Основна својства сабирања и одузимања

Question 1

Задатак 1. а) Како се назива својство сабирања које илуструје једнакост $8 + 5 = 5 + 8$? Искажи то својство користећи променљиве.
б) Како се назива својство сабирања које илуструје једнакост $(6 + 3) + 5 = 6 + (3 + 5)$? Искажи то својство користећи променљиве.

Accepted Answer

а)
Корак 1: Одређивање назива својства
Једнакост $8 + 5 = 5 + 8$ показује да збир два броја остаје исти без обзира на редослед сабирака. Ово својство се назива комутативност (или својство комутације).

Корак 2: Запис својства помоћу променљивих
Ако сабирке означимо променљивим $a$ и $b$, ово својство записујемо као:
$$ a + b = b + a $$

б)
Корак 1: Одређивање назива својства
Једнакост $(6 + 3) + 5 = 6 + (3 + 5)$ показује да збир три броја не зависи од тога како групишемо сабирке помоћу з...

Question 2

Задатак 2. Израчунај:
а) $\frac{2}{11} + \frac{5}{11} + \frac{9}{11}$;
б) $\frac{1}{2} + \frac{2}{5} + \frac{6}{7}$;
в) $\frac{11}{14} + \frac{3}{10} + \frac{6}{35}$;
г) $3 \frac{2}{5} + 2 \frac{1}{2} + 6 \frac{1}{4}$.

Accepted Answer

а) $ \frac{2}{11} + \frac{5}{11} + \frac{9}{11} $
Корак 1: Сабирање разломака једнаких именилаца
Пошто сви разломци имају исти именилац ($ 11 $), именилац преписујемо, а бројиоце сабирамо:
$$ \frac{2}{11} + \frac{5}{11} + \frac{9}{11} = \frac{2 + 5 + 9}{11} = \frac{16}{11} $$

Корак 2: Претварање у мешовити број
Неправи разломак $ \frac{16}{11} $ претварамо у мешовити број тако што поделимо бројилац имениоцем ($ 16 : 11 = 1 $ са остатком $ 5 $):
$$ \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} $$

б)...

Question 3

Задатак 3. Израчунај:
а) $1,41 + 0,37 + 30,06$;
б) $77,56 + 4,19 + 7,9$;
в) $133,99 + 20,002 + 1,5 + 15,24$.

Accepted Answer

а) $1,41 + 0,37 + 30,06$
Корак 1: Потписивање и сабирање бројева
Потписујемо сабирке један испод другог тако да децималне запете буду поравнате:
$$ 1,41 + 0,37 + 30,06 = 31,84 $$
$$ \begin{array}{r@{}l}
1,41 & \
0,37 & \
+\,30,06 & \
\hline
31,84 &
\end{array} $$

б) $77,56 + 4,19 + 7,9$
Корак 1: Поравнавање броја децимала и сабирање
Број $7,9$ има једно децимално место, па га можемо записати као $7,90$. Потписујемо сабирке један испод другог:
$$ 77,56 + 4,19 + 7,9 = 89,65 $$
\[ \begi...

Question 4

Задатак 4. Користећи својства сабирања, израчунај на најједноставнији начин:
а) $3 \frac{3}{4} + \frac{7}{10} + 2 \frac{1}{4}$;
б) $2 \frac{5}{6} + 4 \frac{2}{9} + 12 \frac{1}{6} + 10 \frac{8}{9}$;
в) $0,7 + 4,897 + 3,3$.

Accepted Answer

а) $3 \frac{3}{4} + \frac{7}{10} + 2 \frac{1}{4}$

1. Корак: Груписање сабирака коришћењем комутативности и асоцијативности
Примењујемо својство комутативности ($a + b = b + a$) и асоцијативности ($(a + b) + c = a + (b + c)$) како бисмо груписали мешовите бројеве са истим имениоцем:
$$ 3 \frac{3}{4} + \frac{7}{10} + 2 \frac{1}{4} = \left(3 \frac{3}{4} + 2 \frac{1}{4}\right) + \frac{7}{10} $$

2. Корак: Израчунавање збира у загради
Сабирамо целе делове и разломке са истим имениоцем:
\[ 3 \f...

Question 5

Задатак 5. Дати бројевни израз опиши речима, израчунај његову вредност и придружи му дрво израза:
а) $\frac{4}{15} - \left( \frac{7}{12} - \frac{1}{3} \right)$;
б) $3 \frac{4}{7} - \left( \frac{17}{21} + \frac{2}{3} \right)$;
в) \(5 \frac{4}{9} - \frac{5}{12} - \left( \frac{7}{15} - \frac{2}{5}...

Accepted Answer

а) $\frac{4}{15} - \left( \frac{7}{12} - \frac{1}{3} \right)$

1. Корак: Опис израза речима
Последња рачунска операција која се извршава је одузимање ван заграде.
Израз описујемо као: разлика броја $ \frac{4}{15} $ и разлике бројева $ \frac{7}{12} $ и $ \frac{1}{3} $.

2. Корак: Израчунавање вредности у загради
Прво израчунавамо вредност израза у загради. За имениоце $ 12 $ и $ 3 $, најмањи заједнички садржалац је:
$$ \text{НЗС}(12, 3) = 12 $$
Проширујемо други разломак са $ 4 $:
\...

Question 6

Задатак 6. На основу датог дрвета израза формирај одговарајући бројевни израз и израчунај његову вредност:
а) 9,1 3,01 10,6 + -
б) 7,147 0,88 5,005 - +
в) 22,13 1,974 1,11 11,1 - + -
г) 14,8 0,72 8,88 0,676 - - -

Accepted Answer

Како се чита дрво израза
Сваки унутрашњи правоугаоник представља једну операцију над бројевима из којих у њега воде стрелице, а знак операције уписан је уз тај правоугаоник. Вредност израза читамо одоздо нагоре, полазећи од листова.

а)
Из бројева $ 9{,}1 $ и $ 3{,}01 $ води стрелица у први правоугаоник са знаком $ - $, а затим се добијени број сабира са $ 10{,}6 $:
$$ 9{,}1 - 3{,}01 + 10{,}6 = 6{,}09 + 10{,}6 = 16{,}69. $$

б)
Бројеви $ 0{,}88 $ и $ 5{,}005 $ прво се сабирају, а њих...

Question 7

Задатак 7. Уз помоћ калкулатора израчунај вредност израза:
а) $3876,6543 - 981,95477$;
б) $903,72115 - 69,0704$;
в) $523,4691 - 28,33333 + 304,976$.

Accepted Answer

а) $3876,6543 - 981,95477$
Рачунање вредности израза
Уносимо умањеник $3876,6543$, затим притискамо тастер за операцију одузимања $-$, уносимо умањилац $981,95477$ и на крају тастер $=$.

Рачун потписивањем ради провере:
$$ 3876,6543 - 981,95477 = 2894,69953 $$
$$ \begin{array}{r@{}l} 3876,6543\phantom{0} & \ -\,\,981,95477 & \ \hline 2894,69953 & \end{array} $$

б) $903,72115 - 69,0704$
Рачунање вредности израза
Уносимо број $903,72115$, притискамо тастер за одузимање $-$, уно...

Question 8

Задатак 8. Израчунај:
а) $\frac{23}{25} + 0,08 - \frac{3}{4}$;
б) $3 \frac{13}{125} - 2,4 + \frac{2}{15}$.

Accepted Answer

а) $ \frac{23}{25} + 0,08 - \frac{3}{4} $

1. Корак: Избор облика записа
Имениоци разломака су $ 25 $ и $ 4 $. Како су $ 25 = 5 \cdot 5 $ и $ 4 = 2 \cdot 2 $, сви разломци се могу претворити у коначне децималне бројеве, или можемо децимални број претворити у разломак. Израчунаћемо претварањем децималног броја у разломак:
$$ 0,08 = \frac{8}{100} = \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{100}_{25}} = \frac{2}{25} $$

2. Корак: Сабирање разломака истог имениоца
У изразу сада имамо два разломка са ист...

Question 9

Задатак 9. Одреди број који је:
а) збир разлике и збира бројева $5 \frac{2}{5}$ и $3,5$;
б) разлика броја $7,7$ и збира бројева $1,03$ и $0,98$;
в) за $2,075$ већи од разлике бројева $\frac{15}{16}$ и $\frac{7}{12}$;
г) за $\frac{4}{5}$ мањи од збира бројева $\frac{17}{20}$ и \(\...

Accepted Answer

а)
Корак 1: Постављање бројевног израза
Тражи се збир разлике и збира бројева $5 \frac{2}{5}$ и $3,5$.
Математички запис овог израза је:
$$ \left( 5\frac{2}{5} - 3,5 \right) + \left( 5\frac{2}{5} + 3,5 \right) $$

Корак 2: Израчунавање вредности израза
Пошто разломак $\frac{2}{5}$ има коначан децимални запис:
$$ 5\frac{2}{5} = 5 + \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 5\frac{4}{10} = 5,4 $$
Заменимо у израз:
$$ (5,4 - 3,5) + (5,4 + 3,5) $$

Израчунајмо вредности у заградама вертикалним потписивање...

Question 10

Задатак 10. Израчунај вредност израза $a + 4,5$ и $10 \frac{7}{12} - a$ ако је:
а) $a = 1,3$;
б) $a = 2 \frac{8}{15}$;
в) $a = \frac{16}{25}$.

Accepted Answer

а) $a = 1,3$

Први израз: $a + 4,5$
Замењујемо вредност $a = 1,3$ у израз:
$$ a + 4,5 = 1,3 + 4,5 $$
Потписујемо сабирке тако да децималне запете буду поравнате:
$$ \begin{array}{r@{}l} 1,3 & \ +\,4,5 & \ \hline 5,8 & \end{array} $$
Вредност првог израза је $5,8$.

Други израз: $10\frac{7}{12} - a$
Пошто је $10\frac{7}{12}$ разломак чији именилац садржи делилац различит од $2$ и $5$ ($12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$), разломак нема коначан децимални запис. Зато децимални број \(a = 1...

Question 11

Задатак 11. Израчунај вредност израза $a - b + c$ ако је:
а) $a = 20,17$, $b = 2,017$, $c = 201,7$;
б) $a = 2$, $b = \frac{2}{15}$, $c = \frac{1}{20}$.

Accepted Answer

а)
Потребно је израчунати вредност израза $ a - b + c $ за дате децималне бројеве:
$$ a = 20,17, \quad b = 2,017, \quad c = 201,7 $$
Уврстимо дате вредности у израз:
$$ 20,17 - 2,017 + 201,7 $$

Корак 1: Одузимање децималних бројева
Прво одузимамо бројеве слева надесно:
$$ 20,17 - 2,017 = 18,153 $$
Потписујемо бројеве тако да су децималне запете поравнате:
$$ \begin{array}{r@{}l} 20,170 & \ -\phantom{0}2,017 & \ \hline 18,153 & \end{array} $$

Корак 2: Сабирање са трећим сабирком
Сада на доб...

Question 12

Задатак 12. Израчунај обим троугла ако је:
а) $a = 3,2\text{ cm}$, $b = 1,5\text{ cm}$, $c = 2,1\text{ cm}$;
б) $a = 8,3\text{ cm}$, $b = 1,15\text{ dm}$, $c = 0,044\text{ m}$.

Accepted Answer

Обим троугла једнак је збиру дужина свих његових страница:
$$ O = a + b + c $$

а) $a = 3,2\text{ cm}$, $b = 1,5\text{ cm}$, $c = 2,1\text{ cm}$

1. Корак: Замена вредности у формулу за обим
Све странице су изражене у истим јединицама мере ($\text{cm}$), па можемо директно сабрати њихове вредности:
$$ O = 3,2\text{ cm} + 1,5\text{ cm} + 2,1\text{ cm} $$

2. Корак: Сабирање децималних бројева
Сабирамо децималне бројеве потписивањем тако да децималне запете буду поравнате:
\[ 3,2 + 1,5 + 2...

Question 13

Задатак 13. У првом сату пуњења базена уливена је четвртина потребне количине воде, а у другом сату седам десетина. Да ли треба наставити пуњење базена?

Accepted Answer

Корак 1: Записивање података у облику разломака
Цео базен представља једну целину, односно број $ 1 $.
У првом сату уливена је четвртина потребне количине воде:
$$ \frac{1}{4} $$
У другом сату уливено је седам десетина потребне количине воде:
$$ \frac{7}{10} $$

Корак 2: Израчунавање укупно уливене количине воде
Да бисмо одредили колико је укупно воде уливено током прва два сата, сабраћемо ове две количине:
$$ \frac{1}{4} + \frac{7}{10} $$

Најмањи заједнички садржалац за имениоце 4 и 10 је:
\...

Question 14

Задатак 14. Дуња је првог дана прочитала петину књиге, другог дана осмину књиге више него првог, а трећег дана деветину књиге мање него другог. Да ли је после та три дана Дуњи остало да до краја књиге прочита мање или више страна него што је већ прочитала?

Accepted Answer

Корак 1: Одређивање дела књиге прочитаног сваког дана
Првог дана Дуња је прочитала петину књиге:
$$ \text{I дан} = \frac{1}{5} $$

Другог дана је прочитала за осмину више него првог дана:
$$ \text{II дан} = \frac{1}{5} + \frac{1}{8} $$
Налазимо најмањи заједнички садржалац за имениоце 5 и 8:
$$ \text{НЗС}(5, 8) = 40 $$
Проширујемо разломке:
$$ \frac{1}{5} + \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} + \frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{8}{40} + \frac{5}{40} = \frac{13}{40} $$

Трећег дана је про...

Question 15

Задатак 15. Смисли задатак до чијег решења долазимо израчунавањем бројевног израза $100 - (33,99 + 11,5 + 51,75)$.

Accepted Answer

Шта се тражи
Треба смислити текст задатка чије решавање води до израчунавања израза
$$ 100 - (33{,}99 + 11{,}5 + 51{,}75). $$
У загради је збир три броја, а тај збир се одузима од броја $ 100 $. То одговара ситуацији у којој неко има $ 100 $ јединица нечега, потроши три различита износа и тражи се колико му је остало.

Један могући текст задатка
Јован је у продавници купио кифлу чија је цена $ 33{,}99 $ динара, папирнате марамице које коштају $ 11{,}5 $ динара и јогурт чија је цена \( 51...

IV.11. Основна својства сабирања и одузимања

Изабери решење задатка:

Корак 1: Одређивање дела књиге прочитаног сваког дана

Корак 2: Израчунавање укупно прочитаног дела књиге за сва три дана

Корак 3: Израчунавање преосталог дела књиге

Корак 4: Упоређивање преосталог и прочитаног дела књиге

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста