I.10. Услови дељивости неким бројевима

а)

Корак 1: Шта значи да је број дељив са 10

Број је дељив са 10 ако се његов запис завршава једном нулом. Зато је цифра јединица тог броја 0.

Корак 2: Дељивост са 2 и са 5

Број је дељив са 2 ако је цифра јединица 0, 2, 4, 6 или 8. Цифра 0 је међу њима, па је број дељив са 2. Број је дељив са 5 ако је цифра јединица 0 или 5. Цифра 0 је међу њима, па је број дељив са 5. Дакле, ако \( 10 \mid n \), онда \( 2 \mid n \) и \( 5 \mid n \).

б)

Корак 1: Услови за последњу цифру

Ако је број дељив са 2, цифра јединица је једна од цифара 0, 2, 4, 6, 8. Ако је број дељив са 5, цифра јединица је једна од цифара 0, 5.

Корак 2: Заједничка цифра

Број је дељив и са 2 и са 5, па цифра јединица мора бити у оба низа. Једина таква цифра је 0. Запис броја се завршава једном нулом, па је број дељив са 10. Дакле, ако \( 2 \mid n \) и \( 5 \mid n \), онда \( 10 \mid n \).

в)

Корак 1: Шта значи да је број дељив са 100

Број је дељив са 100 ако се његов запис завршава двема нулама. Зато је двоцифрени завршетак тог броја 00.

Корак 2: Дељивост са 4 и са 25

Број је дељив са 4 ако је његов двоцифрени завршетак дељив са 4. Завршетак 00 је у табели бројева дељивих са 4, па је број дељив са 4. Број је дељив са 25 ако су му последње две цифре 00, 25, 50 или 75. Завршетак 00 је међу њима, па је број дељив са 25. Дакле, ако \( 100 \mid n \), онда \( 4 \mid n \) и \( 25 \mid n \).

г)

Корак 1: Двоцифрени завршетак

Пошто је број дељив са 25, његове последње две цифре су 00, 25, 50 или 75.

Корак 2: Који завршеци су дељиви са 4

Пошто је број дељив и са 4, двоцифрени завршетак мора бити дељив са 4. Проверимо сваки завршетак: \[ 00 = 0 \cdot 4 \quad \Rightarrow \quad 4 \mid 00 \] \[ 25 = 6 \cdot 4 + 1 \quad \Rightarrow \quad 4 \nmid 25 \] \[ 50 = 12 \cdot 4 + 2 \quad \Rightarrow \quad 4 \nmid 50 \] \[ 75 = 18 \cdot 4 + 3 \quad \Rightarrow \quad 4 \nmid 75 \] Остаје само завршетак 00. Значи, запис броја се завршава двема нулама, па је број дељив са 100. Дакле, ако \( 4 \mid n \) и \( 25 \mid n \), онда \( 100 \mid n \).

д)

Корак 1: Збир цифара

Ако је број дељив са 9, онда је збир његових цифара дељив са 9. Тај збир можемо записати као \( 9 \cdot k \), где је \( k \) природан број.

Корак 2: Веза између 9 и 3

Пошто је \( 9 = 3 \cdot 3 \), важи: \[ 9 \cdot k = 3 \cdot 3 \cdot k = 3 \cdot (3 \cdot k) \] Збир цифара је дељив са 3, па је и сам број дељив са 3. Дакле, ако \( 9 \mid n \), онда \( 3 \mid n \).

а)

\( 10 \mid n \Rightarrow \) последња цифра је 0 \( \Rightarrow 2 \mid n,\ 5 \mid n \).

б)

Последња цифра је из \( \{0, 2, 4, 6, 8\} \) и из \( \{0, 5\} \), па је то 0 \( \Rightarrow 10 \mid n \).

в)

\( 100 \mid n \Rightarrow \) завршетак је 00 \( \Rightarrow 4 \mid 00,\ 25 \mid 00 \Rightarrow 4 \mid n,\ 25 \mid n \).

г)

Завршетак је из \( \{00, 25, 50, 75\} \). Са 4 је дељиво само 00 \( \Rightarrow 100 \mid n \).

д)

Збир цифара \( = 9 \cdot k = 3 \cdot (3 \cdot k) \Rightarrow 3 \mid n \).