Услови дељивости неким бројевима

Question 1

Користећи особине дељивости о којима је било речи у претходној лекцији, испитај да ли су тачни следећи искази: а) $ 2 \mid 25\,798 $; б) $ 3 \mid 369 $; в) $ 10 \mid 23\,000 $; г) $ 5 \mid 230 $; д) $ 25 \mid 200 $; ђ) $ 4 \mid 508 $.

Accepted Answer

Како бисмо проверили тачност датих исказа, применићемо одговарајућа правила дељивости за сваки број појединачно.

а) $ 2 \mid 25\,798 $
Да бисмо утврдили да ли је број дељив са $ 2 $, довољно је да погледамо његову последњу цифру (цифру јединица). 
Правило каже: Природан број је дељив бројем 2 ако је цифра јединица тог броја 0, 2, 4, 6 или 8.
Последња цифра броја $ 25\,798 $ је $ 8 $. 
Пошто се број завршава парном цифром $ 8 $, он је дељив са $ 2 $. 
Закључујемо да је исказ тачан....

Question 2

Наведи све декадне јединице које су делиоци броја: а) $ 50 $; б) $ 600 $; в) $ 33\,000 $; г) $ 4\,050\,000 $.

Accepted Answer

Да бисмо одредили које су декадне јединице делиоци датих бројева, користићемо правило дељивости декадним јединицама: Природан број је дељив декадном јединицом ако се његов запис завршава са бар онолико нула колико их има та декадна јединица.

Декадне јединице су бројеви: $ 1, 10, 100, 1\,000, 10\,000, 100\,000, 1\,000\,000 $, итд.

а) $ 50 $
Број $ 50 $ се завршава једном нулом.
- Сваки природан број је дељив са $ 1 $.
- Како има једну нулу на крају, дељив је са $ 10 $.
- Нема две нуле...

Question 3

Одреди остатак при дељењу броја $ 12\,607 $ са: а) $ 10 $; б) $ 100 $; в) $ 1\,000 $; г) $ 10\,000 $.

Accepted Answer

Корак 1: Разумевање правила за остатак при дељењу декадним јединицама
На основу лекције, остатак при дељењу неког природног броја декадном јединицом ($ 10, 100, 1\ 000... $) одређује се на основу последњих цифара тог броја. Број последњих цифара који чине остатак једнак је броју нула у декадној јединици којом делимо.

Корак 2: Решавање примера под а)
Декадна јединица је $ 10 $. Она има једну нулу. Остатак при дељењу броја $ 12\ 607 $ са $ 10 $ је његова последња цифра.
- Последња цифра б...

Question 4

Међу бројевима $ 50, 61, 115, 608, 772, 1\,170 $ и $ 4\,885 $ издвој оне који су дељиви бројем: а) $ 2 $; б) $ 5 $.

Accepted Answer

Да бисмо из датог скупа бројева $ \{ 50, 61, 115, 608, 772, 1\,170, 4\,885 \} $ издвојили оне који су дељиви са $ 2 $ или $ 5 $, применићемо основна правила дељивости која се заснивају на посматрању последње цифре броја.

а) Бројеви дељиви са $ 2 $
Правило дељивости са $ 2 $ гласи: Природан број је дељив бројем 2 ако је његова цифра јединица 0, 2, 4, 6 или 8. То су парни бројеви.
Испитајмо последње цифре сваког броја:

$ 50 $: Последња цифра је $ 0 $. Јесте дељив са $ 2 $.
\( 61...

Question 5

Наведи све природне бројеве у којима се свака од цифара $ 0, 3, 4 $ и $ 5 $ појављује једанпут, а који су дељиви и са $ 2 $ и са $ 5 $.

Accepted Answer

Корак 1: Утврђивање услова дељивости
Из правила дељивости знамо следеће:

Да би број био дељив бројем $ 2 $, његова последња цифра мора бити парна, односно $ 0, 2, 4, 6 $ или $ 8 $.
Да би број био дељив бројем $ 5 $, његова последња цифра мора бити $ 0 $ или $ 5 $.

Да би број био дељив и са $ 2 $ и са $ 5 $ (односно дељив са $ 10 $), његова последња цифра мора да испуњава оба услова. Једина цифра која се појављује у оба правила је $ 0 $. Дакле, тражени бројеви морају да се з...

Question 6

Помоћу цифара $ 2, 0, 1 $ и $ 6 $ напиши број у коме се цифре не понављају тако да добијеш: а) највећи четвороцифрени број који је дељив са $ 2 $, а није дељив са $ 5 $; б) најмањи четвороцифрени број који је дељив и са $ 2 $ и са $ 5 $.

Accepted Answer

Анализа захтева под а)
Потребно је саставити највећи четвороцифрени број од цифара $ \{2, 0, 1, 6\} $ који је:
- дељив са $ 2 $: то значи да се број мора завршавати парном цифром ($ 0, 2 $ или $ 6 $).
- није дељив са $ 5 $: то значи да се број не сме завршавати цифром $ 0 $ или $ 5 $.
Из ова два услова закључујемо да последња цифра мора бити из скупа $ \{2, 6\} $. Да бисмо добили највећи број, желимо да на почетку (место хиљада) буду највеће могуће цифре.

Одређивање највећег бро...

Question 7

Међу бројевима $ 174, 205, 300, 775 $ и $ 1\,492 $ издвој оне који су дељиви бројем: а) $ 4 $; б) $ 25 $.

Accepted Answer

Да бисмо из датог скупа бројева $ \{ 174, 205, 300, 775, 1\,492 \} $ издвојили оне који су дељиви са $ 4 $ и $ 25 $, применићемо одговарајућа правила дељивости која се заснивају на посматрању последње две цифре броја (двоцифреног завршетка).

а) Дељивост бројем $ 4 $
Правило гласи: Вишецифрени број је дељив са 4 ако је његов двоцифрени завршетак дељив бројем 4.
Испитајмо сваки број:
- $ 174 $: Двоцифрени завршетак је $ 74 $. Пошто $ 74 : 4 = 18 $ са остатком $ 2 $, број $ 174 $...

Question 8

Наведи све природне бројеве друге стотине који су дељиви и са $ 4 $ и са $ 5 $.

Accepted Answer

Корак 1: Дефинисање опсега бројева
У математици, друга стотина обухвата природне бројеве од $ 101 $ до $ 200 $. Дакле, тражимо бројеве $ n $ за које важи $ 101 \le n \le 200 $.

Корак 2: Примена правила дељивости
Да би број био дељив и са $ 4 $ и са $ 5 $, он мора испуњавати следеће услове:

Дељивост са $ 5 $: Последња цифра броја мора бити $ 0 $ или $ 5 $.
Дељивост са $ 4 $: Двоцифрени завршетак броја мора бити дељив са $ 4 $.

Пошто број мора бити дељив са $ 5 $, размат...

Question 9

Које све цифре се могу ставити уместо $ \clubsuit $ тако да исказ буде тачан: а) $ 4 \mid 13\clubsuit0 $; б) $ 25 \mid 13\clubsuit0 $; в) $ 4 \mid 872\clubsuit $; г) $ 25 \mid 872\clubsuit $?

Accepted Answer

Да бисмо одредили које се цифре могу ставити уместо симбола $ \clubsuit $, применићемо правила дељивости са $ 4 $ и $ 25 $. За оба ова броја посматрамо искључиво последње две цифре броја, односно његов двоцифрени завршетак.

а) $ 4 \mid 13\clubsuit0 $
Према правилу, број је дељив са $ 4 $ ако је његов двоцифрени завршетак дељив са $ 4 $.
У овом случају, двоцифрени завршетак је $ \overline{\clubsuit0} $. То су бројеви који се завршавају нулом: \( 00, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80,...

Question 10

Поступајући као у претходном примеру, испитај да ли је број $ 4\,506 $ дељив бројем: а) $ 3 $; б) $ 9 $.

Accepted Answer

Да бисмо испитали дељивост броја $ 4\,506 $ са бројевима $ 3 $ и $ 9 $, потребно је да применимо правила дељивости која се заснивају на збиру цифара тог броја.

Корак 1: Израчунавање збира цифара
За оба случаја прво морамо одредити збир цифара броја $ 4\,506 $.
Сабирамо цифре:
$$ 4 + 5 + 0 + 6 = 15 $$
Збир цифара броја $ 4\,506 $ износи $ 15 $.

а) Дељивост са $ 3 $
Правило каже: Природан број је дељив бројем 3 ако је збир његових цифара дељив са 3.
Проверавамо да ли је збир цифара...

Question 11

Међу бројевима $ 174, 205, 486, 5\,301 $ и $ 12\,462 $ издвој оне који су дељиви бројем: а) $ 3 $; б) $ 9 $.

Accepted Answer

Да бисмо одредили који су од датих бројева дељиви са $ 3 $ или $ 9 $, применићемо правила дељивости:

Број је дељив са $ 3 $ ако је збир његових цифара дељив са $ 3 $.
    Број је дељив са $ 9 $ ако је збир његових цифара дељив са $ 9 $.

Корак 1: Израчунавање збира цифара за сваки број
Прво ћемо за сваки понуђени број израчунати збир његових цифара:

За број $ 174 $: $ 1 + 7 + 4 = 12 $
    За број $ 205 $: $ 2 + 0 + 5 = 7 $
    За број $ 486 $: \( 4 + 8 + 6 = 18 \...

Question 12

Које цифре можеш уписати уместо знака $ \clubsuit $ тако да седмоцифрени број $ 545\clubsuit328 $ буде дељив са $ 3 $?

Accepted Answer

Да бисмо одредили које цифре могу стајати уместо знака $ \clubsuit $ у седмоцифреном броју $ 545\clubsuit328 $, применићемо правило дељивости са $ 3 $.

Корак 1: Разумевање правила дељивости са $ 3 $
Према правилу дељивости које видимо у приложеним лекцијама, природан број је дељив бројем $ 3 $ ако и само ако је збир његових цифара дељив са $ 3 $.

Корак 2: Израчунавање збира познатих цифара
Прво ћемо сабрати све цифре броја $ 545\clubsuit328 $ које су нам познате:
\[ 5 + 4 + 5 + 3...

Question 13

Које све цифре можемо ставити уместо $ \heartsuit $ тако да исказ буде тачан: а) $ 9 \mid 43\heartsuit5 $; б) $ 3 \mid 2\heartsuit3 $; в) $ 3 \mid 1524\heartsuit $; г) $ 9 \mid 1\heartsuit5124 $?

Accepted Answer

Да бисмо одредили које цифре могу стајати уместо симбола $ \heartsuit $, применићемо правила дељивости са $ 3 $ и $ 9 $. Оба правила се заснивају на збиру цифара броја: број је дељив са $ 3 $ (односно $ 9 $) ако је његов збир цифара дељив са $ 3 $ (односно $ 9 $).

а) $ 9 \mid 43\heartsuit5 $
Израчунајмо збир познатих цифара броја $ 43\heartsuit5 $:
$$ 4 + 3 + 5 = 12 $$
Укупан збир цифара је $ 12 + \heartsuit $. Тражимо цифру $ \heartsuit \in \{0, 1, 2, \dots, 9\} $ тако да...

Question 14

Да ли је број $ 1\,000\,000\,008 $ дељив са $ 9 $?

Accepted Answer

Да бисмо испитали да ли је број $ 1\,000\,000\,008 $ дељив са $ 9 $, применићемо правило дељивости које смо научили из лекције.

Корак 1: Разумевање правила дељивости са $ 9 $
На основу приложеног материјала (страна 42), правило гласи: Природан број је дељив бројем 9 ако је збир његових цифара дељив са 9. Дакле, уместо да делимо цео број, довољно је да саберемо његове цифре.

Корак 2: Израчунавање збира цифара
Запишимо све цифре броја $ 1\,000\,000\,008 $ и саберимо их:
\[ 1 + 0 + 0 + 0...

Question 15

Образложи зашто су следећи искази тачни. а) Ако је неки број дељив са $ 10 $, онда је дељив и са $ 2 $ и са $ 5 $. б) Ако је неки број дељив и са $ 2 $ и са $ 5 $, онда је дељив и са $ 10 $. в) Ако је неки број дељив са $ 100 $, онда је дељив и са $ 4 $ и са $ 25 $. г) Ако је неки...

Accepted Answer

а) Ако је неки број дељив са $ 10 $, онда је дељив и са $ 2 $ и са $ 5 $.
Да бисмо ово образложили, користимо особину дељивости: ако је број дељив неким бројем, онда је он дељив и сваким делиоцем тог броја. Број $ 10 $ има делиоце $ 1, 2, 5 $ и $ 10 $. Како су $ 2 $ и $ 5 $ делиоци броја $ 10 $, сваки број који је дељив са $ 10 $ мора бити дељив и са $ 2 $ и са $ 5 $. Такође, број дељив са $ 10 $ завршава се цифром $ 0 $, што је услов за дељивост и са $ 2 $ и са \(...

I.10. Услови дељивости неким бројевима

Изабери решење задатка:

Корак 1: Дефинисање опсега бројева

Корак 2: Примена правила дељивости

Корак 3: Проналажење заједничког делиоца (дељивост са 20)

Корак 4: Исписивање и провера бројева

Корак 5: Коначан одговор

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста