III.3. Врсте углова

1) Разлика правог и оштрог угла

Да бисмо конструисали разлику правог и оштрог угла, користимо чињеницу да је оштар угао мањи од правог (\( 90^\circ \)). Поступак изводимо помоћу троугаоног лењира.

Корак 1: Цртање оштрог угла

Нацртаћемо један произвољан оштар угао \( \alpha = \angle pOq \).
Нацртај три полуправе: \( Op \), \( Oq \) и \( Or \), све са заједничком почетном тачком \( O \). Полуправу \( Op \) постави хоризонтално удесно. Полуправу \( Or \) постави вертикално нагоре од тачке \( O \), тако да угао \( \angle pOr \) буде прави угао (\( 90^\circ \)). Полуправу \( Oq \) нацртај унутар правог угла \( \angle pOr \), тако да се налази између полуправе \( Op \) и полуправе \( Or \). Угао између полуправе \( Oq \) и полуправе \( Or \) означи са \( \alpha \) (где је \( \alpha < 90^\circ \)). Угао \( \angle pOq \) који преостаје је разлика правог угла и угла \( \alpha \), и треба га јасно означити.

Корак 2: Конструкција правог угла

Да бисмо одузели угао \( \alpha \) од правог угла, потребно је да нацртамо прав угао који има исто теме \( O \) и исти почетни крак \( Op \). 1. Прислони катету троугаоног лењира уз крак \( Op \) тако да се врх правог угла лењира поклопи са теменом \( O \). 2. Повуци полуправу \( Or \) дуж друге катете лењира. Угао \( \angle pOr \) је прав угао.
Нацртај тачку \( O \) као теме угла. Из тачке \( O \) нацртај полуправу \( Op \) која се протеже хоризонтално удесно. Затим нацртај полуправу \( Or \) која такође полази из тачке \( O \), тако да формира туп угао \( \angle pOr \) са полуправом \( Op \). Овај туп угао означи са \( \beta \) (при чему је \( \beta > 90^\circ \)). Унутар тупог угла \( \angle pOr \), нацртај трећу полуправу \( Oq \) која полази из тачке \( O \) и налази се између полуправих \( Op \) и \( Or \). Полуправа \( Oq \) треба да формира прави угао \( \angle pOq = 90^\circ \) са полуправом \( Op \). Означи овај прави угао квадратом на темену \( O \). Угао који преостаје између полуправе \( Oq \) и полуправе \( Or \), тј. угао \( \angle qOr \), је тражена разлика тупог угла \( \beta \) и правог угла. Означи угао \( \angle qOr \) са \( \beta - 90^\circ \).

Корак 3: Одређивање разлике

Угао који се налази између кракова \( Oq \) и \( Or \) представља тражену разлику. Пошто смо од целог правог угла \( \angle pOr \) "одузели" део који заузима нацртани оштар угао \( \angle pOq \), преостали део је угао \( \angle qOr \). \[ \angle qOr = 90^\circ - \alpha \] Тражена разлика \( \angle qOr \) је такође оштар угао.

2) Разлика тупог и правог угла

За разлику тупог и правог угла користимо чињеницу да је туп угао већи од правог (\( 90^\circ \)). Да бисмо одржали доследност ознака, користићемо полуправе \( Op \), \( Oq \) и \( Or \).

Корак 1: Цртање тупог угла

Нацртаћемо произвољан туп угао \( \beta = \angle pOq \).
Нацртај хоризонталну полуправу \( Oa \) удесно из темена \( O \). Затим нацртај полуправу \( Ob \) тако да заклапа туп угао (већи од \( 90^\circ \)) са полуправом \( Oa \).

Корак 2: Конструкција правог угла унутар тупог угла

Сада желимо да од угла \( \beta \) одузмемо прав угао. 1. Постави троугаони лењир тако да једна катета буде уз крак \( Op \), а теме у тачки \( O \). 2. Повуци полуправу \( Or \) дуж друге катете лењира. Угао \( \angle pOr \) је прав угао и он се налази "унутар" нашег почетног тупог угла.
Нацртај нормалну полуправу \( Oc \) на крак \( Oa \) из темена \( O \). Крај полуправе \( Oc \) треба да се налази између кракова \( Oa \) и \( Ob \).

Корак 3: Одређивање разлике

Разлика је део угла који остаје када се из области тупог угла \( \angle pOq \) склони област правог угла \( \angle pOr \). То је угао између кракова \( Or \) и \( Oq \). \[ \angle rOq = \beta - 90^\circ \] Овај преостали угао \( \angle rOq \) је оштар угао.

1)

\[ \alpha = \angle pOq < 90^\circ \] \[ \angle pOr = 90^\circ \] \[ \text{Разлика} = \angle pOr - \angle pOq = \angle qOr \]

2)

\[ \beta = \angle pOq > 90^\circ \] \[ \angle pOr = 90^\circ \] \[ \text{Разлика} = \angle pOq - \angle pOr = \angle rOq \]