Кружница и круг

Question 1

Задатак 1. Нацртај у свесци знак Олимпијских игара, по узору на слику дату са десне стране. Напомена: Кружнице представљају континенте: Европу, Африку, Америку, Азију и Аустралију.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа слике
Знак Олимпијских игара чини пет кружница једнаког полупречника. Три кружнице су у горњем реду, а две у доњем. Кружнице у горњем реду се не додирују, а свака кружница доњег реда сече две суседне кружнице горњег реда.

Полупречник бирамо сами. Узимамо $ r = 1,5 \text{ cm} $. На мрежи са квадратићима странице $ 5 \text{ mm} $ то је $ 3 $ квадратића.

Корак 2: Одређивање центара
Најпре одређујемо центре кружница:

Центар $ O_1 $ горње леве кружнице бирамо произвољно.
Ц...

Question 2

Задатак 2. Дата је кружница $k(O, 5 \text{ dm})$ и тачке $A$, $B$ и $C$ такве да је $OA = 48 \text{ cm}$, $OB = 6 \text{ dm}$ и $OC = 310 \text{ mm}$. Које од тачака $A$, $B$ и $C$ су унутрашње, а које спољашње?

Accepted Answer

Корак 1: Усклађивање мерних јединица

Да бисмо поредили дужине, све их изражавамо у истој мерној јединици, у центиметрима.

Знамо да је $ 1\text{ dm} = 10\text{ cm} $ и $ 10\text{ mm} = 1\text{ cm} $.

$$ r = 5\text{ dm} = 5 \cdot 10\text{ cm} = 50\text{ cm} $$

$$ OB = 6\text{ dm} = 6 \cdot 10\text{ cm} = 60\text{ cm} $$

$$ OC = 310\text{ mm} = 310 : 10\text{ cm} = 31\text{ cm} $$

$$ OA = 48\text{ cm} $$

Корак 2: Поређење растојања од центра са полупречником

Тачка је унутрашња ако је ње...

Question 3

Задатак 3. Дате су четири колинеарне тачке $A$, $B$, $C$ и $D$ такве да је $A - B - C - D$. Који од следећих исказа су тачни: 1) $B \in K(A, AC)$; 2) $C \in K(A, AB)$; 3) $C \in K(B, BD)$; 4) $D \in K(C, CD)$?

Accepted Answer

Корак 1: Скица
Нацртати праву и на њој редом узети тачке $A$, $B$, $C$, $D$ (тачка $B$ је између $A$ и $C$, тачка $C$ је између $B$ и $D$). Шестаром нацртати кружницу $k(A, AC)$ са центром у $A$ која пролази кроз $C$. Тачка $B$ се налази унутар те кружнице.

Корак 2: Подсећање
Тачка $X$ припада кругу $K(O, r)$ ако је $OX \leq r$. То значи да је тачка или унутрашња ($OX < r$) или на кружници ($OX = r$).

Из распореда $A - B - C - D$ следи:
\[ AB < AC < AD \...

Question 4

Задатак 4. Нацртај кружницу $k(O, 3 \text{ cm})$ и дуж $OA$ дужине $5 \text{ cm}$. 1) Ако је $B$ тачка кружнице најближа тачки $A$, одреди дужину дужи $AB$. 2) Ако је $C$ тачка кружнице најудаљенија од тачке $A$, одреди дужину дужи $AC$.

Accepted Answer

Корак 1: Цртеж

1. Означи тачку $O$ као центар кружнице.
2. Помоћу шестара, са отвором од $3 \text{ cm}$, нацртај кружницу $k(O, 3 \text{ cm})$.
3. Нацртај полуправу са почетком у $O$ и означи тачку $A$ на њој, тако да је дужина $OA = 5 \text{ cm}$.
4. Означи тачку $B$ као пресек дужи $OA$ и кружнице $k$.
5. Означи тачку $C$ као пресек праве $OA$ и кружнице $k$, тако да је $O$ између $A$ и $C$.

Корак 2: Положај тачке $ A $ у односу на кружницу

Упоређујемо растој...

Question 5

Задатак 5. Најкраће растојање између тачке $A$ и неке тачке кружнице је $2 \text{ cm}$. Растојање тачке $A$ од центра кружнице је $5 \text{ cm}$. Колико је највеће растојање између тачке $A$ и неке тачке кружнице ако $A$ припада: 1) унутрашњости кружнице; 2) спољашности кружнице?

Accepted Answer

1) $A$ припада унутрашњости кружнице

Корак 1: Скица
Нацртамо дуж $OA$ дужине $5\text{ cm}$ и праву кроз тачке $O$ и $A$. Око центра $O$ нацртамо кружницу $k(O, 7\text{ cm})$, тако да тачка $A$ буде унутар кружнице. Права $OA$ сече кружницу у две тачке: тачка $P$ је са исте стране центра као $A$ (најближа тачка), а тачка $Q$ је са друге стране центра (најудаљенија тачка).

Корак 2: Одређујемо полупречник
Тачка $A$ је унутрашња, па је $OA < r$. Њено најкраће растојање...

Question 6

Задатак 6. Колико је највеће растојање између две тачке кружнице $k(O, 3 \text{ cm})$?

Accepted Answer

Корак 1: Које дужи посматрамо

Две тачке кружнице одређују тетиву. Растојање између тих тачака је дужина те тетиве. Најдужа тетива кружнице је њен пречник, па је највеће растојање између две тачке кружнице једнако пречнику.

Корак 2: Рачунање пречника

Пречник је два пута дужи од полупречника:
$$ d = 2r $$

Полупречник кружнице је $ r = 3 \text{ cm} $, па је:
$$ d = 2 \cdot 3 \text{ cm} = 6 \text{ cm} $$

Највеће растојање између две тачке кружнице $ k(O, 3 \text{ cm}) $ је \( 6 \text{ cm} \...

Question 7

Задатак 7. Конструиши осенчену фигуру приказану на слици. 1) 2) 3) 4) 5)

Accepted Answer

Све фигуре се састоје од полукружница и кружних лукова чији су центри на истој правој на растојању од $ 1\text{ cm} $. Зато у сваком делу прво цртамо праву са тачкама $ P_0, P_1, P_2, \dots $ на растојању од $ 1\text{ cm} $, а затим шестаром цртамо лукове.

1)

Корак 1: Права и тачке
Цртамо праву и на њој лењиром обележавамо тачке $ P_0, P_1, P_2, P_3, P_4 $ тако да је $ P_0P_1 = P_1P_2 = P_2P_3 = P_3P_4 = 1\text{ cm} $.

Корак 2: Полукружнице
Велика полукружница је лук кружнице \( k(P...

Question 8

Задатак 8. Испитај да ли се секу кружнице $k_1(O_1, 3 \text{ cm})$ и $k_2(O_2, 2 \text{ cm})$ ако је: 1) $O_1O_2 = 4 \text{ cm}$; 2) $O_1O_2 = 5 \text{ cm}$; 3) $O_1O_2 = 6 \text{ cm}$; 4) $O_1O_2 = 1 \text{ cm}$; 5) $O_1O_2 = 5 \text{ mm}$; 6) $O_1O_2 = 15 \text{ mm}$. У случајевима...

Accepted Answer

Корак 1: Збир и разлика полупречника

Полупречници су $ r_1 = 3 \text{ cm} $ и $ r_2 = 2 \text{ cm} $. Израчунаћемо њихов збир и разлику:

$$ r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5 \text{ cm} $$

$$ r_1 - r_2 = 3 - 2 = 1 \text{ cm} $$

Корак 2: Правило за упоређивање

Растојање центара $ d = O_1O_2 $ упоређујемо са бројевима $ 1 \text{ cm} $ и $ 5 \text{ cm} $:

ако је $ 1 < d < 5 $, кружнице се секу у две тачке;
ако је $ d = 5 $, кружнице се додирују споља (једна заједничка тачка);
ако је \( d =...

Question 9

Задатак 9. Нацртај дуж $PQ = 3 \text{ cm}$. 1) Конструиши кружнице $k_1(P, PQ)$ и $k_2(Q, QP)$. 2) Једну од пресечних тачака конструисаних кружница обележи $A$. Одреди дужине дужи $AP$ и $AQ$.

Accepted Answer

Корак 1: Цртање дужи и кружница

Лењиром цртамо дуж $ PQ $ дужине $ 3 \text{ cm} $. Затим шестаром цртамо обе кружнице и обележавамо једну пресечну тачку.

1. Користи лењир да нацрташ дуж PQ чија је дужина 3 cm.
2. Постави центар шестара у тачку P и рашири га до тачке Q (полупречник је 3 cm). Нацртај кружницу k1(P, 3 cm).
3. Постави центар шестара у тачку Q и рашири га до тачке P (полупречник је 3 cm). Нацртај кружницу k2(Q, 3 cm).
4. Означи једну од пресечних тачака кружница као A.
5. Нацрт...

Question 10

Задатак 10. Нацртај кружницу $k(O, 3 \text{ cm})$ и изабери једну тачку $S$ у њеној спољашности. Конструиши кружницу са центром у тачки $S$ која кружницу $k(O, 3 \text{ cm})$ додирује споља.

Accepted Answer

Корак 1: Цртамо дату кружницу

Лењиром отворимо шестар на $ 3 \text{ cm} $. Оштар крај шестара поставимо у тачку $ O $ и нацртамо кружницу $ k(O, 3 \text{ cm}) $.

Корак 2: Бирамо тачку $ S $

Тачка $ S $ мора бити у спољашности кружнице $ k $, па је $ OS > 3 \text{ cm} $. Изаберимо је, на пример, тако да је
$$ OS = 5 \text{ cm}. $$
Дуж $ OS $ спојимо лењиром.

Корак 3: Одређујемо полупречник нове кружнице

Две кружнице се додирују споља ако је растојање њихових центара једнако з...

Question 11

Задатак 11. Нацртај кружницу $k(O, 4 \text{ cm})$ и у њеној унутрашњости изабери неку тачку $U$ различиту од $O$. Конструиши кружницу са центром у тачки $U$ која кружницу $k(O, 4 \text{ cm})$ додирује изнутра.

Accepted Answer

Корак 1: Цртамо дату кружницу и тачку U

Шестар отворимо на $ 4 \text{ cm} $, поставимо иглу у тачку $ O $ и нацртамо кружницу $ k(O, 4 \text{ cm}) $.

Изаберемо произвољну тачку $ U $ у унутрашњости кружнице, различиту од $ O $. То значи да је $ OU < 4 \text{ cm} $.

Корак 2: Одређујемо тачку додира

Лењиром повучемо праву $ p(O, U) $. Она сече кружницу $ k $ у две тачке. Тачку која је са исте стране центра $ O $ као и тачка $ U $ обележимо са $ T $, па је $ U $ између \...

Question 12

Задатак 12. Конструиши тетиву кружнице $k(O, 3 \text{ cm})$ дужине $2 \text{ cm}$.

Accepted Answer

Корак 1: Цртање кружнице
Тетива је дуж чије крајње тачке припадају кружници. Зато прво цртамо задату кружницу, а затим на њој тражимо две тачке на растојању $ 2 \text{ cm} $.

Шестар отварамо на $ 3 \text{ cm} $ помоћу лењира, убодемо иглу у тачку $ O $ и цртамо кружницу $ k(O, 3 \text{ cm}) $.

Корак 2: Избор прве крајње тачке тетиве
На кружници $ k $ бирамо произвољну тачку и означавамо је са $ A $.

Корак 3: Одређивање друге крајње тачке тетиве
Шестар отварамо на \( 2 \text{ cm} \...

Question 13

Задатак 13. Испитај да ли постоје тачке које су $3 \text{ cm}$ удаљене и од тачке $A$ и од тачке $B$ ако је: 1) $AB = 4 \text{ cm}$; 2) $AB = 6 \text{ cm}$; 3) $AB = 7 \text{ cm}$.

Accepted Answer

Корак 1: Постављање услова
Тачке које су $3 \text{ cm}$ удаљене од тачке $A$ припадају кружници $k_1(A, 3 \text{ cm})$. Тачке које су $3 \text{ cm}$ удаљене од тачке $B$ припадају кружници $k_2(B, 3 \text{ cm})$.

Тражене тачке су заједничке тачке ових двеју кружница, па испитујемо њихов узајамни положај.

Корак 2: Збир и разлика полупречника
$$ r_1 + r_2 = 3 + 3 = 6 \text{ cm} $$
$$ r_1 - r_2 = 3 - 3 = 0 \text{ cm} $$
Растојање центара је $O_1O_2 = AB$. Упоређујемо га са \(6 \text...

Question 14

Задатак 14. Да ли се од дашчица чије су дужине $2 \text{ cm}$, $4 \text{ cm}$ и $9 \text{ cm}$ може саставити троугао? Образложи одговор.

Accepted Answer

Корак 1: Одређујемо најдужу дашчицу

Дужине дашчица су $ 2 \text{ cm} $, $ 4 \text{ cm} $ и $ 9 \text{ cm} $. Најдужа је дашчица од $ 9 \text{ cm} $.

Корак 2: Примењујемо неједнакост троугла

Троугао се може саставити само ако је збир дужина две краће дашчице већи од дужине најдуже дашчице. Ако би се две краће дашчице ослањале на најдужу, њихови крајеви би морали да се сретну у једној тачки. Зато тражимо тачку која је $ 2 \text{ cm} $ удаљена од једног краја најдуже дашчице и \( 4 \te...

II.5. Кружница и круг

Изабери решење задатка:

Корак 1: Одређујемо најдужу дашчицу

Корак 2: Примењујемо неједнакост троугла

Корак 3: Упоређујемо

Одговор

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Детаљно решење

Корак 1: Одређујемо најдужу дашчицу

Корак 2: Примењујемо неједнакост троугла

Корак 3: Упоређујемо

Одговор

Кратак запис решења:

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: