I.10. Услови дељивости неким бројевима

Анализа захтева под а)

Потребно је саставити највећи четвороцифрени број од цифара \( \{2, 0, 1, 6\} \) који је: - дељив са \( 2 \): то значи да се број мора завршавати парном цифром (\( 0, 2 \) или \( 6 \)). - није дељив са \( 5 \): то значи да се број не сме завршавати цифром \( 0 \) или \( 5 \). Из ова два услова закључујемо да последња цифра мора бити из скупа \( \{2, 6\} \). Да бисмо добили највећи број, желимо да на почетку (место хиљада) буду највеће могуће цифре.

Одређивање највећег броја под а)

Испитаћемо могућности за последњу цифру: - Ако је последња цифра \( 2 \), преостале цифре су \( \{0, 1, 6\} \). Највећи број који можемо формирати је \( 6102 \). - Ако је последња цифра \( 6 \), преостале цифре су \( \{2, 0, 1\} \). Највећи број који можемо формирати је \( 2106 \). Упоређивањем добијених бројева \( 6102 > 2106 \), закључујемо да је највећи број \( 6102 \).

Анализа захтева под б)

Потребно је саставити најмањи четвороцифрени број од цифара \( \{2, 0, 1, 6\} \) који је: - дељив са \( 2 \): завршава се са \( 0, 2, 4, 6, 8 \). - дељив са \( 5 \): завршава се са \( 0, 5 \). Број који је истовремено дељив са \( 2 \) и са \( 5 \) мора бити дељив са \( 10 \), што значи да му последња цифра мора бити \( 0 \).

Одређивање најмањег броја под б)

Фиксирамо последњу цифру на \( 0 \). Преостале цифре које треба распоредити на прва три места су \( \{2, 1, 6\} \). Да би број био најмањи, на место хиљада стављамо најмању могућу цифру (различиту од нуле, коју смо већ искористили), а то је \( 1 \). Следећа најмања цифра на месту стотина биће \( 2 \), а на месту десетица \( 6 \). Дакле, најмањи број је \( 1260 \).

а) \( \{2, 0, 1, 6\}, 2 \mid n, 5 \nmid n \Rightarrow \) крај је \( 2 \) или \( 6 \). За \( x=2 \), макс је \( 6102 \). За \( x=6 \), макс је \( 2106 \). Решење: \( 6102 \). б) \( \{2, 0, 1, 6\}, 10 \mid n \Rightarrow \) крај је \( 0 \). Преостале цифре \( \{1, 2, 6\} \). Решење: \( 1260 \).