Најважније из лекције
- Непознат чинилац: Производ делимо познатим чиниоцем (\( ax=b \implies x=b:a \)).
- Непознат дељеник: Делилац множимо количником (\( x:a=b \implies x=a \cdot b \)).
- Непознат делилац: Дељеник делимо количником (\( a:x=b \implies x=a:b \)).
- Сложеније једначине: Изразе са множењем/дељењем или изразе у заградама увек прво третирамо као једну непознату целину.
- Периодични бројеви: Претварају се у разломак множењем са \( 10, 100... \) и одузимањем почетног броја (\( x \)) како би се поништио децимални период.
При решавању једначина са разломцима и децималним бројевима користимо иста правила као и у скупу природних бројева.
1. Непознати чинилац се одређује тако што се производ подели познатим чиниоцем.
\[ \text{познати чинилац} \cdot x = \text{ПРОИЗВОД} \implies x = \text{ПРОИЗВОД} : \text{познати чинилац} \]
\( x \cdot 2,7 = 3,213 \implies x = 3,213 : 2,7 \implies x = 1,19 \)
2. Непознати дељеник се одређује тако што се делилац помножи количником.
\[ x : \text{ДЕЛИЛАЦ} = \text{КОЛИЧНИК} \implies x = \text{ДЕЛИЛАЦ} \cdot \text{КОЛИЧНИК} \]
\( x : \frac{5}{21} = 3 \frac{4}{15} \implies x = \frac{49}{15} \cdot \frac{5}{21} \implies x = \frac{7}{9} \)
3. Непознати делилац се одређује тако што се дељеник подели количником.
\[ \text{ДЕЉЕНИК} : x = \text{КОЛИЧНИК} \implies x = \text{ДЕЉЕНИК} : \text{КОЛИЧНИК} \]
\( 3,445 : x = 1,3 \implies x = 3,445 : 1,3 \implies x = 2,65 \)
Када једначина садржи више рачунских операција или заграде, морамо водити рачуна о приоритету операција приликом издвајања непознате.
Једначине без заграда (множење има приоритет)
Израз који садржи непознату и операцију множења/дељења прво посматрамо као једну целину (нпр. као непознати сабирак).
Израз који садржи непознату и операцију множења/дељења прво посматрамо као једну целину (нпр. као непознати сабирак).
\( 5 \cdot x + \frac{3}{4} = \frac{5}{6} \)
Прво посматрамо \( 5 \cdot x \) као непознати сабирак:
\( 5 \cdot x = \frac{5}{6} - \frac{3}{4} \)
\( 5 \cdot x = \frac{1}{12} \)
Сада решавамо као једначину са непознатим чиниоцем:
\( x = \frac{1}{12} : 5 \implies x = \frac{1}{60} \)
Прво посматрамо \( 5 \cdot x \) као непознати сабирак:
\( 5 \cdot x = \frac{5}{6} - \frac{3}{4} \)
\( 5 \cdot x = \frac{1}{12} \)
Сада решавамо као једначину са непознатим чиниоцем:
\( x = \frac{1}{12} : 5 \implies x = \frac{1}{60} \)
Једначине са заградама
Читав израз унутар заграде посматрамо као једну непознату величину све док се не ослободимо бројева изван заграде.
Читав израз унутар заграде посматрамо као једну непознату величину све док се не ослободимо бројева изван заграде.
\( 3 \cdot (2,2 - x) = 4,5 \)
Израз \( (2,2 - x) \) је непознати чинилац:
\( 2,2 - x = 4,5 : 3 \)
\( 2,2 - x = 1,5 \)
Сада је \( x \) непознати умањилац:
\( x = 2,2 - 1,5 \implies x = 0,7 \)
Израз \( (2,2 - x) \) је непознати чинилац:
\( 2,2 - x = 4,5 : 3 \)
\( 2,2 - x = 1,5 \)
Сада је \( x \) непознати умањилац:
\( x = 2,2 - 1,5 \implies x = 0,7 \)
Кључни корак у решавању текстуалног задатка је пажљива анализа текста и формирање одговарајуће једначине. Непознату величину најчешће означавамо словом \( x \).
Текст: Душан је купио \( 810\text{ g} \) меса (\( 0,81\text{ kg} \)). Рачун је износио \( 388,8 \) динара. Колико кошта \( 1\text{ kg} \) меса?
Поставка: Нека је \( x \) цена једног килограма. Тада је \( 0,81 \cdot x = 388,8 \).
Решавање: \( x = 388,8 : 0,81 \implies x = 480 \). Цена је \( 480 \) динара.
Поставка: Нека је \( x \) цена једног килограма. Тада је \( 0,81 \cdot x = 388,8 \).
Решавање: \( x = 388,8 : 0,81 \implies x = 480 \). Цена је \( 480 \) динара.
Периодичне децималне бројеве можемо претворити у разломак користећи једначине, тако што их множимо декадном јединицом (\( 10, 100... \)) како бисмо изједначили децималне делове.
Означимо периодични број са \( x \).
Помножимо једначину са \( 10 \) (или \( 100 \)) како би се период померио за једно место улево.
Одузмемо почетну једначину од нове једначине да би се бесконачни децимални део поништио.
Превођење броја \( 1,(3) = 1,333... \)
\( x = 1,333... \)
\( 10x = 13,333... \)
Одузимањем добијамо: \( 10x - x = 13,(3) - 1,(3) \)
\( 9x = 12 \implies x = \frac{12}{9} \implies x = \frac{4}{3} \)
\( x = 1,333... \)
\( 10x = 13,333... \)
Одузимањем добијамо: \( 10x - x = 13,(3) - 1,(3) \)
\( 9x = 12 \implies x = \frac{12}{9} \implies x = \frac{4}{3} \)
Задаци за вежбање
Лак задатак: Реши једначину: \( \frac{3}{4} \cdot x = \frac{9}{16} \)
Непознат је чинилац. Добијамо га дељењем производа познатим чиниоцем.
\( x = \frac{9}{16} : \frac{3}{4} \)
\( x = \frac{9}{16} \cdot \frac{4}{3} \)
Након скраћивања:
\( x = \frac{3}{4} \)
\( x = \frac{9}{16} : \frac{3}{4} \)
\( x = \frac{9}{16} \cdot \frac{4}{3} \)
Након скраћивања:
\( x = \frac{3}{4} \)
Средњи задатак: Реши сложенију једначину: \( 1,2 \cdot (x - 0,5) = 3,6 \)
Прво целу заграду посматрамо као непознати чинилац.
\( x - 0,5 = 3,6 : 1,2 \)
\( x - 0,5 = 3 \)
Сада је непознат умањеник.
\( x = 3 + 0,5 \)
\( x = 3,5 \)
\( x - 0,5 = 3,6 : 1,2 \)
\( x - 0,5 = 3 \)
Сада је непознат умањеник.
\( x = 3 + 0,5 \)
\( x = 3,5 \)
Тежак задатак: Преведи периодични децимални број \( 0,(7) \) у разломак коришћењем једначине.
Нека је \( x = 0,777... \)
Множимо једначину са \( 10 \):
\( 10x = 7,777... \)
Одузимамо прву једначину од друге:\
\( 10x - x = 7,(7) - 0,(7) \)
\( 9x = 7 \)
\( x = \frac{7}{9} \)
Множимо једначину са \( 10 \):
\( 10x = 7,777... \)
Одузимамо прву једначину од друге:\
\( 10x - x = 7,(7) - 0,(7) \)
\( 9x = 7 \)
\( x = \frac{7}{9} \)
