Задатак 1. Израчунај \( 1111 : 11 \) и \( 11011 : 11 \), па добијене резултате искористи за израчунавање вредности израза: а) \( 7777 : 11 \); б) \( (23 \cdot 1111) : 11 \); в) \( (53 \cdot 11011) : 11 \); г) \( (1111 + 11011) : 11 \); д) \( (3333 + 44044) : 11 \); ђ) \( (11011 - 1111) : 11 \).

Корак 1: Израчунавање основних количника Прво ћемо поделити бројеве \( 1111 \) и \( 11011 \) са \( 11 \), јер се у задатку тражи да ове резултате користимо за даље рачунање. \[ \begin{array}{} & 1111 & : & 11 & = 101 \\ & -11 \\ & 011 \\ & -11 \\ & 0 \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{} & 11011 & : & 11 & = 1001 \\ & -11 \\ & 0011 \\ & -11 \\ & 0 \\ \end{array} \] Дакле, добили смо почетне вредности: \[ 1111 : 11 = 101 \] \[ 11011 : 11 = 1001 \] Корак 2: Решавање задатих израза кориш...

Задатак 2. Који искази су тачни? а) Ако је број дељив са \( 2 \), онда је дељив и са \( 4 \). б) Сваки број дељив са \( 6 \) дељив је и са \( 3 \). в) Сваки број дељив са \( 9 \) дељив је и са \( 3 \). г) Неки бројеви дељиви са \( 3 \) дељиви су и са \( 9 \).

а) Ако је број дељив са \( 2 \), онда је дељив и са \( 4 \). Да бисмо испитали тачност овог тврђења, потражићемо контрапример. Контрапример је број који испуњава први услов (дељив је са 2), али не испуњава други (није дељив са 4). Број \( 6 \) је дељив са \( 2 \) јер је \( 6 : 2 = 3 \). Међутим, број \( 6 \) није дељив са \( 4 \) јер је \( 6 = 1 \cdot 4 + 2 \) (остатак је 2). Пошто смо пронашли број који је дељив са 2, а није дељив са 4, закључујемо да је овај исказ нетачан. б) Сваки број дељив...

Задатак 3. Испитај да ли: а) \( 7 \mid 1400 \); б) \( 25 \mid 900 \); в) \( 4 \mid 900 \); г) \( 9 \mid 27000 \).

У овом задатку користимо основна својства дељивости како бисмо испитали да ли један број дели други без директног дељења целог броја. Основно својство које користимо гласи: Ако је барем један чинилац производа дељив бројем \( a \), онда је и цео производ дељив бројем \( a \). Такође користимо чињеницу да је сваки број дељив самим собом. а) Испитај да ли \( 7 \mid 1400 \) Број \( 1400 \) можемо приказати као производ бројева \( 14 \) и \( 100 \). \[ 1400 = 14 \cdot 100 \] Пошто је број \( 14 \)...

Задатак 4. Објасни зашто су тачна следећа тврђења: а) \( D_6 \subset D_{48} \); б) \( D_8 \subset D_{32} \); в) \( D_{12} \subset D_{48} \).

Да бисмо објаснили зашто су ова тврђења тачна, користићемо основно својство дељивости које гласи: сваки делилац неког броја дели и све садржаоце тог броја. У језику скупова, ако број \( a \) дели број \( b \) (\( a \mid b \)), онда је скуп свих делилаца броја \( a \) подскуп скупа свих делилаца броја \( b \), односно \( D_a \subset D_b \). а) \( D_6 \subset D_{48} \) 1. Провера дељивости Прво проверавамо да ли број \( 6 \) дели број \( 48 \). Како је \( 48 = 6 \cdot 8 \), закључујемо да \( 6 \m...

Задатак 5. Поступајући као у претходном примеру, испитај да ли: а) \( 7 \mid 693 \); б) \( 6 \mid 90 \); в) \( 8 \mid 864 \); г) \( 9 \mid 8991 \).

Да бисмо испитали дељивост бројева користећи својства дељивости збира и разлике, потребно је да дељеник представимо као збир или разлику два броја за које већ знамо да ли су дељиви датим делиоцем. а) \( 7 \mid 693 \) Број \( 693 \) можемо записати као разлику два броја која су лако препознатљива као садржаоци броја \( 7 \): \[ 693 = 700 - 7 \] Користимо својство: ако \( a \mid b \) и \( a \mid c \), онда \( a \mid (b - c) \). 1. Испитајмо први члан: Пошто је \( 700 = 7 \cdot 100 \), закључујемо...

Задатак 6. Поступајући као у претходном примеру, испитај да ли: а) \( 4 \mid 908 \); б) \( 3 \mid 639 \); в) \( 9 \mid 1827 \); г) \( 11 \mid 22033 \); д) \( 15 \mid 3015 \).

У овом задатку ћемо испитати дељивост бројева користећи својства дељивости збира и разлике. Бројеве ћемо представити као збир или разлику делова за које лако можемо утврдити дељивост датим бројем. Подсећамо: ако број \( a \) дели сваки сабирак, онда он дели и њихов збир. а) \( 4 \mid 908 \) Број \( 908 \) можемо написати као збир \( 900 + 8 \). Да ли \( 4 \) дели \( 900 \)? Пошто је \( 900 = 9 \cdot 100 \), а \( 4 \) дели \( 100 \) (\( 100 : 4 = 25 \)), онда \( 4 \) дели \( 900 \). Да ли \( 4 \...

Задатак 7. Не рачунајући вредност израза, утврди да ли су следећи искази тачни. Образложи одговоре. а) \( 4 \mid 4 \cdot 13 + 16 \); б) \( 7 \mid 21 + 16 \cdot 7 \); в) \( 9 \mid 9 \cdot 2 + 9 \cdot 4 + 9 \cdot 8 \); г) \( 11 \mid 99 - 88 + 77 - 60 \); д) \( 7 \mid 13 \cdot 14 + 50 \); ђ) \( 9 \mid...

У овом задатку користимо основна својства дељивости збира, разлике и производа: 1. Ако број \( a \) дели бар један чинилац производа, онда он дели и цео производ. 2. Ако број \( a \) дели сваки сабирак збира (или умањеник и умањилац разлике), онда он дели и цео збир (односно разлику). 3. Ако број \( a \) дели све чланове осим једног, онда он не дели цео израз. а) \( 4 \mid 4 \cdot 13 + 16 \) Испитујемо дељивост чланова сабирка бројем 4: - Први сабирак је производ \( 4 \cdot 13 \). Пошто \( 4 \m...

Задатак 8. Да ли постоје природни бројеви \( m \) и \( n \) такви да је \( 6m + 9n = 10000 \)?

Да бисмо утврдили да ли постоје природни бројеви \( m \) и \( n \) који задовољавају једнакост \( 6m + 9n = 10000 \), користићемо својства дељивости која смо научили. Корак 1: Анализа леве стране једнакости Посматрајмо израз на левој страни: \( 6m + 9n \). Оба сабирка су производи. Приметимо да су бројеви \( 6 \) и \( 9 \) дељиви бројем \( 3 \): \[ 3 \mid 6 \quad \text{и} \quad 3 \mid 9 \] На основу својства да ако број \( a \) дели број \( b \), онда он дели и сваки његов умножаак \( kb \), за...

Својства дељивости

Најважније из лекције

Дељивост производа: Ако \( a \mid b \) или \( a \mid c \), онда \( a \mid b \cdot c \). (Ако је један чинилац дељив, дељив је и производ).
Дељивост садржаоца: Из \( a \mid b \) аутоматски следи \( a \mid kb \).
Дељивост збира/разлике: Ако \( a \mid b \) и \( a \mid c \), онда \( a \mid (b \pm c) \).
Недељивост збира/разлике: Ако број дели само један од два сабирка (или само умањеник/умањилац), онда не дели њихов збир/разлику.
Пазите: Број може делити збир, чак и када не дели ниједан од појединачних сабирака!

Ако \( a \mid b \), онда \( a \mid kb \), за било који природан број \( k \).
(Сваки делилац неког броја дели и све садржаоце тог броја)

Пошто \( 2 \mid 6 \), закључујемо да број 2 дели и све садржаоце броја 6. Дакле, \( 2 \mid 12 \), \( 2 \mid 18 \), \( 2 \mid 24 \) итд.

Транзитивност дељивости: Ако \( a \mid b \) и \( b \mid c \), онда \( a \mid c \).

Ако знамо да \( 5 \mid 15 \) и \( 15 \mid 45 \), шта можемо закључити о бројевима 5 и 45 на основу транзитивности?

На основу правила транзитивности, пошто број 5 дели 15, а 15 дели 45, закључујемо да \( 5 \mid 45 \).

Ако је бар један чинилац производа дељив бројем \( a \), онда је и производ дељив бројем \( a \).
Односно: Ако \( a \mid b \) или \( a \mid c \), онда \( a \mid b \cdot c \).

Да бисмо закључили да ли \( 7 \mid 21 \cdot 10 \), довољно је да погледамо чиниоце. Пошто знамо да \( 7 \mid 21 \), правило нам говори да је и цео производ дељив са 7, тј. \( 7 \mid 210 \).

Да ли је производ \( 12 \cdot 35 \) дељив са 5? Објаснити.

Да, производ је дељив са 5. Објашњење: Чинилац 35 је дељив са 5 (\( 5 \mid 35 \)). Пошто је бар један чинилац дељив бројем 5, онда је и цео производ дељив бројем 5.

Ако \( a \mid b \) и \( a \mid c \), онда број \( a \) дели и њихов збир \( b + c \) и њихову разлику \( b - c \) (када је \( b > c \)).

Пошто \( 8 \mid 80 \) и \( 8 \mid 16 \), онда \( 8 \mid (80 + 16) \), тј. \( 8 \mid 96 \).
Пошто \( 7 \mid 700 \) и \( 7 \mid 21 \), онда \( 7 \mid (700 - 21) \), тј. \( 7 \mid 679 \).

Ово својство је веома корисно за проверу дељивости већих бројева тако што се они раставе на збир цифара и декадних јединица. На пример, \( 609 = 6 \cdot 100 + 9 \). Како \( 3 \mid 6 \cdot 100 \) и \( 3 \mid 9 \), онда \( 3 \mid 609 \).

Без израчунавања укупног збира, утврди да ли је израз \( 24 + 48 + 120 \) дељив са 12.

Да. Пошто \( 12 \mid 24 \), \( 12 \mid 48 \) и \( 12 \mid 120 \), закључујемо да 12 дели и њихов збир на основу својства дељивости збира.

Ако број \( a \) дели један сабирак, а не дели други, онда број \( a \) не дели њихов збир (нити разлику).
Ако \( a \mid b \) и \( a \nmid c \), онда \( a \nmid b + c \) и \( a \nmid b - c \).

Важна напомена: Могуће је да неки број не дели појединачне сабирке, али ипак дели њихов збир!
На пример: \( 7 \nmid 10 \) и \( 7 \nmid 11 \), али \( 7 \mid (10 + 11) \), јер је \( 7 \mid 21 \).

Да ли важи да \( 4 \mid 16 + 5 \)?

Не важи. Пошто \( 4 \mid 16 \), али \( 4 \nmid 5 \), број 4 неће делити ни њихов збир. Дакле, \( 4 \nmid 21 \).

Задаци за вежбање

Лак: Испитај да ли важи тврђење: \( 9 \mid 27 \cdot 1 000 \). Објасни зашто.

Тврђење важи.
Објашњење: Пошто знамо да је први чинилац дељив са 9 (\( 9 \mid 27 \)), онда по правилу о дељивости производа следи да 9 дели и цео производ, без обзира на други чинилац.

Средњи: Поступајући као у примерима за дељивост збира, разложи број на погодне сабирке и испитај да ли важи \( 8 \mid 864 \).

Број 864 можемо раставити као \( 800 + 64 \).
Проверавамо дељивост сабирака: \( 8 \mid 800 \) и \( 8 \mid 64 \).
Пошто 8 дели оба сабирка, онда дели и њихов збир. Дакле, \( 8 \mid 864 \) је тачно.

Средњи: Да ли израз \( 15 \cdot 4 + 11 \) даје резултат који је дељив са 5?

Анализирамо сабирке:
1. Први сабирак је производ \( 15 \cdot 4 \). Пошто \( 5 \mid 15 \), онда 5 дели и цео тај производ (\( 5 \mid 60 \)).
2. Други сабирак је 11. Број 5 не дели 11 (\( 5 \nmid 11 \)).
Како 5 дели први, а не дели други сабирак, он не може делити ни њихов збир.
Одговор: Резултат није дељив са 5.

Тежак: Да ли постоје природни бројеви \( m \) и \( n \) такви да важи једнакост \( 4m + 6n = 2017 \)? Образложи одговор користећи особине дељивости.

Одговор је одричан.
Образложење: Анализирајмо леву страну једнакости. Сабирак \( 4m \) је дељив са 2, као и сабирак \( 6n \). Пошто су оба сабирка дељива са 2, онда је и њихов збир \( 4m + 6n \) дељив са 2 (тј. увек је паран број за било које природне бројеве \( m \) и \( n \)).
Са друге стране, број 2017 је непаран, односно није дељив са 2. Како паран број не може бити једнак непарном, такви природни бројеви не постоје.

I.9. Својства дељивости

Изабери решење задатка:

а)

б)

в)

г)

а) Испитај да ли \( 7 \mid 1400 \)

б) Испитај да ли \( 25 \mid 900 \)

в) Испитај да ли \( 4 \mid 900 \)

г) Испитај да ли \( 9 \mid 27000 \)

Кратак запис решења:

а)

б)

в)

г)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

а)

б)

в)

г)

Детаљно решење

а) Испитај да ли \( 7 \mid 1400 \)

б) Испитај да ли \( 25 \mid 900 \)

в) Испитај да ли \( 4 \mid 900 \)

г) Испитај да ли \( 9 \mid 27000 \)

Кратак запис решења:

а)

б)

в)

г)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: