III.6. Углови на трансверзали

У свакој од слика важи \( AB \parallel DE \). У свим случајевима користимо исти поступак: кроз „средишње“ теме изломљене линије повучемо помоћну праву \( p \) паралелну са \( AB \) и \( DE \). Тако угао код тог темена поделимо на два дела, које одредимо помоћу наизменичних углова (једнаки су) и супротних углова са исте стране пресечнице (суплементни су, збир им је \( 180^\circ \)).

1) Дато: \( \sphericalangle ABC = 65^\circ \), \( \sphericalangle CDE = 38^\circ \); тражи се \( \alpha = \sphericalangle BCD \)

Кроз теме \( C \) повучемо праву \( p \parallel AB \parallel DE \). Она дели угао \( \alpha \) на два дела: \( \alpha = \alpha_1 + \alpha_2 \). Део \( \alpha_1 \) (између \( CB \) и праве \( p \)) и угао \( ABC \) су наизменични углови на пресечници \( BC \) паралелних правих \( AB \) и \( p \), па су једнаки: \[ \alpha_1 = \sphericalangle ABC = 65^\circ \] Део \( \alpha_2 \) (између \( CD \) и праве \( p \)) и угао \( CDE \) су наизменични углови на пресечници \( CD \) паралелних правих \( p \) и \( DE \), па су једнаки: \[ \alpha_2 = \sphericalangle CDE = 38^\circ \] Дакле: \[ \alpha = \alpha_1 + \alpha_2 = 65^\circ + 38^\circ = 103^\circ \]

2) Дато: \( \sphericalangle ABC = 98^\circ \), \( \sphericalangle CDE = 130^\circ \); тражи се \( \alpha = \sphericalangle BCD \)

Кроз \( C \) повучемо праву \( p \parallel AB \parallel DE \). И овде је \( \alpha = \alpha_1 + \alpha_2 \), али су сада оба крака изломљене линије са исте стране праве \( p \) као и одговарајуће хоризонталне праве, па добијамо супротне (суплементне) углове. Угао \( \alpha_1 \) (између \( CB \) и \( p \)) и угао \( ABC \) су супротни углови на пресечници \( BC \), па се допуњују до опруженог угла: \[ \alpha_1 = 180^\circ - \sphericalangle ABC = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ \] Угао \( \alpha_2 \) (између \( CD \) и \( p \)) и угао \( CDE \) су супротни углови на пресечници \( CD \): \[ \alpha_2 = 180^\circ - \sphericalangle CDE = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \] Дакле: \[ \alpha = \alpha_1 + \alpha_2 = 82^\circ + 50^\circ = 132^\circ \]

3) Дато: \( \sphericalangle ABC = 76^\circ \), \( \sphericalangle BCD = 136^\circ \); тражи се \( \alpha = \sphericalangle CDE \)

Кроз теме \( C \) повучемо праву \( p \parallel AB \parallel DE \). Она дели угао \( \sphericalangle BCD = 136^\circ \) на два дела: \( \sphericalangle BCD = \beta_1 + \beta_2 \). Део \( \beta_1 \) (између \( CB \) и \( p \)) једнак је углу \( ABC \) (наизменични углови на пресечници \( BC \)): \[ \beta_1 = \sphericalangle ABC = 76^\circ \] Одатле је други део: \[ \beta_2 = \sphericalangle BCD - \beta_1 = 136^\circ - 76^\circ = 60^\circ \] Овај део \( \beta_2 \) (између \( CD \) и \( p \)) и тражени угао \( \alpha = \sphericalangle CDE \) су наизменични углови на пресечници \( CD \) паралелних правих \( p \) и \( DE \), па су једнаки: \[ \alpha = \beta_2 = 60^\circ \]

4) Дато: \( \sphericalangle ABC = 47^\circ \), \( \sphericalangle BCD = 120^\circ \); тражи се \( \alpha \) (угао код доњег темена)

Кроз теме \( C \) повучемо праву \( p \parallel AB \parallel DE \) и поделимо угао \( \sphericalangle BCD = 120^\circ \) на два дела: \( \sphericalangle BCD = \beta_1 + \beta_2 \). Део \( \beta_1 \) (између \( CB \) и \( p \)) једнак је углу \( ABC \) (наизменични углови на пресечници \( BC \)): \[ \beta_1 = \sphericalangle ABC = 47^\circ \] Други део је: \[ \beta_2 = \sphericalangle BCD - \beta_1 = 120^\circ - 47^\circ = 73^\circ \] За разлику од претходних случајева, овде доњи крак изломљене линије и права \( DE \) иду у истом смеру (удесно), па су угао \( \beta_2 \) (између доњег крака и праве \( p \)) и тражени угао \( \alpha \) супротни (суплементни) углови на пресечници. Зато је њихов збир \( 180^\circ \): \[ \alpha = 180^\circ - \beta_2 = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ \] Коначно: \( \alpha_{1)} = 103^\circ \), \( \alpha_{2)} = 132^\circ \), \( \alpha_{3)} = 60^\circ \), \( \alpha_{4)} = 107^\circ \).

\( \alpha_{1)} = 103^\circ,\ \alpha_{2)} = 132^\circ,\ \alpha_{3)} = 60^\circ,\ \alpha_{4)} = 107^\circ \) (помоћна права кроз \( C \) паралелна са \( AB \) и \( DE \); наизменични и супротни углови).