IV.8. Сабирање Разломака

Да бисмо решили задатке, прво ћемо извршити процену вредности збира. Процена се врши тако што се мешовити број \( q\frac{r}{b} \) посматра између два узастопна природна броја: \( q < q\frac{r}{b} < q+1 \). Збир ће се онда налазити између збира доњих граница и збира горњих граница. Након процене, израчунаћемо тачну вредност свођењем разломака на заједнички именилац помоћу Најмањег заједничког садржаоца (НЗС).

а) \( 3\frac{1}{2} + 3\frac{2}{3} \)

Корак 1: Процена вредности збира

Како је \( 3 < 3\frac{1}{2} < 4 \) и \( 3 < 3\frac{2}{3} < 4 \), збир се налази у интервалу: \[ 3 + 3 < 3\frac{1}{2} + 3\frac{2}{3} < 4 + 4 \implies 6 < \text{Збир} < 8 \]

Корак 2: Сабирање

За имениоце \( 2 \) и \( 3 \), \( \text{НЗС}(2, 3) = 6 \). Први разломак проширујемо са \( 3 \), а други са \( 2 \): \[ 3\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + 3\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 3\frac{3}{6} + 3\frac{4}{6} = 6\frac{7}{6} \] Пошто је \( \frac{7}{6} \) неправи разломак, претварамо га: \( 6\frac{7}{6} = 6 + 1\frac{1}{6} = 7\frac{1}{6} \).

б) \( 5\frac{3}{8} + 2\frac{11}{18} \)

Корак 1: Процена вредности збира

Како је \( 5 < 5\frac{3}{8} < 6 \) и \( 2 < 2\frac{11}{18} < 3 \): \[ 5 + 2 < 5\frac{3}{8} + 2\frac{11}{18} < 6 + 3 \implies 7 < \text{Збир} < 9 \]

Корак 2: Проналажење НЗС за 8 и 18

\[ \begin{array}{ll|l} 8 & 18 & 2 \\ 4 & 9 & 2 \\ 2 & 9 & 2 \\ 1 & 9 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & \\ \end{array} \] \[ \text{НЗС}(8, 18) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 8 \cdot 9 = 72 \]

Корак 3: Сабирање

Проширујемо први разломак са \( 9 \) (\( 72:8=9 \)), а други са \( 4 \) (\( 72:18=4 \)): \[ 5\frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} + 2\frac{11 \cdot 4}{18 \cdot 4} = 5\frac{27}{72} + 2\frac{44}{72} = 7\frac{71}{72} \]

в) \( 1\frac{7}{12} + 2\frac{9}{16} \)

Корак 1: Процена вредности збира

Како је \( 1 < 1\frac{7}{12} < 2 \) и \( 2 < 2\frac{9}{16} < 3 \): \[ 1 + 2 < 1\frac{7}{12} + 2\frac{9}{16} < 2 + 3 \implies 3 < \text{Збир} < 5 \]

Корак 2: Проналажење НЗС за 12 и 16

\[ \begin{array}{ll|l} 12 & 16 & 2 \\ 6 & 8 & 2 \\ 3 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & \\ \end{array} \] \[ \text{НЗС}(12, 16) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48 \]

Корак 3: Сабирање

Проширујемо први разломак са \( 4 \) (\( 48:12=4 \)), а други са \( 3 \) (\( 48:16=3 \)): \[ 1\frac{7 \cdot 4}{12 \cdot 4} + 2\frac{9 \cdot 3}{16 \cdot 3} = 1\frac{28}{48} + 2\frac{27}{48} = 3\frac{55}{48} \] Претварамо у правилан мешовити број: \( 3\frac{55}{48} = 3 + 1\frac{7}{48} = 4\frac{7}{48} \).

а)

\( 6 < \text{Збир} < 8 \); \( 3\frac{3}{6} + 3\frac{4}{6} = 6\frac{7}{6} = 7\frac{1}{6} \)

б)

\( 7 < \text{Збир} < 9 \); \( 5\frac{27}{72} + 2\frac{44}{72} = 7\frac{71}{72} \)

в)

\( 3 < \text{Збир} < 5 \); \( 1\frac{28}{48} + 2\frac{27}{48} = 3\frac{55}{48} = 4\frac{7}{48} \)