницу $k(O, 3 \text{ cm})$ додирује споља.

Accepted Answer

Анализа задатка
Да би се две кружнице $ k_1(O, r_1) $ и $ k_2(S, r_2) $ додиривале споља, растојање између њихових центара $ d = OS $ мора бити једнако збиру њихових полупречника:
$$ OS = r_1 + r_2 $$
У овом задатку дата је кружница $ k(O, 3 \text{ cm}) $, што значи да је $ r_1 = 3 \text{ cm} $. Тачка $ S $ је изабрана у спољашности кружнице, па је $ OS > 3 \text{ cm} $. Да бисмо одредили полупречник $ r_2 $ нове кружнице са центром у $ S $, из претходне формуле следи:
\[ r_2 =...

Question 11

Задатак 11. Нацртај кружницу $k(O, 4 \text{ cm})$ и у њеној унутрашњости изабери неку тачку $U$ различиту од $O$. Конструиши кружницу са центром у тачки $U$ која кружницу $k(O, 4 \text{ cm})$ додирује изнутра.

Accepted Answer

Анализа задатка
Да би се две кружнице додиривале изнутра, растојање између њихових центара $ d $ мора бити једнако разлици њихових полупречника.
Нека је $ k(O, r_1) $ дата кружница са полупречником $ r_1 = 4 \text{ cm} $. Тражимо кружницу $ k_u(U, r_u) $ са центром у тачки $ U $ која је унутар кружнице $ k $.
Услов за унутрашње додиривање је:
$$ d = r_1 - r_u $$
где је $ d = OU $ растојање између центра $ O $ и тачке $ U $.
Из ове једначине можемо израчунати потребан полупречни...

Question 12

Задатак 12. Конструиши тетиву кружнице $k(O, 3 \text{ cm})$ дужине $2 \text{ cm}$.

Accepted Answer

Анализа задатка
Тетива кружнице је дуж чије крајње тачке припадају тој кружници. Да бисмо конструисали тетиву дате дужине $ a = 2 \text{ cm} $ унутар кружнице $ k(O, 3 \text{ cm}) $, потребно је да изаберемо једну тачку на кружници и од ње одмеримо растојање које одговара дужини тетиве до друге тачке на истој кружници.

Кораци конструкције
Процес конструкције изводимо на следећи начин:

1. **Цртање основне кружнице:** Користећи лењир, подесимо отвор шестара на $ 3 \text{ cm} $. Обележимо т...

Question 13

Задатак 13. Испитај да ли постоје тачке које су $3 \text{ cm}$ удаљене и од тачке $A$ и од тачке $B$ ако је: 1) $AB = 4 \text{ cm}$; 2) $AB = 6 \text{ cm}$; 3) $AB = 7 \text{ cm}$.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа проблема
Да бисмо пронашли тачке које су $ 3 \text{ cm} $ удаљене и од тачке $ A $ и од тачке $ B $, потребно је да посматрамо пресек две кружнице. Прва кружница $ k_1 $ има центар у тачки $ A $ и полупречник $ r_1 = 3 \text{ cm} $. Друга кружница $ k_2 $ има центар у тачки $ B $ и полупречник $ r_2 = 3 \text{ cm} $. Постојање таквих такава зависи од међусобног положаја ове две кружнице, што одређујемо поређењем растојања центара $ d = AB $ са збиром њихових...

Question 14

Задатак 14. Да ли се од дашчица чије су дужине $2 \text{ cm}$, $4 \text{ cm}$ и $9 \text{ cm}$ може саставити троугао? Образложи одговор.

Accepted Answer

Корак 1: Идентификација дужина страница
Дате су три дашчице чије су дужине:
$ a = 2 \text{ cm} $
$ b = 4 \text{ cm} $
$ c = 9 \text{ cm} $

Корак 2: Примена правила неједнакости троугла
Да би се од три дужи могао саставити троугао, мора бити испуњен основни услов неједнакости троугла: збир дужина било које две странице мора бити већи од дужине треће странице. 
Најједноставнији начин да ово проверимо јесте да упоредимо збир две краће странице са најдужом страницом.
У овом случају, краће стр...

II.5. Кружница и круг

Изабери решење задатка:

Анализа слике и припрема података

Одређивање положаја центара кружница

Кораци за конструкцију у свесци

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста