Једначине

Question 1

Реши једначину: а) $ 4 \cdot x = 52 $; б) $ x : 6 = 42 $; в) $ 704 : x = 64 $.

Accepted Answer

а) $ 4 \cdot x = 52 $
1. Одређивање непознатог чиниоца
У једначини је непознат чинилац $ x $. Непознати чинилац израчунавамо тако што производ поделимо познатим чиниоцем:
$$ x = 52 : 4 $$

2. Израчунавање количника
Делимо бројеве $ 52 $ и $ 4 $:
$$ 52 : 4 = 13 $$
$$ \begin{array}{r@{}l}
52 & {} : 4 = 13 \
\underline{-4}\phantom{2} & \
12 & \
\underline{-12} & \
0 &
\end{array} $$
Решење је:
$$ x = 13 $$

б) $ x : 6 = 42 $
1. Одређивање непознатог дељеника
У једначини је непознат де...

Question 2

Формулиши правило за решавање једначине у којој је непознат: а) чинилац; б) дељеник; в) делилац.

Accepted Answer

а) Непознати чинилац
Правило за одређивање непознатог чиниоца
Непознати чинилац израчунавамо тако што производ поделимо познатим чиниоцем.

Ако је непознати чинилац $ x $, а познати чинилац $ a $:
$$ a \cdot x = b \implies x = b : a $$
односно:
$$ x \cdot a = b \implies x = b : a $$

б) Непознати дељеник
Правило за одређивање непознатог дељеника
Непознати дељеник израчунавамо тако што делилац помножимо количником (или количник помножимо делиоцем).

Ако је непознати дељеник $ x $, делилац \...

Question 3

Реши једначину: а) $ \frac{4}{5} \cdot x = \frac{8}{15} $; б) $ x \cdot 1,2 = \frac{3}{4} $; в) $ x \cdot 1,5 = 1\frac{2}{3} $; г) $ 0,8 \cdot x = 7,36 $.

Accepted Answer

а) $ \frac{4}{5} \cdot x = \frac{8}{15} $
1. Одређивање непознатог чиниоца
Непознати чинилац израчунавамо тако што производ поделимо познатим чиниоцем:
$$ x = \frac{8}{15} : \frac{4}{5} $$

2. Израчунавање вредности непознате
Дељење разломака замењујемо множењем реципрочном вредношћу делиоца и вршимо скраћивање:
$$ x = \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{15}_3} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{4}_1} $$
$$ x = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} $$
$$ x = \frac{2}{3} $$

б) $ x \cdot 1,2 = \frac{3}{4} $
1....

Question 4

Реши једначину: а) $ x : 1,4 = 6,7 $; б) $ x : \frac{5}{6} = 1,1 $; в) $ x : 1\frac{2}{3} = \frac{2}{9} $; г) $ x : 1,33 = \frac{2}{25} $.

Accepted Answer

У сваком од задатака непозната $ x $ представља дељеник. Непознати дељеник одређујемо тако што делилац помножимо количником:
$$ x : a = b \implies x = b \cdot a $$

а) $ x : 1,4 = 6,7 $
1. Корак: Одређивање непознатог дељеника
Непознати дељеник $ x $ добијамо множењем количника и делиоца:
$$ x = 6,7 \cdot 1,4 $$

2. Корак: Писмено множење децималних бројева
$$ 6,7 \cdot 1,4 = 9,38 $$
\[ \begin{array}{r@{}l} 6,7 \cdot 1,4 & \ \hline 268 & \ +\,67\phantom{0} & \ \hline 9,38 & \end{array}...

Question 5

Реши једначину: а) $ \frac{2}{5} : x = \frac{5}{8} $; б) $ 1\frac{5}{6} : x = 1,1 $; в) $ 5,1 : x = 0,021 $; г) $ 7\frac{4}{5} : x = 3,9 $.

Accepted Answer

У свим задацима непозната величина $ x $ је делилац.
Непознати делилац израчунавамо тако што дељеник поделимо количником:
$$ x = \text{дељеник} : \text{количник} $$

а) $ \frac{2}{5} : x = \frac{5}{8} $
1. Одређивање непознатог делиоца
Дељеник делимо количником:
$$ x = \frac{2}{5} : \frac{5}{8} $$

2. Израчунавање вредности непознате
Дељење разломака претварамо у множење реципрочном вредношћу делиоца:
$$ x = \frac{2}{5} \cdot \frac{8}{5} $$
Множимо бројилац са бројиоцем и именилац са имениоц...

Question 6

Користећи податке дате у шемама десно, одреди бројеве које треба уписати у плава поља.

Accepted Answer

Прва шема (иста операција важи за сваки ред).
Из реда где су оба броја позната одређујемо операцију: $3{,}91 : 2{,}3 = 1{,}7$. Дакле у елипсу иде 1,7 (множење са 1,7).Доње лево поље: $3{,}774 : 1{,}7 = 2{,}22$.Средње десно поље: $0{,}09 \cdot 1{,}7 = 0{,}153$.Друга шема (иста операција важи за сваки ред).
Из реда где су оба броја позната: $0{,}222 : 0{,}6 = 0{,}37$. Дакле у елипсу иде 0,37 (дељење са 0,37).Горње лево поље: $1{,}184 \cdot 0{,}37 = 0{,}43808$.Доње десно поље: \(2{,}59 :...

Question 7

Одреди који бројеви треба да буду у црвеним пољима „пирамиде”, ако важи правило да је производ два броја из суседних поља једног реда једнак броју из поља изнад та два поља.

Accepted Answer

Распоред поља у „пирамиди”
Пирамида има $ 4 $ реда. Означимо поља по редовима, одозго према доле:
- 4. ред (врх): једно бело поље са бројем $ 1 $.
- 3. ред: лево бело поље $ \frac{3}{5} $, десно црвено поље означимо са $ a $.
- 2. ред: лево црвено поље $ b $, средње бело поље $ \frac{1}{4} $, десно црвено поље $ c $.
- 1. ред (основа): поља с лева надесно: црвено $ d $, црвено $ e $, црвено $ f $ и крајње десно бело поље $ \frac{1}{3} $.

Одређивање броја $ a $ у 3. реду...

Question 8

Реши једначину: а) $ 2,3 \cdot x + 0,505 = 5,91 $; б) $ x \cdot 1,2 - 0,088 = 1,1 $; в) $ 10,7 - 2,5 \cdot x = 1,45 $.

Accepted Answer

а) $ 2,3 \cdot x + 0,505 = 5,91 $

1. Одређивање непознатог сабирка
Израз са множењем $ 2,3 \cdot x $ посматрамо као непознати сабирак. Непознати сабирак одређујемо тако што од збира одузмемо познати сабирак:
$$ 2,3 \cdot x = 5,91 - 0,505 $$
Број $ 5,91 $ записујемо са једнаким бројем децимала као $ 5,910 $ и одузимамо:
$$ 5,91 - 0,505 = 5,405 $$
$$ \begin{array}{r@{}l} 5,910 & \ -\,0,505 & \ \hline 5,405 & \end{array} $$
Добијамо:
$$ 2,3 \cdot x = 5,405 $$

2. Одређивање непознатог чи...

Question 9

Реши једначину: а) $ \frac{2}{3} \cdot \left( 5\frac{1}{4} + x \right) = 4,2 $; б) $ \frac{6}{7} \cdot \left( x - \frac{3}{7} \right) = 9 $; в) $ 1\frac{2}{9} \cdot \left( \frac{3}{5} - x \right) = \frac{1}{6} $.

Accepted Answer

а) $ \frac{2}{3} \cdot \left( 5\frac{1}{4} + x \right) = 4,2 $

Корак 1: Одређивање непознатог чиниоца
Непозната $ x $ се налази у загради, па целу заграду $ 5\frac{1}{4} + x $ посматрамо као непознати чинилац. Непознати чинилац израчунавамо тако што производ поделимо познатим чиниоцем:
$$ 5\frac{1}{4} + x = 4,2 : \frac{2}{3} $$

Корак 2: Претварање бројева у разломке и дељење
Запишимо децимални број $ 4,2 $ као неправи разломак:
\[ 4,2 = \frac{42}{10} = \frac{\cancel{42}^{21}}{\cancel{1...

Question 10

Када је Јована потрошила петину новца који је понела на излет, остало јој је 640 динара. Колико је новца Јована понела на излет?

Accepted Answer

Корак 1: Анализа задатка и постављање једначине
Нека је $ x $ укупан износ новца у динарима који је Јована понела на излет.

Петина тог новца износи:
$$ \frac{1}{5} \cdot x $$

Јовани је након трошења петине новца остало:
$$ x - \frac{1}{5} \cdot x $$

Како цело представља $ 1 \cdot x = \frac{5}{5} \cdot x $, преостали део новца је:
$$ \frac{5}{5} \cdot x - \frac{1}{5} \cdot x = \frac{4}{5} \cdot x $$

Према податку из задатка, преостали новац износи $ 640 $ динара, па састављамо једначину...

Question 11

Који број подељен са $ \frac{3}{4} $ даје број за 1 већи од реципрочне вредности броја $ \frac{5}{6} $?

Accepted Answer

Означимо непознати број са $ x $.

1. Одређивање реципрочне вредности и десне стране једначине
Реципрочна вредност броја $ \frac{5}{6} $ је број коме су бројилац и именилац заменили места:
$$ \frac{6}{5} $$

Број који је за $ 1 $ већи од реципрочне вредности броја $ \frac{5}{6} $ добијамо сабирањем:
$$ \frac{6}{5} + 1 = \frac{6}{5} + \frac{5}{5} = \frac{11}{5} $$

2. Постављање једначине
Када непознати број $ x $ поделимо са $ \frac{3}{4} $, добијамо $ \frac{11}{5} $:
\[ x : \frac{...

Question 12

Којим бројем треба поделити збир бројева $ \frac{5}{8} $ и $ 14,7 $ да бисмо добили $ 2,5 $?

Accepted Answer

1. Постављање једначине
Нека је непознати број означен са $ x $.
Збир бројева $ \frac{5}{8} $ и $ 14,7 $ треба поделити бројем $ x $ да би резултат био $ 2,5 $:
$$ \left(\frac{5}{8} + 14,7\right) : x = 2,5 $$

2. Израчунавање збира у загради
Преведимо разломак $ \frac{5}{8} $ у децимални број тако што поделимо бројилац имениоцем:
$$ \frac{5}{8} = 5 : 8 = 0,625 $$
\[ \begin{array}{r@{}l} 5,000 & {} : 8 = 0,625 \ \underline{-0}\phantom{,000} & \ 50\phantom{,00} & \ \underline{-48}\p...

Question 13

Основица једнакокраког троугла је $ 47 \text{ mm} $, а обим тог троугла је $ 11,3 \text{ cm} $. Одреди дужине кракова тог троугла.

Accepted Answer

Корак 1: Свођење на исте мерне јединице
Основица једнакокраког троугла је $ a = 47\text{ mm} $, а обим је $ O = 11,3\text{ cm} $.
Превешћемо дужину обима из центиметара у милиметре.
Како је $ 1\text{ cm} = 10\text{ mm} $, имамо:
$$ O = 11,3 \cdot 10\text{ mm} = 113\text{ mm} $$

Корак 2: Постављање једначине за обим
Означимо дужину крака једнакокраког троугла са $ b $.
Обим једнакокраког троугла једнак је збиру основице и два једнака крака:
$$ O = a + 2 \cdot b $$
Уврштавањем познатих по...

Question 14

Ако се (свака) страница квадрата увећа за $ 3 \text{ mm} $, онда ће обим бити $ 34 \text{ cm} $. Одреди дужину странице квадрата.

Accepted Answer

1. Усклађивање мерних јединица и постављање једначине
Нека је $ a $ почетна дужина странице квадрата у центиметрима.
Пошто је $ 1\text{ cm} = 10\text{ mm} $, увећање од $ 3\text{ mm} $ претварамо у центиметре:
$$ 3\text{ mm} = 0,3\text{ cm} $$
Дужина странице новог, увећаног квадрата је $ a + 0,3 $.
Обим квадрата са страницом дужине $ a + 0,3 $ рачуна се по формули $ O = 4 \cdot (a + 0,3) $.
Како нови обим износи $ 34\text{ cm} $, састављамо једначину:
$$ 4 \cdot (a + 0,3) = 34 $$...

Question 15

Осмисли текст задатка који се своди на решавање једначине $ 6,7 - x \cdot 1,2 = 0,7 $.

Accepted Answer

Шта се тражи
Треба смислити текст задатка који се своди на решавање једначине
$$ 6{,}7 - x \cdot 1{,}2 = 0{,}7. $$
Од почетне количине $ 6{,}7 $ одузима се производ $ x \cdot 1{,}2 $ и остаје $ 0{,}7 $. То одговара ситуацији у којој се из неке залихе више пута узима иста количина $ 1{,}2 $, а тражи се колико пута.

Један могући текст задатка
У једној врећи налазило се $ 6{,}7 $ килограма брашна. Од те количине напуњено је неколико мањих кеса, тако да је у свакој било по $ 1{,}2 $ кил...

Question 16

Децималне бројеве $ 0,666... = 0,(6) $ и $ 0,1666... = 0,1(6) $ преведи у разломке.

Accepted Answer

Превођење броја $ 0,(6) $ у разломак
Нека је:
$$ x = 0,(6) = 0,666... $$
Помножимо обе стране са $ 10 $ како би се један период померио испред запете:
$$ 10x = 6,(6) $$
Бројеви $ 10x $ и $ x $ имају исте децималне делове, па ћемо одузети прву једначину од друге:
$$ 10x - x = 6,(6) - 0,(6) $$
$$ 9x = 6 $$
Непознати чинилац одређујемо дељењем производа познатим чиниоцем:
$$ x = \frac{6}{9} $$
Скратићемо разломак бројем $ 3 $:
$$ x = \frac{\cancel{6}^2}{\cancel{9}_3} = \frac{2}{3} $$
Дакл...

IV.18. Једначине

Изабери решење задатка:

а) \( \frac{2}{3} \cdot \left( 5\frac{1}{4} + x \right) = 4,2 \)

Корак 1: Одређивање непознатог чиниоца

Корак 2: Претварање бројева у разломке и дељење

Корак 3: Одређивање непознатог сабирка

б) \( \frac{6}{7} \cdot \left( x - \frac{3}{7} \right) = 9 \)

Корак 1: Одређивање непознатог чиниоца

Корак 2: Дељење целог броја разломком

Корак 3: Одређивање непознатог умањеника

в) \( 1\frac{2}{9} \cdot \left( \frac{3}{5} - x \right) = \frac{1}{6} \)

Корак 1: Претварање у неправи разломак и одређивање непознатог чиниоца

Корак 2: Дељење разломака

Корак 3: Одређивање непознатог умањиоца

Кратак запис решења:

а)

б)

в)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Детаљно решење

а) \( \frac{2}{3} \cdot \left( 5\frac{1}{4} + x \right) = 4,2 \)

Корак 1: Одређивање непознатог чиниоца

Корак 2: Претварање бројева у разломке и дељење

Корак 3: Одређивање непознатог сабирка

б) \( \frac{6}{7} \cdot \left( x - \frac{3}{7} \right) = 9 \)

Корак 1: Одређивање непознатог чиниоца

Корак 2: Дељење целог броја разломком

Корак 3: Одређивање непознатог умањеника

в) \( 1\frac{2}{9} \cdot \left( \frac{3}{5} - x \right) = \frac{1}{6} \)

Корак 1: Претварање у неправи разломак и одређивање непознатог чиниоца

Корак 2: Дељење разломака

Корак 3: Одређивање непознатог умањиоца

Кратак запис решења:

а)

б)

в)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: