Основна својства сабирања и одузимања

Question 1

Задатак 1. а) Како се назива својство сабирања које илуструје једнакост $8 + 5 = 5 + 8$? Искажи то својство користећи променљиве.
б) Како се назива својство сабирања које илуструје једнакост $(6 + 3) + 5 = 6 + (3 + 5)$? Искажи то својство користећи променљиве.

Accepted Answer

а)
Идентификовање својства
Једнакост $ 8 + 5 = 5 + 8 $ нам показује да можемо заменити места бројевима које сабирамо, а да се коначни збир не промени. Ово својство се у математици назива комутативност сабирања (или својство замене места сабирака).

Записивање помоћу променљивих
Када желимо да прикажемо да ово правило важи за било која два броја, уместо конкретних бројева користимо слова, односно променљиве (на пример $ a $ и $ b $). Комутативност сабирања записана помоћу променљивих изглед...

Question 2

Задатак 2. Израчунај:
а) $\frac{2}{11} + \frac{5}{11} + \frac{9}{11}$;
б) $\frac{1}{2} + \frac{2}{5} + \frac{6}{7}$;
в) $\frac{11}{14} + \frac{3}{10} + \frac{6}{35}$;
г) $3 \frac{2}{5} + 2 \frac{1}{2} + 6 \frac{1}{4}$.

Accepted Answer

Увод у сабирање разломака
Да бисмо сабрали разломке, они морају имати исте имениоце. Ако су имениоци различити, користимо најмањи заједнички садржалац (НЗС) да бисмо их проширили и довели на заједнички именилац.

а) $ \frac{2}{11} + \frac{5}{11} + \frac{9}{11} $
Овде су имениоци већ исти (број $ 11 $), па једноставно сабирамо бројиоце:
$$ \frac{2}{11} + \frac{5}{11} + \frac{9}{11} = \frac{2 + 5 + 9}{11} = \frac{16}{11} $$
Пошто је ово неправи разломак, претварамо га у мешовити број:
\[ 16 :...

Question 3

Задатак 3. Израчунај:
а) $1,41 + 0,37 + 30,06$;
б) $77,56 + 4,19 + 7,9$;
в) $133,99 + 20,002 + 1,5 + 15,24$.

Accepted Answer

Приликом сабирања више децималних бројева, користимо правила потписивања тако да децималне запете буду поравнате једна испод друге. Такође, можемо користити својства асоцијативности и комутативности да бисмо олакшали рачунање.

а) $1,41 + 0,37 + 30,06$
Корак 1: Сабирање прва два броја
Прво ћемо сабрати $ 1,41 $ и $ 0,37 $.
$$
\begin{array}{r}
  1,41 \
+ 0,37 \
\hline
  1,78
\end{array}
$$
Корак 2: Додавање трећег броја
Сада резултату $ 1,78 $ додајемо $ 30,06 $.
\[
\begin{array}{r}...

Question 4

Задатак 4. Користећи својства сабирања, израчунај на најједноставнији начин:
а) $3 \frac{3}{4} + \frac{7}{10} + 2 \frac{1}{4}$;
б) $2 \frac{5}{6} + 4 \frac{2}{9} + 12 \frac{1}{6} + 10 \frac{8}{9}$;
в) $0,7 + 4,897 + 3,3$.

Accepted Answer

Увод у својства сабирања
Да бисмо израчунали ове изразе на најједноставнији начин, користићемо комутативност (промена места сабирака) и асоцијативност (груписање сабирака). Циљ је да прво саберемо бројеве који дају целе бројеве или лакше разломке.

а) $ 3\frac{3}{4} + \frac{7}{10} + 2\frac{1}{4} $
Примећујемо да први и трећи сабирак имају исти именилац ($ 4 $). Груписаћемо их како бисмо лакше добили цео број.

Корак 1: Груписање разломака са истим имениоцем
\[ \left( 3\frac{3}{4} + 2\frac{1}...

Question 5

Задатак 5. Дати бројевни израз опиши речима, израчунај његову вредност и придружи му дрво израза:
а) $\frac{4}{15} - \left( \frac{7}{12} - \frac{1}{3} \right)$;
б) $3 \frac{4}{7} - \left( \frac{17}{21} + \frac{2}{3} \right)$;
в) \(5 \frac{4}{9} - \frac{5}{12} - \left( \frac{7}{15} - \frac{2}{5}...

Accepted Answer

У овом задатку ћемо анализирати бројевне изразе, описати их речима, израчунати њихове вредности и представити их преко дрвета израза.

а) $ \frac{4}{15} - \left( \frac{7}{12} - \frac{1}{3} \right) $
Корак 1: Опис израза речима
Овај израз представља разлику броја $ \frac{4}{15} $ и разлике бројева $ \frac{7}{12} $ и $ \frac{1}{3} $.

Корак 2: Израчунавање вредности
Прво израчунавамо вредност у загради. Да бисмо одузели разломке, сводимо их на заједнички именилац \( \text{НЗС}(12, 3) = 12...

Question 6

Задатак 6. На основу датог дрвета израза формирај одговарајући бројевни израз и израчунај његову вредност:
а) 9,1 3,01 10,6 + -
б) 7,147 0,88 5,005 - +
в) 22,13 1,974 1,11 11,1 - + -
г) 14,8 0,72 8,88 0,676 - - -

Accepted Answer

Како се чита дрво израза
Сваки унутрашњи правоугаоник представља једну операцију над бројевима из којих у њега воде стрелице, а знак операције уписан је уз тај правоугаоник. Вредност израза читамо одоздо нагоре, полазећи од листова.

а)
Из бројева $ 9{,}1 $ и $ 3{,}01 $ води стрелица у први правоугаоник са знаком $ - $, а затим се добијени број сабира са $ 10{,}6 $:
$$ 9{,}1 - 3{,}01 + 10{,}6 = 6{,}09 + 10{,}6 = 16{,}69. $$

б)
Бројеви $ 0{,}88 $ и $ 5{,}005 $ прво се сабирају, а њих...

Question 7

Задатак 7. Уз помоћ калкулатора израчунај вредност израза:
а) $3876,6543 - 981,95477$;
б) $903,72115 - 69,0704$;
в) $523,4691 - 28,33333 + 304,976$.

Accepted Answer

У овом задатку треба да израчунамо вредности бројевних израза са децималним бројевима који имају већи број децималних места. Како је наглашено у задатку, користићемо калкулатор за прецизно рачунање. Приликом одузимања и сабирања децималних бројева, важно је водити рачуна о позицији децималне запете.

а) $ 3876,6543 - 981,95477 $
Да бисмо лакше одузели ове бројеве, првом броју можемо додати нулу на крају како би оба имала по пет децималних места: $ 3876,65430 - 981,95477 $.
Помоћу калкулатора...

Question 8

Задатак 8. Израчунај:
а) $\frac{23}{25} + 0,08 - \frac{3}{4}$;
б) $3 \frac{13}{125} - 2,4 + \frac{2}{15}$.

Accepted Answer

Да бисмо решили ове бројевне изразе, прво морамо одлучити да ли ћемо све бројеве претворити у децимални запис или у разломке. Ако сви разломци имају имениоце који су дељиви само са 2 и 5, лакше је користити децимални запис. У супротном, користимо разломке.

а) $ \frac{23}{25} + 0,08 - \frac{3}{4} $

Корак 1: Избор записа
Имениоци разломака су 25 ($ 5 \cdot 5 $) и 4 ($ 2 \cdot 2 $). Пошто оба броја имају само чиниоце 2 или 5, можемо их лако претворити у децималне бројеве проширивањем до дек...

Question 9

Задатак 9. Одреди број који је:
а) збир разлике и збира бројева $5 \frac{2}{5}$ и $3,5$;
б) разлика броја $7,7$ и збира бројева $1,03$ и $0,98$;
в) за $2,075$ већи од разлике бројева $\frac{15}{16}$ и $\frac{7}{12}$;
г) за $\frac{4}{5}$ мањи од збира бројева $\frac{17}{20}$ и \(\...

Accepted Answer

а) Збир разлике и збира бројева $5 \frac{2}{5}$ и $3,5$
Прво ћемо бројеве претворити у исти облик. Пошто је $5 \frac{2}{5} = 5,4$, користићемо децимални запис. Израз је:
$$ (5,4 - 3,5) + (5,4 + 3,5) $$
Израчунајмо вредности у заградама:
$$ 5,4 - 3,5 = 1,9 $$
$$ 5,4 + 3,5 = 8,9 $$
Сада сабирамо ова два резултата:
$$ 1,9 + 8,9 = 10,8 $$

б) Разлика броја $7,7$ и збира бројева $1,03$ и $0,98$
Прво формирамо израз према тексту:
$$ 7,7 - (1,03 + 0,98) $$
Израчунавамо збир у загради:
\[ 1,...

Question 10

Задатак 10. Израчунај вредност израза $a + 4,5$ и $10 \frac{7}{12} - a$ ако је:
а) $a = 1,3$;
б) $a = 2 \frac{8}{15}$;
в) $a = \frac{16}{25}$.

Accepted Answer

Увод у изразе са променљивом
Да бисмо израчунали вредност израза са променљивом, потребно је да уместо слова $ a $ уврстимо дату бројчану вредност и затим извршимо назначене рачунске операције.

а) за $ a = 1,3 $
Корак 1: Израчунавање $ a + 4,5 $
У овом случају сабирамо два децимална броја. Потписујемо их тако да запета буде испод запете:
$$ 1,3 + 4,5 = 5,8 $$

Корак 2: Израчунавање $ 10\frac{7}{12} - a $
Пошто је $ a $ децимални број, а умањеник мешовити број са имениоцем 12 (који се...

Question 11

Задатак 11. Израчунај вредност израза $a - b + c$ ако је:
а) $a = 20,17$, $b = 2,017$, $c = 201,7$;
б) $a = 2$, $b = \frac{2}{15}$, $c = \frac{1}{20}$.

Accepted Answer

Да бисмо израчунали вредност израза $ a - b + c $, заменићемо дате вредности променљивих у израз и извршити рачунске операције по редоследу слева надесно.

а) $ a = 20,17 $, $ b = 2,017 $, $ c = 201,7 $
Корак 1: Одузимање децималних бројева
Прво израчунавамо разлику $ a - b $. Да бисмо лакше одузели, броју $ 20,17 $ додајемо нулу како би имао исти број децимала као и $ 2,017 $.
$$ 20,170 - 2,017 = 18,153 $$
Потписивање:
\[
\begin{array}{r}
  20,170 \
- 2,017 \
\hline
  18,153
\en...

Question 12

Задатак 12. Израчунај обим троугла ако је:
а) $a = 3,2\text{ cm}$, $b = 1,5\text{ cm}$, $c = 2,1\text{ cm}$;
б) $a = 8,3\text{ cm}$, $b = 1,15\text{ dm}$, $c = 0,044\text{ m}$.

Accepted Answer

а) $ a = 3,2\text{ cm}, b = 1,5\text{ cm}, c = 2,1\text{ cm} $

Корак 1: Постављање формуле за обим
Обим троугла ($ O $) је једнак збиру дужина свих његових страница. Формула гласи:
$$ O = a + b + c $$

Корак 2: Сабирање децималних бројева
Замењујемо дате вредности у формулу:
$$ O = 3,2\text{ cm} + 1,5\text{ cm} + 2,1\text{ cm} $$
Прво сабирамо прва два броја:
$$ \begin{array}{c} 3,2 \ +~~1,5 \ \hline 4,7 \end{array} $$
Затим добијеном збиру додајемо трећу страницу:
\[ \begin{array}{c} 4,7...

Question 13

Задатак 13. У првом сату пуњења базена уливена је четвртина потребне количине воде, а у другом сату седам десетина. Да ли треба наставити пуњење базена?

Accepted Answer

Корак 1: Анализа података и постављање израза
Да бисмо утврдили да ли треба наставити пуњење базена, потребно је да израчунамо колики је укупан део базена напуњен након два сата. Цео базен представљамо бројем $ 1 $.
У првом сату је уливена једна четвртина: $ \frac{1}{4} $.
У другом сату је уливено седам десетина: $ \frac{7}{10} $.
Укупна количина воде је збир ова два дела: $ \frac{1}{4} + \frac{7}{10} $.

Корак 2: Сабирање разломака
Да бисмо сабрали разломке $ \frac{1}{4} $ и \( \frac{...

Question 14

Задатак 14. Дуња је првог дана прочитала петину књиге, другог дана осмину књиге више него првог, а трећег дана деветину књиге мање него другог. Да ли је после та три дана Дуњи остало да до краја књиге прочита мање или више страна него што је већ прочитала?

Accepted Answer

Корак 1: Анализа података и постављање израза
Из текста задатка можемо записати делове књиге које је Дуња прочитала сваког дана:

Први дан: $ \frac{1}{5} $ књиге.
    Други дан: $ \frac{1}{5} + \frac{1}{8} $ (осмину више него првог).
    Трећи дан: $ \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{8} \right) - \frac{1}{9} $ (деветину мање него другог).

Корак 2: Израчунавање делова по данима
Израчунајмо колико је прочитала другог дана. Заједнички именилац за 5 и 8 је 40.
\[ \frac{1}{5} + \frac{1}{8} =...

Question 15

Задатак 15. Смисли задатак до чијег решења долазимо израчунавањем бројевног израза $100 - (33,99 + 11,5 + 51,75)$.

Accepted Answer

Шта се тражи
Треба смислити текст задатка чије решавање води до израчунавања израза
$$ 100 - (33{,}99 + 11{,}5 + 51{,}75). $$
У загради је збир три броја, а тај збир се одузима од броја $ 100 $. То одговара ситуацији у којој неко има $ 100 $ јединица нечега, потроши три различита износа и тражи се колико му је остало.

Један могући текст задатка
Јован је у продавници купио кифлу чија је цена $ 33{,}99 $ динара, папирнате марамице које коштају $ 11{,}5 $ динара и јогурт чија је цена \( 51...

IV.11. Основна својства сабирања и одузимања

Изабери решење задатка:

а) Разлика броја \( \frac{4}{15} \) и разлике бројева \( \frac{7}{12} \) и \( \frac{1}{3} \).

б) Разлика броја \( 3 \frac{4}{7} \) и збира бројева \( \frac{17}{21} \) и \( \frac{2}{3} \).

в) Разлика броја \( 5 \frac{4}{9} - \frac{5}{12} \) умањена за разлику \( \frac{7}{15} - \frac{2}{5} \).

г) Разлика броја \( 45 - 2,45 \) умањена за збир \( 2,8 + 0,03 \).

а) \( \frac{4}{15} - \left( \frac{7}{12} - \frac{1}{3} \right) \)

Корак 1: Опис израза речима

Корак 2: Израчунавање вредности

Корак 3: Дрво израза

б) \( 3 \frac{4}{7} - \left( \frac{17}{21} + \frac{2}{3} \right) \)

Корак 4: Опис израза речима

Корак 5: Израчунавање вредности

Корак 6: Дрво израза

в) \( 5 \frac{4}{9} - \frac{5}{12} - \left( \frac{7}{15} - \frac{2}{5} \right) \)

Корак 7: Опис израза речима

Корак 8: Израчунавање вредности

Корак 9: Дрво израза

г) \( 45 - 2,45 - (2,8 + 0,03) \)

Корак 10: Опис израза речима

Корак 11: Израчунавање вредности

Корак 12: Дрво израза

Кратак запис решења:

а)

б)

в)

г)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста