Најважније из лекције
Аритметичка средина (просек) бројева израчунава се тако што се збир тих бројева подели њиховим укупним бројем: $\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$.
Својства:
Својства:
- Вредност аритметичке средине увек се налази између најмањег и највећег броја из скупа датих бројева.
- Ако је познат просек и сви бројеви осим једног, непознати број се може пронаћи решавањем једначине у којој је збир свих података једнак производу просека и броја података.
Аритметичка средина два броја добија се када се њихов збир подели са два. Често се назива и просек.
\[ \text{Аритметичка средина бројева } a \text{ и } b = \frac{a + b}{2} \]
Разломачку црту тумачимо као знак за дељење.
На бројевној полуправој, аритметичкој средини два различита броја одговара средиште дужи чији су крајеви тачке које одговарају тим бројевима. То значи да се аритметичка средина увек налази тачно између та два броја:
\[ a \le \frac{a + b}{2} \le b \]
Ако су измерена времена 6 секунди и 7 секунди, њихова аритметичка средина је:
\[ \frac{6 + 7}{2} = \frac{13}{2} = 6,5 \text{ секунди} \]
Аритметичка средина $n$ бројева једнака је количнику збира свих тих бројева и укупног броја тих бројева ($n$).
\[ \text{Аритметичка средина} = \frac{\text{збир свих бројева}}{\text{укупан број сабирака}} \]
Аритметичка средина датих бројева не може бити мања од најмањег од тих бројева, ни већа од највећег од њих.
Израчунавање аритметичке средине за бројеве 11, 12 и 13 (укупно 3 броја):
\[ \frac{11 + 12 + 13}{3} = \frac{36}{3} = 12 \]
Ако је позната аритметичка средина и сви бројеви осим једног, тај непознати број можемо израчунати постављањем и решавањем једначине.
Ако је просечна висина три девојчице 110 cm, а две девојчице су високе 105 cm и 107 cm, висину треће девојчице ($x$) рачунамо овако:
\[ \frac{105 + 107 + x}{3} = 110 \]
\[ 212 + x = 110 \cdot 3 \]
\[ 212 + x = 330 \]
\[ x = 330 - 212 = 118 \text{ cm} \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај аритметичку средину за следећи скуп бројева: $1,34$; $1,56$ и $1,72$.
Укупан број података је 3. Сабирамо бројеве и делимо са 3:
\[ \frac{1,34 + 1,56 + 1,72}{3} = \frac{4,62}{3} = 1,54 \]
Одговор: Аритметичка средина је $1,54$.
Средњи: Просечна дужина два скока једног атлетичара је $2,13\text{ m}$. Ако знамо да је дужина његовог првог скока била $2,09\text{ m}$, колика је била дужина другог скока?
Нека је $x$ дужина другог скока. Постављамо једначину за просек два броја:
\[ \frac{2,09 + x}{2} = 2,13 \]
\[ 2,09 + x = 2,13 \cdot 2 \]
\[ 2,09 + x = 4,26 \]
\[ x = 4,26 - 2,09 = 2,17 \]
Одговор: Дужина другог скока је била $2,17\text{ m}$.
Тежак: Ксенија има оцене 4, 2, 4 и 3 из математике. Коју још једну оцену треба да добије из следећег одговарања како би њен просек оцена био најмање 3,5 (што је услов за закључену оцену 4)?
Нека је $x$ оцена коју Ксенија треба да добије. Укупно ће имати 5 оцена.
Њен просек мора бити већи или једнак 3,5:
\[ \frac{4 + 2 + 4 + 3 + x}{5} \ge 3,5 \]
\[ \frac{13 + x}{5} \ge 3,5 \]
\[ 13 + x \ge 3,5 \cdot 5 \]
\[ 13 + x \ge 17,5 \]
\[ x \ge 17,5 - 13 \]
\[ x \ge 4,5 \]
Пошто оцене могу бити само цели бројеви од 1 до 5, закључујемо да Ксенија мора добити оцену 5.
Одговор: Ксенија мора да добије оцену 5.
Одговор: Ксенија мора да добије оцену 5.
