Најважније из лекције
- Једнаки имениоци: Сабирају се само бројиоци, именилац остаје исти. \( \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \).
- Различити имениоци: Разломци се прво морају проширити до најмањег заједничког имениоца (НЗС), па тек онда сабрати.
- Мешовити бројеви: Најпрактичније је сабрати посебно целе делове, а посебно разломљене. Ако збир разломљених делова премаши 1, једно цело се пребацује и додаје целим деловима.
Збир два разломка једнаких именилаца је разломак чији је именилац једнак имениоцима сабирака, а бројилац је збир бројилаца сабирака.
\[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \]
Примери сабирања када су имениоци исти:
- \( \frac{2}{7} + \frac{4}{7} = \frac{2+4}{7} = \frac{6}{7} \)
- \( \frac{5}{9} + \frac{7}{9} = \frac{5+7}{9} = \frac{12}{9} \) (овај разломак можемо скратити са 3 и добити \( \frac{4}{3} \), што је \( 1\frac{1}{3} \))
Израчунај збир: \( \frac{3}{11} + \frac{5}{11} \)
Именилац преписујемо, а бројиоце сабирамо:
\( \frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3+5}{11} = \frac{8}{11} \)
\( \frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3+5}{11} = \frac{8}{11} \)
Разломке различитих именилаца сабирамо тако што их прво преведемо у разломке једнаких именилаца (проширивањем), па потом добијене разломке саберемо.
Општа формула (коришћењем производа именилаца):
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + cb}{bd} \]
Да бисмо рачунали са што мањим бројевима, за заједнички именилац најбоље је изабрати Најмањи заједнички садржалац (НЗС) за имениоце разломака.
Одреди НЗС за имениоце.
Прошири сваки разломак одговарајућим бројем тако да нови именилац буде једнак НЗС.
Сабери бројиоце, а именилац препиши.
Сабирање \( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \):
НЗС за 4 и 6 је 12.
Први разломак проширујемо са 3, а други са 2: \[ \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \]
НЗС за 4 и 6 је 12.
Први разломак проширујемо са 3, а други са 2: \[ \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \]
За природне бројеве \( a \) и \( b \) важи: \( a \cdot b = \text{НЗД}(a, b) \cdot \text{НЗС}(a, b) \).
Мешовите бројеве можемо сабирати на два различита начина.
Први начин: Претварање мешовитих бројева у неправилне разломке, а затим њихово сабирање.
\[ 2\frac{3}{7} + 5\frac{2}{7} = \frac{17}{7} + \frac{37}{7} = \frac{54}{7} = 7\frac{5}{7} \]
Други начин: Сабирање целих делова са целим деловима, а разломљених делова са разломљеним. Овај начин је лакши јер се ради са мањим бројевима.
\[ 2\frac{3}{7} + 5\frac{2}{7} = (2+5) + \left(\frac{3}{7} + \frac{2}{7}\right) = 7\frac{5}{7} \]
Уколико је приликом сабирања збир правих разломака једнак или већи од 1, вршимо пренос у цео део мешовитог броја!
Пример преноса:
\[ 11\frac{3}{10} + 6\frac{9}{10} = 17\frac{12}{10} = 18\frac{2}{10} = 18\frac{1}{5} \]
(Разломак \( \frac{12}{10} \) је \( 1\frac{2}{10} \), па се 1 додаје целом делу 17).
Сабирање мешовитих бројева различитих именилаца:
\[ 3\frac{5}{8} + 6\frac{1}{6} = 3\frac{15}{24} + 6\frac{4}{24} = 9\frac{19}{24} \]
(Проширили смо разломљене делове до НЗС(8,6) = 24).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај збир разломака \( \frac{4}{15} + \frac{7}{15} \).
Пошто су имениоци исти, сабирамо само бројиоце:
\( \frac{4}{15} + \frac{7}{15} = \frac{4+7}{15} = \frac{11}{15} \)
\( \frac{4}{15} + \frac{7}{15} = \frac{4+7}{15} = \frac{11}{15} \)
Средњи: Израчунај \( \frac{5}{6} + \frac{3}{8} \).
Имениоци су различити, па тражимо НЗС(6, 8) = 24.
Први разломак проширујемо са 4, а други са 3:
\( \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{20}{24} + \frac{9}{24} = \frac{29}{24} \)
Резултат можемо претворити у мешовит број: \( 1\frac{5}{24} \).
Први разломак проширујемо са 4, а други са 3:
\( \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{20}{24} + \frac{9}{24} = \frac{29}{24} \)
Резултат можемо претворити у мешовит број: \( 1\frac{5}{24} \).
Тежак: Милица је првог дана прочитала \( 1\frac{2}{5} \) поглавља књиге, а другог дана \( 2\frac{3}{4} \) поглавља. Колико је укупно поглавља прочитала за та два дана?
Потребно је сабрати мешовите бројеве: \( 1\frac{2}{5} + 2\frac{3}{4} \).
НЗС за имениоце 5 и 4 је 20.
\( 1\frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} + 2\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = 1\frac{8}{20} + 2\frac{15}{20} \)
Сабирамо целе са целим, разломке са разломцима:
\( 3\frac{23}{20} \)
Како је \( \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20} \), вршимо пренос у цео део:
\( 3 + 1\frac{3}{20} = 4\frac{3}{20} \)
Одговор: Прочитала је укупно \( 4\frac{3}{20} \) поглавља.
НЗС за имениоце 5 и 4 је 20.
\( 1\frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} + 2\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = 1\frac{8}{20} + 2\frac{15}{20} \)
Сабирамо целе са целим, разломке са разломцима:
\( 3\frac{23}{20} \)
Како је \( \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20} \), вршимо пренос у цео део:
\( 3 + 1\frac{3}{20} = 4\frac{3}{20} \)
Одговор: Прочитала је укупно \( 4\frac{3}{20} \) поглавља.
